2014高考数学二轮解答题专项训练及答案-解答题专项训练函数与导数

专题升级训练解答题专项训练(函数与导数)

1.已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R).

(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;

(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求a的取值范围.

2.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).

(1)求f(x)的最小值;

(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.

3.已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=.

(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;

(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;

(3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解?

4.已知函数f(x)=ln(x-1)+(a∈R).

(1)求f(x)的单调区间;

(2)如果当x>1,且x≠2时,恒成立,求实数a的取值范围.

5.已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+x2.

(1)求f(x)的解析式及单调区间;

(2)若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.

6.(2013·浙江,理22)已知a∈R,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.

7.已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中a>0,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.

(1)用a表示b,并求b的最大值;

(2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).

8.已知函数f(x)=.

(1)若函数f(x)在区间(a>0)上存在极值点,求实数a的取值范围;

(2)当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围;

(3)求证:[(n+1)!]2>(n+1)(n∈N*,e为自然对数的底数).

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1.解:(1)当a=0时,f(x)=x2,

对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x),

∴f(x)为偶函数.

当a≠0时,f(x)=x2+(a≠0,x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,

∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).

∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,

则f'(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,

即2x-≥0在[2,+∞)上恒成立,

即a≤2x3在[2,+∞)上恒成立,

只需a≤(2x3)min,x∈[2,+∞),

∴a≤16.

∴a的取值范围是(-∞,16].

2.解:(1)f(x)=ax++b≥2+b=b+2,

当且仅当ax=1时,f(x)取得最小值为b+2.

(2)由题意得f(1)=?a++b=,①

f'(x)=a-?f'(1)=a-,②

由①②得a=2,b=-1.

3.解:(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数,

∴f(0)=0.

设x∈(-1,0),则-x∈(0,1),

f(-x)==-f(x),

∴f(x)=-,

∴f(x)=

(2)设0

f(x1)-f(x2)

=

=,

∵0

∴>20=1,

∴f(x1)-f(x2)>0,

∴f(x)在(0,1)上为减函数.

(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数,

∴

即f(x)∈.

同理,f(x)在(-1,0)上的值域为.

又f(0)=0,∴当λ∈,或λ=0时,

方程f(x)=λ在x∈(-1,1)上有实数解.

4.解:(1)定义域为(1,+∞).f'(x)=.

设g(x)=x2-2ax+2a,Δ=4a2-8a=4a(a-2).x k b 1 . c o m

①当a≤0时,对称轴为x=a,g(x)>g(1)>0,所以f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数;

②当0≤a≤2时,g(x)=(x-a)2+2a-a2≥0,所以f'(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上是增函数;

③当a>2时,令g(x)=0,得x1=a->1,x2=a+.

令f'(x)>0,解得1x2;

令f'(x)<0,解得x1

所以f(x)的单调递增区间为(1,x1)和(x2,+∞);f(x)的单调递减区间为(x1,x2). (2)可化为>0.(※)

设h(x)=f(x)-a,由(1)知:

①当a≤2时,h(x)在(1,+∞)上是增函数;

若x∈(1,2),则h(x)

若x∈(2,+∞),则h(x)>h(2)=0.

所以,当a≤2时,(※)式成立.

②当a>2时,h(x)在(x1,2)上是减函数,所以h(x)>h(2)=0,(※)式不成立.

综上,实数a的取值范围是(-∞,2].

5.解:(1)f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+x2=e x-f(0)x+x2?f'(x)=f'(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得f(0)=1. f(x)=f'(1)e x-1-x+x2?f(0)=f'(1)e-1=1?f'(1)=e,

得f(x)=e x-x+x2.令g(x)=f'(x)=e x-1+x,

则g'(x)=e x+1>0?y=g(x)在x∈R上单调递增,

∴f'(x)在R上单调递增,

f'(x)>0=f'(0)?x>0,f'(x)<0=f'(0)?x<0,

得f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2,

且单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).

(2)令h(x)=f(x)-x2-ax-b,则h(x)=e x-(a+1)x-b≥0,h'(x)=e x-(a+1).

①当a+1≤0时,h'(x)>0?y=h(x)在x∈R上单调递增,

x→-∞时,h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.

②当a+1>0时,

h'(x)>0?x>ln(a+1),h'(x)<0?x

得:当x=ln(a+1)时,

h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0,

(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(a+1>0).

令F(x)=x2-x2ln x(x>0),则F'(x)=x(1-2ln x),

F'(x)>0?0.

当x=时,F(x)max=.

当a=-1,b=时,(a+1)b的最大值为.

6.解:(1)由题意f'(x)=3x2-6x+3a,故f'(1)=3a-3.

又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.

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