八年级数学上册教案 - 图文

八年上册数学教案

备课人：王海兵

2007年9月3日

第一章 实 数

1.1 平方根(3课时)

课程目标

一、知识与技能目标

1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。 2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。 二、过程与方法目标

采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？ 三、情感态度与价值观目标

1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。 2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。

教材解读

本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

学情分析

上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。

第１课时

一、创设情境，导入新课

玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，?可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。?请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。

二、师生互动，课堂探究 (一)提出问题,引发讨论

1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,-2

2

11,-3,3,1, 552

2

能.0=0 (-1)=1 5=25 2.3=5.29 (-

121121222

)= (-3)=9 3=9 1=1 ()= 552525 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,

2

114,,-,1.69 2514442

能.由于5=25,(-5)=25,故平方为25的数为5或-5.

2

0=0,故平方为0的数为0.

22

2=4,(-2)=4,故平方为4的数为2或-2.

22422424)=,()=,故平方为的数为±. 55255252512112111 (-)=,()=,故平方为的数为±.

12144121441441211 对于-这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-的数找不到.

44 (- 1.3=1.69,(-1.3)=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.

2

又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,的边长分别为1,3,4,6,

2

2

4时,此正方形252 . 5 由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,?也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.?我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根. (二)导入知识,解释疑难 1.教材内容讲解

欲确定某数的平方根时,由以上过程发现,即使有两个值,?这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.

2

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 例1 求下列各数的算术平方根: (1)900 (2)1 (3)

2

49-6

(4)196 (5)0 (6)1064 解:(1)∵30=900,故900的算术平方根是30,即900=30. (2)∵1=1,故1的算术平方根是1,即1=1.

2

(3)∵(

4977249497)=,故的算术平方根是,即=

6488646482

(4)∵14=196,故196的算术平方根是14,即196=14. (5)∵0=0,故0的算术平方根是0,即0=0.

2

(6)∵(10)=10,故10的算术平方根是10,即10-32

-6

-3

?6 =10-3

例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接

2

成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm.?已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是

2

边长为5dm的小板子,?试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm的桌面?

22

分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm,要拼出面积为169dm的桌面,还需面积为169-25=144dm的正方形桌面,故问题实际上转化为求144?的算术平方根,144即=12.

2

解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有

x+5=159,x=169-25=144,而12=144

故144的算术平方根为12,即144=12,即另一张桌面的边长应为12dm. 练习:

1.求下列各式的值:

2 ①1.44; ②(?0.1); ③0.81?0.04; ④122222

1. 42解:①1.44=1.2 ②(?0.1)=0.01=0.1 ③0.81?0.04=0.9-0.2=0.7 ④12 (2)若(a-1)+│b-9│=0,则 A.

2

1497== 442b的算术平方根是下列哪一个( ) a1 B.±3 C.3 D.-3 32

分析:由于(a-1)≥0.│b-9│≥0,

2

∴(a-1)+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0, ∴a=1,b=9, ∴

b9b==9,故的算术平方根是3. a1a 3. ?7有意义吗?为什么?

分析: ?7无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a≥0,故?7无意义.

2

2.探究活动

22

(1)当a为负数时,a有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论. (2)x-x+

2

1是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么? 42

2

2

2

解:当a为负数时,a为正数,故a有算术平方根,如a=-5时,a=(-5)=25, a=25=5,5是-?5的相反数,故a<0时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.

当a为正数时,a的算术平方根表示为a,其值为a,即a=a. 22

222 当a=0时, a=0 2?a(a?0)?2 由此可知a=|a|=?0(a?0)

??a(a?0)?12211212

)=x-x+,而(x-)一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x-x+有算术平方根,其算24241111122

术平方根的值要视x的取值而定.当x≥时,x-x+的算术平方根为x-.?当x<时,x-x+的算术平

24224 (2)因为(x-

方根为-(x-

11)=-x. 22 (三)归纳总结,知识回顾

这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,?求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.

练习设计

(一)双基练习

1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;?若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.

2.求下列各式的值:

0.16,111?22, (?3) , 0.25, 10 25 3.3x-4为25的算术平方根,求x的值.

4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值. (二)创新提升

5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值. (三)探究拓展

6.若x?4与4?y互为相反数,求xy的算术平方根.

参考答案

1.0,1 0; 2.0.4,

61-1

,3,0.5,10(); 3.x=3 5104.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7.

5.a=5,b=2

6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4. 课后作业：P4 1、2

第2课时

一、创设情境，导入新课

某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,?再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面

22

积为90cm,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm.?请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.

AFDBEC

将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,?正方形纸片的面积为

2

90-40=50cm,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们知道2222

7=49,8=64,50这个数既不是7,也不是8,由于49<50<64,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底它为多少呢?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题. 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论

在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?

我们知道,若有正数x,使x=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=a?,?于是若x=50时(x为正数),

2

2

则x=50,而7<50<8,因此有7<50<8,现在我们就来学习如何求50的近似值,50是不是有理数呢?

2

2

(二)导入知识,解释疑难 1.教材内容讲解

在上学期有理数的乘方运算中,?我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法,现在我们要确定一个数的平方根,也可借助这种方法进行,?我们不妨用计算器验证7.1,7.1=50.41,而50.41>50,故50<7.1,2

2

再验证7.09=50.27>50,故7<50 <7.09,而7.08=50.12,7.07=49.98,故7.07<50<7.08,接着继续增加

2

2

2

小数点后一位小数,如7.071,计算7.071=49.99,而7.072=50.013,故7.071<50<7.072,??如此继续进

2

2

行下去,可以发现将小数点后的小数位继续增加下去,一直不能穷尽,都只能使7.07??的平方值无限接近

50,因此发现,50不可能化为我们以前学过的无限循环小数,?只能化为无限不循环小数,而有理数只包

括有限小数和无限循环小数或者整数,但50却不在这些数的范围内,只能说50这个数不是有理数,我们把这种数重新命名为“无理数”,于是数的范围也就扩充了,是否我们可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢? 只要计算器上有“”键或者“y”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器的

按键顺序不相同,只要按计算器的使用方法去按键,就可求出任意正数的算术平方根了. 例1:用计算器计算3136和2,5,10的值.

解:通过按键可得3136的值在计算器上显示:56,为有理数.2的值在计算器上显示1.?414213562,?而5的值在计算器上显示2.?236067978,10的值在计算器上显示3.16227766.从计算器上显示的数都是位数有限的,?因此往往给我们一个印象“这些值都是有理数”,而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到准确的数,使其平方为2、5、10,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一个无限不循

环小数即无理数.?通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.

