2012中考数学热点专题突破训练――“最值”问题

西安一帆教育辅导中心 2012

中考数学热点专题突破训练――“最值”问题

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的

最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，

大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都

应用这一模型。

二、 利用函数模型求最值

例1 、如图（1），平行四边形ABCD中，AB?4,BC?3,?BAD?120?，E为BC上一动点（不与B重合），作EF?AB于F，设BE?x,?DEF的面积为S.当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

F

B

【观察与思考】容易知道S是x的函数，为利用函数的性质求S的最大值， 就应先把S关于x的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 解：如图（1`），延长FE交DC的延长线于G,易知FG?DG。

A D （1）

E C

（1）

?S?31x， EF?DG，而EF?BE?sinB?22A D 3?x又，在Rt?CEG中，CE?3?x,CG?(3?x)?cos60??。

23?x11?x。 ?DG?DC?CG?4??22132113?S??EF?DG??x?x,中0?x?3。

288311???0,对称轴x?,?当0?x?3，S随x的增大而增大。

82F B E G

C ?当x?3，即E与C重合时，S有最大值，S最大?33。

【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。

三、利用几何模型求最值

（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”

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西安一帆教育辅导中心 例1、几何模型：

条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA?PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于点P，则PA?PB?A?B的值最小（不必证明）． 模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB?PE的最小值是___________；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA?OB，?AOC?60°，P是OB上一动点，求PA?PC的最小值；

（3）如图3，?AOB?45°，P是?AOB内一点，PO?10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

B

A l P

A

B E P D 图1

（第1题）

C

A

C

O P

B O 图2

R B P

A

A?Q 图3

例2 如图（1）所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A,B，已知AB?10千米，直线AB与公路MN的夹角?AON?30?,新开发区B到公路MN的距离BC?3千米。 （1）求新开发区A到公路MN的距离；

（2）现从MN上某点P处向新开发区A,B修两条公路PA,PB，使点P到新开发区A,B的距离 之和最短，请用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA?PB的值。

A

B M

N O C

【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。 对于（2），首先利用“轴对称”的性质，

把原题中的求“PA?PB” 最短，转化成求“ PA'?PB”最短（其中 A A'是A关于MN的对点。

解：（1）先作AD垂直于MN于点D如图（1`）

在Rt?OBC中，OB?2BC?6（千米）

B N

30° O C

M

D

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西安一帆教育辅导中心 在Rt?AOD中，AO?AB?BO?16（千米）?AOD?30?

?AD?1AO?8（千米） 2（2）作点A关于MN的对称点A'，连结BA'交MN于点P。

结果如图（1``），点P即为所求。

如图（1``），作CA''//BA'交AA'的延长线于点A''。 在Rt?CA''D中，A''D?AD?BC?11（千米），

A B N

D P （1`）

CD?OD?OC?83?33?53（千米）。 ?BA'?CA''?

30° O C M

A''D2?CD2?121?75?14（千米）。

A' A'' ?此时PA?PB?BA'?14（千米）

例3 如图，（1），在?ABC中，AC?BC?2,?ACB?90?，P为BC边上一定点，（不与

?点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a(0?a?2)，请写出CQ?PQ最小值，

并说明理由。

【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在 直线AB上求一点Q，使它到AB同侧的两个定点C和P的距离之和 最小”。因此，可由图（1`）（连结P关于AB的对称点P'与C所成线段， 交AB于Q。或图（1``）（连结C关于AB的对称点C'与P所成线段， 交AB于Q，都同样可得CQ?PQ最小值。

A A

A Q C

P

B

C'A Q'' Q' Q

C

P

Q P'B

P'

B

C

P

（1`）

C

P （1``）

B

（1```）

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解：如图（1```），作点P关于AB的对称点P'，连结CP'交AB于点Q'，易知?PBQ'??P'BQ'， ?BP'?BP?a,?P'BQ'??PBQ'?45?。 在Rt?CBP'中，CP'?CB2?P'B2?4?a2，又，在AB上任意取一异于Q'的点Q''，连结CQ'',PQ'',P'Q''，则

CQ''?PQ''?CQ''?P'Q''?CP''?4?a2 ?对AB边上的动点Q，最小值为4?a2。

【说明】Ⅰ、在本题，关键仍是将CQ?PQ最小问题，转化成求线段CP'的长，转化的桥梁仍是利用“轴对称”的性质；

注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”

3218若有一动点P，x?x?3和y轴的交点为A,M为OA的中点，

55自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，

例4 如图（1），抛物线y?并求出这个最短路程的长。

A F M y O 32E x

解：如图（1`），由题意可得A（0，3），M(0,)，抛物线的对称点

32对称轴x?3的对称点为A'（6，3）。连结M'A'。

为x?3，点M关于x轴的对称点为M'(0,?)，点A关于抛物线

y 3 M A F

根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动中 最短总路程的长，A'M'在直线的方程为y?33x?（过程略）。 42A' 设A'M'与x的交点为E,则E为在x轴上所求的点，A'M'与直线

x?3的交点为所求的F点。

3可得E点的坐标为（2，0），F点的坐标为(3,）。

415由勾股定理可求出A'M'?（过程略）

2O B E 3 xM' 版权所有，翻版必究。举报电话：029-88632543

西安一帆教育辅导中心 所以点P运动的总路程（ME?EF?FA）最短时间为

15。 2不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”

