三线摆法测量重力加速度

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一.实验目的

1. 学会用三线摆测量物体的转动惯量。 2. 学会用积累放大法测量周期运动的周期。

3. 学会利用转动惯量的平行轴定理测量当地的重力加速度。

二. 实验仪器

转动惯量测试仪，秒表，游标卡尺，物理天平，卷尺，水平仪。

三. 实验原理

图一 是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于

上圆盘 水平，悬挂在横梁上（图上未

画出）。三个对称分布的等长

r A 悬线将两圆盘相连。上圆盘固

定，下圆盘转动角很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可以近似的看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体的转动定律均可以导出物体绕中心轴AB的转动惯量（推导过程

B 见后）：

R H I0?m0gRr2T0 （1-1） 24?H0下圆盘 挡光杆 式中各物理量的含义如下：

m0为下盘的质量

图一 三线摆实验示意图

r、R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离

H0为平衡时上下盘间的垂直距离

T0为下盘作简谐运动的周期，

g为重力加速度。

若质量为m的物体绕通过其质心轴EF的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离x时（如图二），则此物体对新轴CD的转动惯量为I?Ic?mx。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

2E

x C

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F D

图二 平行轴定理

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实验时将质量均为m?，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下圆盘有对称的两个小孔）。按上面的方法，测出两个小圆柱和下盘绕中心轴AB的转动周期Tx，则进一步可以求出单个圆柱体对中心转轴AB的转动惯量：

1(m?2m?)gRr2Ix?[02Tx?I0]

24?H0 （1-2）

如果测量出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱体的半径Rx，则由平行轴定理可求得

12??m?x2?m?Rx （1-3） Ix2??Ix，则由（1-2）与（1-3）得 理论上，Ix4?2H0(2m?x2?m?Rx2)g? （1-4） 22Rr[(m0?2m?)Tx?m0T0]实验时，测出各个相关的物理量，即可求出g。

四.实验内容

1. 调节底座水平：将水平仪置于底座任意两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪

的气泡在中间。再把水平仪放到另外两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时底座水平。

2. 调整下盘水平：将水平仪置于下盘任意两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪

的气泡在中间。再把水平仪放到另外两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时下盘水平。

3. 测定仪器常数l、R、r，并测量圆环、圆柱体和下盘的质量。其中l为悬线长，r和R

分别为上下圆盘中心到悬点的距离，通过测出的两圆盘的相邻两个悬点间的距离a和b由等边三角形关系算出r和R，即 r?a3,R?b3 （1-5）

测定圆环内外半径R1,R2。测量小圆柱的半径Rx。

4. 测量空盘绕中心轴AB转动的运动周期T0：轻轻转动上盘（上盘上有小转动杆），带动

下盘转动，这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在5°以内。

用积累放大法测出扭摆运动的周期（测量摆动50次所需的时间，重复五次）。 5. 测量两个小圆柱体（对称放置）与下盘共同转动的周期Tx。 6. 将上面测得的各物理量带入（1-4）中，计算出g来。

五.数据结果（表格自行设计）

（1）计算出各直接测量量的平均值d和不确定度，并写出表达式。

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（2）利用误差传递公式计算出?g，把结果表示为： g?g??g （3）计算相对误差E。 附录

公式（1-1）的推导： 如图所示，设R和r分别表示系绳点到B盘中心和A盘中心的距离，l表示悬线的长度，H表示上下盘之间的垂直距离，由几何关系得到：

a o2 A (ac1)2?(ac)2h?ac1?ac?,

ac1?ac因为

(ac1)2?(ab1)2?(b1c1)2?l2?(R?r)2c o1 b2 h o B (ac)2?(ab2)2?(cb2)2?l2?(cb2)2

利用余弦定理得

b1 c1 (cb2)2?R2?r2?2Rrcos?

其中，φ表示∠co1b2 所以有，

(ac)2?l2?(R2?r2?2Rrcos?)

根据以上各式，可以得到h的表达式：

h?2Rr(1?cos?)?ac1?ac2Rr?2sin2ac1?ac?2，

因为悬线长度l很长，B盘的偏转角φ很小，故上式中的ac1?ac?H，那么

2Rrsin2h?H?又因为

?2

sin?2?2

所以

Rr?2 h?

2H上式两边同时对t求倒数，有：

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dh?Rrd?dt?Hdt 不计摩擦力，系统机械能守恒，即

m1220gh?2I10??2m0v?const 而

??d?dt,v?dhdt 所以

m1Id?1dh20gh?20(dt)2?2m0(dt)?const 因为圆盘的转动能量远比其上下运动的平动能大，所以将平动能略去后上式写为：m0gh?12I(d?0dt)2?const 上式两边对t求导，得

d2?m0gRrdt2??(HI)? 0那么有，B圆盘简谐振动的角频率??m0gRrHI 0因为简谐振动的周期T0?2??，

由以上两个式子就可以求出

IgRr0?m04?2HT20 0

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