活动:怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?求出其边长.

分析:将两个面积为1的小正方形的面积相加得2,而要拼的大正方形的面积正好为2,于是可知,只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一个正方形即能满足要求.要确定新正方形的边长,我们就得确定2的值大约是多少,我们知道1=1,2=4,故1<2<2,?也即是面积为2的正方形的边长比1大故比原小正方形的边长大,?若沿原小正方形的对角线将两个小三角形剪开,得四个形状、大小完全相同的小直角三角形,将这四个直角三角形的直角边拼接起来得一个新正方形.(如课本图10.1-1)

使用计算器不仅能很方便地计算出任意一个正数的算术平方根,?而且还能使用计算器找到某些数的算术平方根之间的关系.

例3:(1)求下列各数的算术平方根.

0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000 (2)利用计算器计算下列各式的值: 0.06252

2

0.6256.25 62.5 625 6250 62500??

你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说出0.03、300、30000的近似值(已知3≈1.732),你能根据3的值确定30 的值吗?

解:(1)∵0.001=0.000001 ∴0.000001=0.001依次可得出0.0001=0.01, 0.01=0.1, 1=1,

2

100=10, 10000=100, 1000000=1000 从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,?其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有b=10a,(或者:?被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍) (2)

0.0625=0.25 0.625≈0.79057 6.25≈7.9057 62.5≈7.9057 625=25

6250≈79.057 6250=250 62500≈790.57

比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而

0.0625与

0.625中的数开方数只扩大了10倍,它们的算术平方根之间没有规律可循.?故若已知3≈1.732,可知0.03≈0.1732, 300≈17.32, 30000≈173.2,但不能知30的值.

2.探究活动

22

(1)用一块面积为400cm的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm的长方形纸片,你会怎样剪?

2

(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,?你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?

2

解:(1)面积为400cm的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,?使长方形纸片的面积为

2

300cm,则其宽为300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.

(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,?则可设其两边为3x和2x,则有3x22x=300,6x=300 x=50,x=50,故长方形纸片的长为350cm,宽为250cm,而350>337=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.

通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片. (三)归纳总结,知识回顾

通过本节课的学习可知,并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“a”的形式表示,也可以用一个与a的值接近的有理数替代,?于是可用计算器算出这个数,但实际上,a是一个无理数.

练习设计

(一)双基练习

1. 用计算器求出下列各式的值.

2

2

2

8955 12345 -260 0.00537

2.用计算器比较3?11与的大小. 222

3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P?之间有如下的一个关系式:?P=IR,,现有一用电器,

电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I.

4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm)

(二)创新提升

5.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的

2

面积为60000米.

(1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)

2

(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米,该水池的半径是多少?(?精确到0.01) (三)探究拓展

6.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3??.随着运算资料的增加,你发现了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律?

(2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,?你发现了什么?

参考答案

1.94.63 111.1 -16.12 0.0733 2.

3?11≈0.366< 3.I≈11.55安培 4.?约7.07cm 5.(1)22宽约为154.92米 (2)r≈5.05米 6.(1)结果越来越小,趋向于0 (2)结果越来越趋向于1

第3课时

一、创设情境,导入新课

同学们,你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003?年10月15日9时整,在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标志着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,?在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,?脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/?秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢?

二、师生互动,课堂探究

(1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了很多互为相反数的平方,?发现这些数的平方值会相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,若x=a,则x=a称为a?的算术平方根,而x还有一个负值,又该如何称呢?

(2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)?而小于第二宇宙速度

222

v2(米/秒),其中v1、v2满足v1=gR,v2=2gR,其中g?是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8米/秒,R是地

6

球半径,R≈6.4310米,如何确定v1、v2的值呢??它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧. (二)导入知识,解释疑难

1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?

由于4=16,(-4)=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=16,则-4=

2

2

2

-16,把4和-4称为16的平方根.

一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,?即若x=a,则x为a的平方根,记为x=±a.如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,?表示为±3=±9. 把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,?而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,

2222

可以求一个数的平方根,例如当x=1时,x=±1;当x=16时,则x=±4,当x=36时,x=±6;当x=49时,x=±7;当x=

2

2

4244,则±为的平方根,依次可记为±1,±16,±36,±49,±,它们的对应关系如

2552525图所示.

练习:求下列各数的平方根.

(1)0.49 (2)

2

49 (3)81 (4)0 (5)-100 362

解:(1)因为0.7=0.49,(-0.7)=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,即±0.49=±0.7

(2)因为(

49724972494977)=,(-)= ,所以的平方根为±,即±=±

3663663636662

2

(3)因为9=81,(-9)=81,所以81的平方根为±9,即±81=±9. (4)因为0=0,所以0的平方根为0,即±0=0.

(5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根.

将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,?而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出: 正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. 0的平方根是0 负数没有平方根

例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根. (1) 1.44 (2)-81 (3)±2

9 100 解:(1)因为1.2=1.44,所以1.44=1.2,1.44的平方根为±1.2,即±1.44=±1.2.

2

(2)因为9=81,所以-81=-9,81的平方根为±9,即±81=±9.

2

(3)因为(

932939)=,所以±=±,它正是的平方根.

100100100100100 故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,?因为其算术平方根和算术平方根的相反

数即为该数的平方根.?同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.

2262

面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v1=gR,其中g=9.8米/秒,R≈6.4310米,v2=2gR,

26226227222622

则有v1≈9.836.4310米/秒≈62.72310米/秒=6.27310米/秒.v2≈125.44310米/秒=1.2544

822

310米/秒

78

因此,v1是6.272310的平方根,v2是1.2544310的平方根.

那么v1=±6.272?10≈±7.9310米/秒=±7.9千米/秒,v2=±1.2544?10 ≈±11.2310米/秒

3

3

78=?±11.2千米/秒

但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.

例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?

2

解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x平方米 故3x=13200 x=4400 解得x=±4400=±66.33

2

2

但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.?99米,宽为66.33米. 2.探究活动

对于正数x和y,有下列命题:

(1)若x+y=2,则xy≤1 (2)x+y=3,则xy≤ (3)若x+y=6,则xy≤3

根据以上三个命题所提供的规律猜想: (1)若x+y=9,则xy≤_______.

(2)若对于任意正数a、b,总有ab≤_____.

3,从中发现分母为2,分子为x、y的和,再验证其它的等式:x+y=2时,则226axy≤=1.当x+y=6时, xy≤=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a时,?则mn≤,即

222m?nmn≤

29a?b ∴x+y=9时,则xy≤, ab≤

22 分析:当x+y=3时,有xy≤ 由此得a+b≥2, a?b即(a-b)≥0

2

(三)归纳总结,知识回顾

本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,?何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.

