同济六版高等数学上下册课后习题答案练习五

习题五

1 计算下列对坐标的曲面积分

(1) x2dydz 其中 为球面x2 y2 z2 1在第二卦限部分的外侧

解 : x y2 z2 后侧 Dyz y2 z2 1 于是

d (1 r2)rdrxdyd z (1 y z)dyd z 0 082221

Dyz (2) xy2z2dxdy 其中 是球面x2 y2 z2 R2在x 0部分的后侧

解 的方程为x R2 y2 z2 Dyz y2 z2 R2 于是

2222222 yz( R y z)dyd zxyzdxdy Dyz

2 d r2co2s r2sin R2 r2 rdr 00

2 R12 sin2 d R2 r2r5dr 2 R7 040105

(3) (y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy 其中 是圆锥面x2 y2 z2(0 z h)的外

2 R

表面

解 外侧的法向量为n (2x 2y 2z) 2(x y z) 单位法向量为

s,co s,co s) (co y1(x, y, z) 1(x, , 1) zzx2 y2 z2

由两类曲面积分之间的关系 有

(y z)dyd z(z x)dzd x(x y)dxd y

[(y z)cos (z x)cos (x y)cos ]dS

1[(y z) x (z x) y (x y)( 1)]dS 10dS 0 zz2

(4)xzdxdy xydydz yzdzdx 其中 是平面x 0 y 0 z 0 x y z 1

所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧

解 1 2 3 4 其中 1、 2、 3是位于坐标面上的三块

4 z 1 x y Dxy 0 x 1 0 y 1 x

显然在 1、 2、 3上的曲面积分均为零 于是

dxyydy dyzzdzd xxzdxdy xydydz yzdzdx xzdx

4

(xycos yzcos xzcos )dS

4

(xy yz xz)dS 3 [xy (x y)(1 x y)]dxdy 1 8D 4xy

4 把对坐标的曲面积分

其中 y P(x,y,z)dyd zQ(x,y,z)dzd xR(x,y,z)dxd化成对面积的曲面积分

(1) 是平面3x 2y 2z 6在第一卦限的部分的上侧

解 令F(x,y,z) 3x 2y 2z 6 上侧的法向量为

n (Fx,Fy,Fz) (3, 2, 2)

单位法向量为

(co s,co s,co s) 1(3, 2, 2) 5

于是 Qzdzd xRdxd y (Pcos Qcos Rcos )dS Pdyd

1(3P 2Q 2R)dS 5

(2) 是抛物面z 8 (x2 y2)在xOy面上方的部分的上侧

解 令F(x y z) z x2 y2 8 上侧的法向量

n (Fx Fy Fz ) (2x 2y 1)

单位法向量为

(co s,co s,co s) 于是 1(2x, 2y, 1) 22 4x 4y Qzdzd xRdxd y (Pcos Qcos Rcos )dS Pdyd

1(2xP 2yQ R)dS 22 4x 4y

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8bq4.html