练习设计

(一)双基练习

1. 16的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢? 2.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?

2

3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m,求长和宽. 4.若(a-

11212112?a?2)= 2+a-2,现老师布置了一道化简题: +(a=) .甲、?乙两同学很快地2aaa5a写出其解答过程:

甲:

111111222?a?2(?a)+ =+=+-a=-a, a2aaaaaa当a=

1214时,-a=10-=9 5a55 乙:

111111122?a?2(?a)+=+=+a-=a= a2aaaaa5 谁的答案是对的?为什么?

(二)创新提升

5.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,试比较a、b、c的大小.(不用计算器) (三)探究拓展

6.若35的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.

参考答案

1.4,±4,±2 2.-4 3.长为10m,宽为2.5m

4.甲的答案是对的,因为a=5.因为3>22 , 所以a-b=6-1-2=3?3-1-2>3?22-1-2=(2?1)-1-2, 而c-a=6--1-2 =a-b>0 ∴b

6.∵25<35<36 ∴5<35<6 ∴35 的整数部分为5,小数部分为35-5,即a=5,b=35-5

课后习题答案 习题1.1 1.(1)14 (2)

211 时,>a. 5a5 (3)0.2 (4)10 81131 (3) (4) 3121910 2.(1)(3)(4)式有意义,(2)式无意义 -3没有算术平方根 3.(1)±15 (2)

4.(1)对 (2)对 (3)错 (4)对

5.(1) 867≈29.44 (2) 0.46254≈0.6801

(3)-8≈-0.5657 (4)±2402≈±49.01 25 6. 40最接近的两个整数是6和7

7.(1)±16.4 (2) 285.6≈16.9 (3) 270在16.4～16.5之间,

因为16.4=268.?95270, 故169<270<16.5 (4)16.1

8.(1)x=±5 (2)x=±9 (3)x=±

2

2

2

2

6 5 9.120=4.9t,t=24.48 t=24.48≈4.95秒≈5秒

10.2倍,3倍, n倍

11.(1)2,3,5,6,7,0 , a=│a│ (2)4,9,25,36,49,0 ,(a)=a. 12.其值最接近1.

2

21.2 立方根(第1课时)

课程目标

一、知识与技能目标

1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.

2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同. 二、过程与方法目标

用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,?并能自我总结出平方根与立方根的异同. 三、情感态度与价值观目标

发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.

教材解读

由正方体的边长与体积的关系引出立方运算,转入立方根运算.于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算,很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系,于是立方根的表示,运算等问题就留给同学去发现.

学情分析

在学习完平方根运算后继而学习立方根运算,?通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握.

一、创设情境,导入新课

劳动节即将来临,学生们纷纷给他们敬爱的老师奉献他们的心意,刘老师所任教的两个班的科代表一同前往老师办公室,他们手中捧着两个形状、?大小一模一样的礼盒,并对老师说:“我代表我班的同学向老师敬礼，并以此小礼物代表我们对老师的敬意”.说完,两个科代表相视一笑,请老师猜一猜里面装的东西是否一样,里面物体的体积是否一样.老师知道,他们葫芦里肯定又要卖什么药了,?就郑重其事地说出两个盒子的大小形状虽然一样,但里面所装的物体的形状肯定不一样,并且它们的体积也相同,但一定有其它不相同的地方.

刘老师打开纸盒一看,?发现里面装的果然是两个不同形状的水晶一样的透明饰物,一个是圆球形的,一

2

个是正方形,并且盒子里面各有一张纸条内容相同,经过测算,其体积为125cm.同学们,你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗??那就是球的半径与正方体的边长,你能求出这个半径和边长吗?要求出这两个量,?我们就来学习开方中的另一种运算:开立方运算. 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论

在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.

3333

2=______ ;(-2)=______; 0.5=_____;(-0.5)=______;

(

23233

)=_____;-()?=_____ ; 0=______. 333

3

3

3

(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处? 2=8;(-2)=-8; 0.5=0.125; (-0.5)=-0.125;(

2382383

)=; -()=-; 0=0. 327327 我们发现,求立方运算时,当底数互为相反数时,其立方值也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平

方运算的底数为相反数,但其平方值相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却只有一个值了,什么是立方值呢?

类似平方值定义可知,若x=a则x为a的立方根,记为3a,读作三次根号a.负数没有平方根,负数有无

3

立方根呢?从(-2)=-8,(-0.5)=-0.125,(

33

238)=-,可知负数有立方根,?并且其立方根仍为负数.

327 (2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,?故请根据上述等式,写出这些互为

相反数的立方根.

8的立方根为2,-8的立方根为-2,记为38=2, 3?8=-2 0.125的立方根为0.5,-0.125的立方根为-0.5,记为30.125=0.5, 3?0.125=-0.5

823882822的立方根为,-的立方根为-,记为3=，?=-

273273273273 0的立方根为0,记为30=0

上述过程都是求一个数的立方根的运算,把求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.故正方体的体积为125时,其边长为3125=5,而球的体积为?r =125时,r≈3.1.

3

43 (二)导入知识,解释疑难 1.例题求解

既然正数的立方是正数,负数的立方是负数,那么正数的立方根为正数,?负数的立方根为负数,同样0的立方是0,则0的立方根是0,可记为a=a(a为任意数),或者若a=M,则有3M=a,其中M为被开方数,3为

3

33根指数,且根指数为3时,不能省略,?只有当根指数为2时,才能省略不写.故课本P170探究中, 38 =-2,- 38=-2,由此得3?8=-38 ,又3?27=-3,- 327=-3,由此得3?27=-327 于是可归纳出其规律: 3?a=-3a,而?a,a的意义不同,其值也不同,若a>0时, -a表示a的算

术平方根的相反数?a无意义;若a<0,则-a无意义.

例2:求下列各数的立方根。 ①-27; ②

3

27; ③-0.216。 64 解:①∵(-3)=-27,∴3?27=-3;

②∵(

33273273)=, =,.

6444643

③∵(-0.6)=-0.216, 3?0.216=-30.216=-0.6.

练习:(1)求下列各数的立方根:

①0 ②8 ③-64 ④81-36 解:①30=0; ②38=2; ③3?64=-4; ④81-36=81-6=75; 375≈4.22; (2)比较-4、-5、-3100的大小.

解:∵4=64,5=125,64<100<125, ∴4<3100<5,故-4>-3100>-5 3

3

2.探究活动

①若正方体的棱长为1,则其体积为1;若正方体的棱长为2,则其体积为8;若正方体的棱长为4,则其体积为64;若其棱长为8,则其体积为512??当棱长为2n时,?其体积为多少?②某正方体的体积为1时,其棱长为1;体积为2时,棱长为32;体积为3时,?棱长为 ??;若体积扩大到原来的n倍,则棱长扩大多少倍? 解:①正方体棱长为1,则体积为1,棱长为2,体积为8,比较两者棱长扩大了2倍,?体积扩大了8倍,棱

3

长又扩大了1倍,其体积相应增大7倍,为原来的8倍,?故当棱长为2n时,体积为8n. ②当体积扩大到原来的n倍时,棱长扩大到原来的3n倍.

(三)归纳总结,知识回顾

这节课学习了立方根的概念,立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.用计算器求任意数的立方根时,只能先求出该数的绝对值的立方根,再根据任意数的正负性决定其值,注意区分平方根与立方根.

练习：（一）P10页1，3，； P11页1，3

1.某数的立方根等于它本身,这个数是多少? 2.求下列各数的立方根:

(1)-1+

61; (2)64000 1263.某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体钢铁的边长.

3

4.有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,?还需再加水127cm才满,求另一正方体容器的棱长.

参考答案

1.这个数为0,±1 2.(1)-

480 (2)40 3. cm 4.7cm 53 作业：P11页B组1、2

第2课时

答：被开方数扩大（缩小）1000倍时，它的立方根扩大（缩小）10倍。 课堂练习：1。 171页2， 173页10，11

2.观察下列各式是否成立,你能从中找到什么结论,并证明你的结论. (1) 3227=2327 (2) 333326=326 (3) 34463=43463 (4) 355124=535124??

3.设1995x3=1996y3=1997z3

,xyz>0,且

31995x2?1996y2?1997z2=31995+31996+31997,求111x?y?z的值.

参考答案

2.7=8-1=23-1 26=27-1=33-1 63=64-1=43-1 124=125-1=53

-1 ∴ 猜测3n?nn3?1=nnn3?1(n=1,2,3,??) ∵3n?nn4?n?nn3?nn3?1=33n3?1=n3?1=3n3?nn3?1=n23nn3?1 3.令1995x3=1996y3=1997z3

=k,k≠0,则1995=

kx3,1996=kky3,1997=z3,

故3kx?kky?z=3kkkx3+3y3+3z3,

即 3111111??=??. xyzxyz 而x>0,y>0,z>0,所以作业：P10 1、2、3

1111113111??=(??),解得: ??=1. xyzxyzxyz1.3 实数与数轴（第1课时）

【教学目标】：

1、 了解实数的意义,能够对实数进行分类

2、 了解数轴上的点与实数一一对应,能用数轴上的点表示无理数; 3、 会估计两个实数的大小. 【教学重点】：

了解实数的意义,能对实数进行分类,了解数轴上的点与实数一一对应,并能用数轴上的点表示无理数; 【教学难点】：

用数轴上的点表示无理数;

【教学过程】： 一、 创设情境，导入新知

做一做（1）用计算器求2；

（2）利用平方关系验算所得的结果.

这里，我们用计算器求得2＝1.414 213 562，而再用计算器计算1.414 213 562的平方，结果是1.999 999 999，并不是2，只是接近于2．这就是说，我们求得的2的值，只是一个近似值． 用计算机计算2，你可能会大吃一惊：

2=1.4142135623730950488016887242096980785696

71875376948073176679737990732478462107038 85038753432764157273501384623091229702492 48360558507372126441214970999358314132226 659275055927557999505011527820605715?

在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，2不是一 个有理数．

那么，2是怎样的数呢?

我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必 是有限小数或者无限循环小数，例如，

12??0.666 666 666? ?0.25，?0.6431?42857??0.142857142857142857? ?0.172不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数．

类似地，35、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.

无限不循环小数叫做无理数（irrational number）．例如2、35 、π等都是无理数． 有理数与无理数统称为实数（Real numbers）．

试一试

你能在数轴上找到表示2的点吗？

如图16.3.1，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰

直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为2． 这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2．利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图16.3.2所示． 概 括

数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．

正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行．

在第2章学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．

二、结合范例，分析理解

例1 试估计3? 分析 用计算器求得 而

2与π的大小关系． 3?2≈3.146 264 37，

π≈3.141 592 654，

这样，容易判断： 例2 计算：

3?2 ＞π．

（结果精确到0.01） ?23?32．

?2 解 用计算器求得 23?32≈－0.778 539 072， 于是 所以

23?32≈0.778 539 072，

?2?23?32

≈1.570 796 327－0.778 539 072

＝0.792 257 255 ≈0.79． 例3 计算 解

（1）（2?1）（2?1）= （2）

（1）（2?1）（2?1）； （2）

12?33

?2?2?1=2-1=1

12?33=

123?33=__________________

练 习

1. 判断下列说法是否正确：

（1）两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数 （2）任意一个无理数的绝对值是正数. 2. 计算：26?37.（结果保留两位小数） 3. 比较下列各组数中两个实数的大小：

（1）22和32; （2）?7?和? 238?12.

4. 计算：（1）

?3?2??3＋2； （3）

?第2课时 用计算器开方

教学目标 (一)知识目标

1.会用计算器求平方根和立方根.

2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力.

(二)能力训练目标

1.鼓励学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲. 2.鼓励学生自己探索计算器的用法，并能熟悉用法.

3.能用计算器探索有关规律的问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

(三)情感与价值观目标

让学生经历运用计算器的活动，培养学生探索规律的能力，发展学生合理推理的能力. 教学重点

1.探索计算器的用法. 2.用计算器探求数学规律. 教学难点

1.探索计算器的用法. 2.用计算器探求数学规律. 教学方法 学生探索法. 教学过程 一、新课导入

我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算. 比3

如2=8，2叫8的立方根，8叫2的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方.对于10以内数的立方，20以内数的平方要求大家牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些特殊数的平方根或立方根，那么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方法来求，但是这样求方根的速度太慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方.

二、新课讲解

［师］请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起.这样便于大家互相讨论问题.如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤熟悉一下程序，若你的计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相同类型计算器的同学先要探索一下如何求平方根、立方根的步骤，把程序记下来，好吗？给大家8分钟时间进行探索.

［师］好，时间到，大家的程序掌握了吗？ ［生］掌握了.

［师］现在根据自己掌握的程序计算5.89，323,?1285,5+1，6?7－π，然后和书7中的数据相对照，检查自己做的是否正确.

［生］正确. 三、做一做

利用计算器，求下列各式的值(结果保留4个有效数字)：

(1)800；(2)322；(3)0.58；(4) 3?0.432. 5［师］哪一位同学能用计算器快速计算出上面各式的值呢？ ［生］能.

(1) 800≈28.28；(2) 322≈1.639；(3) 0.58≈0.7616；(4) 3?0.432≈－0.7560. 5［例题］利用计算器比较33和2的大小.

解：33=1.44224957，2=1.414213562 ∴33＞2

［师］请大家用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字) 投影片：(§2.5 A) (1)49； (2)0.81； (3)1369； (4)1.5376； (5)5； (6)0.24； (7)348.3； (8)3343.5； (9)34936； (10) 30.007283. ［师］刚才我们练习了10个小题，对于求平方根或者立方根的程序已基本熟练，在此基础上，下面我们来做一个判断题，看看题中已经求出的立方根与平方根是否正确.

投影片：(§2.5 B) 下列计算结果正确吗？ (1)1234≈35.1； (2)31200≈10.6； (3)8955≈9.5； (4) 312345≈231. ［生］(1)正确.因为题目没有要求结果保留几个有效数字，所以正确. (2)正确.和上面的原因相同. (3)错. 8955≈94.6. (4)错. 312345≈23.1.

四、议一议

(1)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算??随开方次数的增加，你发现了什么？

［师］请大家每人找一个很大的正数，不同的人的数字不要相同，按要求去做然后总结. ［生］我找的数是123456789，一直进行开平方运算，运算的结果是越来越接近1. ［师］其他同学的情况怎样呢？ ［生］(齐声答)也是这个结果. ［师］哪位同学能做一下总结？

［生］任何一个大于1的数，不管它有多大，一直进行开平方运算，结果越来越近1. ［师］这位同学的语言表达能力很棒，这就是规律，再看(2)题. (2)改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有规律. ［生］和上面的结果一样.

［师］既然结果相同，能否把它们合起来总结一下规律是什么？

［生］任何一个正数，不管它是大于1的数，还是小于1的数，一直进行开平方运算，运算的结果越来越接近1.

［师］非常棒.大家能否把(1)、(2)中的开平方运算改成开立方运算进行探索呢？ ［生］能.

［生］结果也是越来越趋近于1. ［师］请一位同学总结一下.

［生］任何一个正数，利用计算器进行开立方运算，对所得结果再进行开立方运算?随着开方次数的增加，结果是越来越接近1.

五、课堂练习

1.利用计算器，比较下列各组数的大小.

55?1(1)311,5； (2),.

822.用计算器求下列各式的值.

(1)0.2116；(2)－56169；(3)0.0121；(4)(7)－37456.3；(8) 30.84521；(9) 32278；(5)790.8；(6)0.0006705； 25?859；(10) 3；(11) 3400000；

六、课时小结

1.探索用计算器求平方根和立方根的步骤，并能熟练地进行操作. 2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. Ⅴ.课后作业:习题2.5(作为测验试卷) 七、活动与探究

1.(1)任意找一个正数，利用计算器将该数除以2，将所得结果再除以2??随着运算次数的增加，你发现了什么？

答：结果越来越小，趋向于0.

(2)再用一个负数试一试，看看是否仍有类似规律. 答：结果越来越大，也趋向于0. 2.捉弄人的计算器

数学老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方(x＜y＜z)，已知x=31329，z=32041，求y.并要求小明使用老师准备的计算器作答，小明说：

“老师也太小看我了，这么简单的问题让我做？” “那就请你在10分钟内把答案交给我.”老师笑着说.

“不用10分钟，1分钟就够了.”小明边说边按计算器?? “老师，你的计算器坏了，根号键不能用，”小明这才发现老师给他的是一个捉弄人的计算器.“是吗？其他键能用吗？”“其他键都好好的.”小明试了试其他各键说.

“现在你还能在10分钟之内给我答案吗？” 请你帮小明想想办法.

答：因为根号键不能用，所以不能用开平方的方法来求，但是我们知道，平方和开平方是互为逆计算，可以用平方的方法来求，因为1002=10000，所以可以确定y是一个三位数，因为2002=40000，所以y是介于100到200之间，又1702=28900，1802=32400，所以y应是大于170而小于180的三位数.下面就可以用探索的方法从171开始去试，只到找到为止.y为178.

1.4平面直角坐标系（第一课时）

一、教材分析

平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁，它是数学乃至其它学科研究问题的有力工具，新教科书提前安排此内容，其目的是让学生尽早接触这个数学工具，尽早感受数形结合的思想。

二、教学目标 知识与技能：

认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的直角坐标系中能根据坐标描出点，能由点的位置写出其坐标。

数学思考与解决问题：

1.能根据问题的需要，建立适当的平面直角坐标系（在方格纸上），以此来发展学生的空间观念，体会平面直角坐标系在解决问题中的作用。

2.通过“思考”与“探究”等数学活动，培养学生独立思考的学习习惯，体验数学中的探索与创造，发展创新精神。

情感态度与价值观：通过同学之间，师生之间的交流与讨论，培养学生善于与人合作的良好习惯。 三、教学重点：

平面直角坐标系的建立及点的坐标概念 四、教学方法：

自主探究，合作交流（模式） 五、教学媒体：投影仪、坐标纸 六、教学过程 （一）课题引入

1、生活中我们可以用什么来表示位置？例如：影剧院中的座位，教室里的座位等。 2、如图：

A B

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

请你写出A和B两点所对应的数，反过来，请你描 出数-2和4所对应的点，这个数叫做这个点的坐标。由此可见，利用数轴可以确定直线上点的位置。

3、上面两个问题启发我们找到一种办法来确定平面内的点的位置。 板书课题：平面直角坐标系 （二）授新课

1、教师引导学生对教科书P19的“思考”栏目中的问题进行独立思考，并观察教科书中图1-9，再图中建立平面直角坐标系。

（在教师的启发、引导下，学生会在方格纸上建立起直角坐标系，然后同学之间交流思维过程和结果，全班同学会得出多种建立直角坐标系的方法。）

2、利用投影仪向学生展示教科书中图1-9，教师利用此图向学生介绍平面直角坐标系有关知识及点的坐标概念。

3、在教师点拨和指导下，由学生完成教科书中21页例题。（这中间教师要多关注学困生的情况，多给他们以帮助。）

4、对于教科书21页“思考”栏目中的问题，先由学生独立思考，然后生生、师生之间开展讨论、交流、总结。

5、课堂练习：由学生自主完成教科书22页练习，然后在教师组织下，交流思维过程和结果。 6、对于教科书22页的“探究”栏目中的问题，先由学生自主探究、独立思考，然后同学之间、师生之间展开交流和讨论。可得出多种建立平面直角坐标系的方法，让学生体会解决问题方法的多样性，同时知道对于不同的建系方法，同一个点的坐标是不同的。但从点的坐标简单起见，选择一种最优方法。

七、小结：同学们，通过本节课的学习，请大家谈一谈收获和体会。 八、作业：P26 A组1、2、3

第二课时

教学目标：

1、使学生进一步熟悉由坐标确定点和由点求坐标的方法.理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

2、会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置，并会根据点的位置，确定点的横坐标、纵坐标的符号.

3、掌握确定已知点关于坐标轴（或原点）的对称点的方法.培养学生观察，归纳总结的能力.

4、培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心. 5、渗透数形结合的思想，培养学生思维的严谨性和深刻性. 教学重点：

1、掌握象限或坐标轴上的点的坐标的特点. 2、会求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标.

教学难点：理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

教学用具：直尺、计算机 教学方法：合作学习，讨论，探究 教学过程：

1、提出问题，主动探索

上节课我们学习了平面直角坐标系的概念，并介绍了象限与坐标轴.初步体会到平面内的点与有序实数对是一一对应的.今天我们需要开始新的探索，发现数学知识. 下面看例1

例1、指出下列各点所在象限或坐标轴；

你能发现什么规律吗？

解：描点画图后，可以从图中观察出，A点在第二象限；B点在第三象限；C点在第四象限；D点在第一象限；E点在x轴上；F点在y轴上.

做完这道题后，你发现能直接从点的坐标判断出点所在象限或坐标轴吗？ 通过学生的分组讨论后，可总结如下：

象限与坐标轴的定义都是以图形的形式直观给出的.通过本例题，又总结出了相应的代数规律.渗透了数与形的结合.并培养了学生由特殊到一般的抽象思维能力. 练习: P28A组 7 B组4、5 教学目标：

1、使学生进一步熟悉由坐标确定点和由点求坐标的方法.理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

2、会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置，并会根据点的位置，确定点的横坐标、纵坐标的符号.

3、掌握确定已知点关于坐标轴（或原点）的对称点的方法.培养学生观察，归纳总结的能力.

4、培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心. 5、渗透数形结合的思想，培养学生思维的严谨性和深刻性. 教学重点：

1、掌握象限或坐标轴上的点的坐标的特点. 2、会求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标.

教学难点：理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系. 教学用具：直尺、计算机 教学方法：合作学习，讨论，探究 教学过程：

1、提出问题，主动探索

上节课我们学习了平面直角坐标系的概念，并介绍了象限与坐标轴.初步体会到平面内的点与有序实数对是一一对应的.今天我们需要开始新的探索，发现数学知识.

下面看例1

例1、指出下列各点所在象限或坐标轴；

你能发现什么规律吗？

1.5 回顾与思考

教学目标

(一)知识目标:

1.本章知识的网络结构. 2.重点内容归纳.

(1)数怎么又不够用了，引出了无理数.(2)有理数与无理数的联系与区别. (3)算术平方根、平方根的定义，会求正数的算术平方根和平方根. (4)立方根，开立方的定义，会求一个数的立方根.(5)估算的方法. (6)用计算器开方.(7)实数的定义，实数的运算法则和运算律. (二)能力训练目标:

1.熟练掌握本章的知识网络结构.

2.理解无理数，实数，算术平方根，平方根，立方根，开立方的定义. 3.理解有理数与无理数的区别与联系.4.开方运算和乘方运算有什么联系？ 5.掌握估算的方法.6.正确运用实数的运算法则和运算律. (三)情感与价值观目标:

通过本章内容的小结与复习培养学生学会归纳，整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，并培养良好的学习品质.

教学重点

本章知识的网络结构，知识间的相互关系. 教学难点 知识的运用. 教学过程 一.导入

本章的内容已全部学完.请同学们回忆并归纳本章所学的知识.

（本章的内容有：数怎么又不够用了；平方根，算术平方根的定义及求法；立方根的定义及求法；估算的方法，用计算器开方，实数的概念，实数的运算法则和运算律.）

本节课将对本章知识内容进行系统归纳，总结. 二.讲授新课 1.重点内容归纳

(1)无理数的引入及它与有理数的联系与区别.

（由a2=2得a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，是无理数，就引入了无理数）.

(2)算术平方根与平方根的联系与区别.

若一个正数x2=a，则x叫a的算术平方根；若一个数x2=a，则x叫a的平方根.它们的联系有：(1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根与

算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.

区别是：(1)从定义看不同.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同.正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为

a.(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.

(3)立方根的有关知识.

若x3=a，则x叫a的立方根.立方根的性质有：一个正数的立方根是一个正数.一个负数有一个负的立方根，零的立方根为零.

立方根、平方根、算术平方根都是通过什么运算得到的.这种运算和乘方运算之间有什么关系呢？

立方根、平方根、算术平方根都是通过开方运算得到的，开方运算和乘方运算是互为逆运算.

(4)估算.

是公园有多宽，也就是估算.估算就是利用乘方运算来进行的.估算的步骤大致为：(1)估计是几位数；(2)确定最高位上的数字(如百位)；(3)确定下一位上的数字(如十位)；(4)依次类推，直到确定出个位上的数或者按要求精确到小数点后的某一位.

(5)实数的定义及实数的运算法则和运算律. a.有理数和无理数统称为实数. b.实数的分类有: (1)按定义分

???正整数???正有理数??正分数??????有理数?零??有限小数或无限循环小数???? 实数?负整数??负有理数?????负分数??????正无理数??无理数??无限不循环小数负无理数?????正实数(2)按大小分:实数? ?零?负实数?c.实数大小的比较

在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大. d.实数和数轴上点的对应关系.

实数和数轴上的点是一一对应的关系. e.实数的几个概念.

(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值都和有理数范围内的概念相同. f.实数的运算法则和运算律. 2.知识点的运用 ［例1］判断题:

(1)4的算术平方根是±2；(2)4的平方根是2；(3)8的立方根是±2； (4)无理数就是“没有理由的数”；(5)不带根号的数都是有理数； (6)无理数就是开方开不尽的数；(7)两个无理数的和还是无理数.

［例2］把下列各数写入相应的集合中.

?－1，311，0.3，，49,3?8，0，0.1010010001?(相邻两个1之间0的个数逐次加

21).

(1)正数集合{ ?}；(2)负数集合{ ?}； (3)有理数集合{ ?}；(4)无理数集合{ ?}. 注：正、负数集合是从数的符号来考虑的；有理数、无理数集合是从实数的分类来考虑的，正、负数可能是有理数或无理数，有理数，无理数包含正、负有理数，无理数.

［例3］你会估算吗？请估算下列各组数的大小，并作比较.

(1)17，3.965；(2) 311，19.

［例4］求下列各数的平方根与算术平方根：

49(1)2.25； (2)361；(3)；(4)10－4.

36注：这个题主要是区分算术平方根与平方根的概念而设置的. ［例5］化简：

(1)(5?3)(5?3);(2)18?72;(3)32?31?21 .8三.课堂练习：

1.1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根和立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 2.化简

(1)

120?512?27?28?700. ?2；(2)；(3)212?348；(4)7533．如下图所示,15只空桶(每只油桶底面的直径均为50厘米)堆在一起,要给它们盖一个遮雨

棚,遮雨棚起码要多高?

解:设油桶底面的直径为d. 由图根据勾股定理得

h=(4d)2?(2d)2=23d ∴h+d=23d+d=(23+1)d =(23+1)350

≈223.20(厘米)答：遮雨棚起码要223.20厘米高.

教学后记：

2.1 函数和它的表示方法

教学目标： 【知识目标】：

1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。

2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。 3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。 【能力目标】

1、通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。 2、经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。 【情感目标】

1、经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想。

2、让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学

习模式。 教学重点：

1、 掌握函数概念。

2、 判断两个变量之间的关系是否可看作函数。 3、 能把实际问题抽象概括为函数问题。

教学难点：

1、 理解函数的概念。

2、 能把实际问题抽象概括为函数问题。

教学过程设计：

一、创设问题情境，导入新课 『师』：同学们，你们看下图上面那个像车轮状的物体是什么？

『生』：摩天轮。 『师』：你们坐过吗？ ?? 『师』：当你坐在摩天轮上时，人的高度随时在变化，那么变化是否有规律呢？ 『生』：应该有规律。因为人随轮一直做圆周运动。所以人的高度过一段时间就会重复依次，即转动一圈高度就重复一次。 『师』：分析有道理。摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系。请看下图，反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。

大家从图上可以看出，每过6分钟摩天轮就转一圈。高度h完整地变化一次。而且从图中大致可以判断给定的时间所对应的高度h。下面根据图5－1进行填表： t/分 h/米 0 1 2 3 4 5 ?? t/分 h/米 0 3 1 11 2 37 3 45 4 37 5 11 ?? ??

『师』：对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ 『生』：确定。 『师』：在这个问题中，我们研究的对象有几个？分别是什么？ 『生』：研究的对象有两个，是时间t和高度h。 『师』：生活中充满着许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？如：弹簧的长度与所挂物体的质量，路程的距离与所用时间??了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界。下面我们就去研究一些有关变量的问题。

二、新课学习 1、 做一做

（1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何

变化的？

填写下表： 层数n 物体总数y 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 ? ? 『师』：在这个问题中的变量有几个？分别师什么？ 『生』：变量有两个，是层数与圆圈总数。 （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米，V2一般地有经验公式S?,其中V表示刹车前汽车的速度（单位：300千米/时） ①计算当fenbie为50，60，100时，相应的滑行距离S是多少？ ②给定一个V值，你能求出相应的S值吗？ 解：略 2、 议一议 『师』：在上面我们研究了三个问题。下面大家探讨一下，在这三个问题中的共同点是什么？不同点又是什么？ 『生』：相同点是：这三个问题中都研究了两个变量。 不同点是：在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系；第三个问题是以关系式来表示两个变量间的关系的。 『师』：通过对这三个问题的研究，明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量

的值”这一共性。

3、 函数的概念

在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一各变量（自变量）的值，相应地就确定

另一个变量（因变量）的值。

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，

那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

三、随堂练习

书P32页 随堂练习1、2、 四、本课小结

1、 初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。

2、 在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。 3、 函数的三种表达式：

（1） 图象；（2）表格；（3）关系式。

五、探究活动

为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，

水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x >10），应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？

（参考答案：Y=1.8x-6或x?六、课后作业 P34 1、2

510y?） 932.2一次函数

教学目标 1.知识目标

1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。 2.能力目标

1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。

2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。 3.情感目标

1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。 2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。 教学重点

1、一次函数、正比例函数的概念及关系。 2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。 教学过程

1、新课导入

有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：

某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。

（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：

x/千克 y/厘米 0 3 1 3.5 2 4 3 4.5 4 5 5 5.5 （2）你能写出x与y之间的关系式吗？

分析：当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。

2、做一做

某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千克耗油9升。 （1）完成下表：

汽车行驶路程x/千米 油箱剩余油量y/升 0 50 100 150 200 300 你能写出x与y之间的关系吗？（y=100-0.18x或y=100-3、一次函数，正比例函数的概念

9x） 50上面的两个函数关系式为y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

4、例题讲解

例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） ①y=x-6；②y=

A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④

例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ ①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式； ②圆的面积y（厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系；

③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）

[（1）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；（2）y=πx，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；（3）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数]。

例3：我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于800元但低于1300元的部分征收5%的所得税??如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160-800）35%=18（元）

①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式。 ②某人某月收入为960元，他应缴所得税多少元？

③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？ 分析：（1）当月收入大于800元而小于1300元时， y=0.053(x-800)；

（2）当x=960时，y=0.053(960-800)=8(元)；

（3）当x=1300时，y=0.053(1300-800)=25（元），25>19.2，因此本月工资少于1300元，设此人本月工资是x元，则0.053(x-800)=19.2，x=1184。

5、课堂练习 随堂练习

（1）解：y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数。 （2）解：y=100+8x，y是x有一次函数。 补充练习

2

2

2x；③y=；④y=7-x x8

1、见下表：

x y -2 -5 -1 -2 0 1 1 4 2 7 ?? ?? 根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y是否为x有正比例函数？

2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超3333

过6米时，水费按0.6元/米收费；每户每月用水量超过6米时，超过部分按1元/米收费。设每户每

333

月用水量为x米，应缴水费y元。（1）写出每月用水量不超过6米和超过6米时，y与x之间的函数关

3

系式，并判断它们是否为一次函数。（2）已知某户5月份的用水量为8米，求该用户5月份的水费。[①y=0.6x，y=x-2.4，y是x的一次函数。②y=8-2.4=5.6（元）] 六、课后小节

1、一次函数、正比例函数的概念及关系。

2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。 七、课后作业

P 45习题2.2 1、2

2.3 一次函数的图象（一）

一、教学目标

1、理解函数图象的概念。

2、经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。 3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 4、能较熟练作出一次函数的图象。 二、能力目标

1、已知解析式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力。 2、在探究活动中发展学生的合作意识和能力。 三、情感目标

1、经历作图过程，归纳总结作函数图象的一般步骤，发展学生的总结概括能力。 2、加强新旧知识的联系，促进学生新的认知结构的建构。 四、教学重点

1、能熟练地作出一次函数的图象。 2、归纳作函数图象的一般步骤。

3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 五、教学过程

1、新课导入

上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的关系,并能根据已知信息列出x与y的函数关系式,本节课我们研究一下一次函数的图象及性质。

2、讲授新课 （1）函数图象的概念

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

假设在代数表达式y=2x中，自变量x取1时，对应的因变量y=2，则我们可在直角坐标系内描出表示（1，2）的点，再给x的另一个值，对应又一个y，又可知道直角坐标系内描出另一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y=2x的图象，由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合。

（2）作一次函数的图象

例1：作出一次函数y=2x+1的图象 解：列表： x y=2x+1 ? ? -2 -3 -1 -1 0 1 1 3 2 5 ? ? 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。 连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x+1的图象，它是一条直线。

小结：从刚才作图的情况来总结一下作一次函数图象有哪些步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。 做一做

（1）作出一次函数y=-2x+5的图象，

（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-2x+5。 列表： x y=-2x+5 ? ? -2 9 -1 7 0 5 1 3 2 1 ? ? 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。 连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线。 图象略：

在图象上找点A（3，-1）B（4，-3），当x=3时，y=-233+5=-1；当x=4时，y=-234+5=-3。（3，-1），（4，-3）满足关系式y=-2x+5。 3、议一议

（1）满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上吗？ （2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5吗？ （3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？ 请大家分组讨论，然后回答。

（1）满足关系式y=-2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y=-2x+5的图象上。 （2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5。

由此看来，满足函数关系式y=-2x+5的x,y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上；反过来，一次函数y=-2x+5的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-2x+5。

所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足一次函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x，纵坐标y都满足一次函数的代数表达式。

小结：一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y-kx+b。

4、课堂练习

1分别作出一次函数y=x与y=-3x+9的图象。

3六、课后小结

1、函数图象的概念。 2、作一次函数的步骤。

3、明确一次函数的图象是一条直线，因此在作图时，不需要列表，只要确定两点就可以了。 七、课后作业

P40 1、2

2.3.一次函数的图象（二）

一、教学目标

1、了解正比例函数y=kx的图象的特点。 2、会作正比例函数的图象。

3、理解一次函数及其图象的有关性质。 4、能熟练地作出一次函数的图象。 二、能力目标

1、进一步培养学生数形结合的意识和能力。

2、通过议一议，培养学生的探索精神和合作交流意识。 三、情感目标

让学生全身心地投入教学活动中，能积极与同伴合作交流，并能进行探索的活动，发展实践能力与创新精神。 四、教学重点

1、正比例函数的图象的特点。 2、一次函数的图象的性质。 五、教学过程

1、新课导入

上节课我们学习了如何画一次函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线。经过讨论我们又知道了画一次函数的图象不需要许多点，只要找两点即可，还明确了一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。

本节课我们进一步来研究一次函数的图象的其他性质。 2、讲授新课

（1）首先我们来研究一次函数的特例——正比例函数有关性质。 请大家在同一坐标系内作出正比例函数y=图略： 3、议一议

（1）正比例函数y=kx的图象有什么特点？（都经过原点） （2）你作正比例函数y=kx的图象时描了几个点？（至少两点） （3）直线y=角最小？

1x，y=x，y=3x，y=-2x的图象。 21x，y=x，y=3x中，哪一个与x轴正方向所成的锐角最大？哪一与x轴正方向所成的锐24、小结：正比例函数的图象有以下特点： （1）正比例函数的图象都经过坐标原点。

（2）作正比例函数y=kx的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k）点。

（3）在正比例函数y=kx图象中，当k>0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角越大。 （4）在正比例函数y=kx的图象中，当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小。

5、做一做

在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x+6,y=-x,y=-x+6,y=5x的图象。

一次函数y=kx+b的图象的特点：分析：在函数y=2x+6中，k>0，y的值随x值的增大而增大；在函数y=-x+6中，y的值随x值的增大而减小。

由上可知，一次函数y=kx+b中，y的值随x的变化而变化的情况跟正比例函数的图象的性质相同。对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原点，但是和两

个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，也需要描两个点。一般选取（0，b），（-6、想一想

达到20，这说明随着x的增加，y=5x的函数值比y=2x+6的函数值增加得快）

（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？（平行,一次函数k相同就平行） （3）直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何？（相交） 7、课堂练习

b，0）比较简单。 k（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+6和y=5x哪一个值先达到20？这说明了什么？（y=5x的函数值先

1、下列一次函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ） A、y=-5x+3 B、y=-x-7 C、y=3x-5 D、y=-7x+4 2、下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ） A、y=六、课后小结 七、作业

P 45 1、2

2x-8 B、y=-x+3 C、y=2x+5 D、y=7x-6 31、正比例函数y=kx的图象的特点。2、一次函数y=kx+b的图象的特点。

2.4建立一次函数模型

一、教学目标 确定一次函数的表达式 二、教学重点

根据所级信息确定一次函数的表达式。 三、教学过程

1、新课导入

在上节课中我们学习了一次函数图象的定义，在给定表达式的前提下，我们可以说出它的有关性质，如果给你信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题。

2、讲授新课

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（米/秒）与其下滑时间t（秒）的关系如图所示。 （1）写出v与t之间的关系式？ （2）下滑3秒时物体的速度是多少？

分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数图象，然后设函数解析式，再把已知的坐标代入解析式求出待定系数即可。

解：由题意可知v是t的正比例函数。 设v=kt

因为（2，5）在函数图象上，所以2k=5，k=2.5，v与t关系式为v=2.5t。 （2）求下滑3秒时物体的速度，就是求当t等于3时的v的值。 解：当t=3时，v=2.533==7.5（米/秒） 3、想一想

（1）确定正比例函数的表达式需要几个条件？（一个） （2）确定一次函数的表达式呢？（两个）。 4、例题讲解

例1：在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（千克）的一次函数、当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时的弹簧的长度。

分析：该题没有图象，当题中以告知是一次函数，因此我们可设y=kx+b，根据题意，得 15=k+b， ① 16=3k+b， ② 由①得b=15-k； 由②得b=16-3k；

所以15-k=16-3k，即k=0.5。

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