例5、如图（1），直线y??3x?2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D。 （1）求点D的坐标；

（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。 y P

y

B B D A D x

O C x O C 解：（1）在y??3x?2中，分别令x?0,y?0得B点的坐标为（2，0），C点的坐标为(23,0) 3?OB为⊙A的直径，?OD?BC。

2331?tan?CBO?3?,??B?30?,?C?60?,且OD?OB?1。

232在Rt?COD中，由?COD?30?和OD?1，得点D的坐标为（

（1`）

3,1）。 2（2）如图（1``），当点P为该抛物线的对称轴x?3和CD所在的 3直线y??3x?2的交点处时，PO?PD?PC?PD?CD，其值最大，而

y CD?OD?tan30??1?

解得此时点P的坐标为(33?。 33P y??3x?2B P D x?3,1)。 33 3

O C x

?点P为(33,1)时PO?PD取最大值为。 33版权所有，翻版必究。举报电话：029-88632543

西安一帆教育辅导中心 【说明】这里将求“两线段之差的最大值”，借助“三角形两边之差 小于第三边”转化为求一条特殊线段的长，其间，还借助了抛物线 对称轴的性质。

（1``）

四、真题演练

1. （2009舟山）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y?ax2上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

(2) 平移抛物线y?ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点

D(-4，0)是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若

存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

1y 解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入y?ax2，解得a?． A 8 2将点B(2，n)的坐标代入y?12x，求得点B的坐标为(2，2)， 26 4 D C -4 -2 O -2 -4

A′ 8 6 4 B′′ B′ D C -4 -2 O -2 -4 A′′ 2 B 2 4 x 则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．

54直线AP的解析式是y??x?．

33令y=0，得x?

44．即所求点Q的坐标是(，0)． 55414︱=， 55y (2)① 解：CQ=︱-2-故将抛物线y?

1214x向左平移个单位时，A′C+CB′最短， 252 2 4 x 114此时抛物线的函数解析式为y?(x?)2．

25

② 左右平移抛物线y?12x，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边2(第24题(2)②)

形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短； ??1分

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．

第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，

要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，

55直线A′′B′′的解析式为y?x?b?2．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，

220)代入直线A′′B′′的解析式，解得b?16． 5故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的

116函数解析式为y?(x?)2．

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2.（2010年福建晋江）已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC?3，BC?2，取AB的中点M，连结MC，把?MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到?DAO. (1)试直接写出点D的坐标；

(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作

[来源学_科_网]PQ?x轴于点Q，连结OP.

y ①若以O、P、Q为顶点的三角形与?DAO相似，试求 出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得

A M B TO?TB的值最大.

答案：

解：(1)依题意得：D??O C x y ?3?,2?； ?2?D P A M B (2) ① ∵OC?3，BC?2，∴B?3,2?. ∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为y?ax?bx?a?0?

2O T E C Q x 又抛物线经过点B?3,2?与点D???3?,2? ?2?4?a?,?9a?3b?2,???9∴?9 解得：? 32a?b?2??b??2?4?3?∴抛物线的解析式为y?∴设点P?x,422x?x. ∵点P在抛物线上， 93??422?x?x?. 93?422x?xPQQO93?x，

1) 若?PQO∽?DAO，则， ?32DAAO2解得：x1?0(舍去)或x2?51?51153?，∴点P?,?.

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422x?xOQPQx3， 2)若?OQP∽?DAO，则， ?9?32DAAO2解得：x1?0(舍去)或x2?9?9?， ∴点P?,6?. 2?2?A②存在点T，使得TO?TB的值最大. 抛物线y?3422x?x的对称轴为直线x?，设抛物线与x轴的493?3?,0?. 2??BDMPEHQC另一个交点为E，则点E?3∵点O、点E关于直线x?对称，

4∴TO?TE

要使得TO?TB的值最大，即是使得TE?TB的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，TE?TB的值最大. 设过B、E两点的直线解析式为y?kx?b?k?0?，

[来源学科网ZXXK]4??3k?b?2,??k?,∴?3 解得：?3

k?b?0???2?b??2∴直线BE的解析式为y?当x?4x?2. 3343时，y???2??1. 434?3?,?1?使得TO?TB最大 ?4?∴存在一点T?3.（11·济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。

(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？ (2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？ 解：（1）作点B关于x轴的对成点E，连接AE，则点E为（12，-7） 设直线AE的函数关系式为y=kx+b,则

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西安一帆教育辅导中心 2k+b=3 12k+b=-7

解得 k=-1 b=5 当y=0时， x=5

所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。

（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴欲点G设点G的坐标为（x，0） 在Rt△AGD中，AG=AD+DG=3+(x-2)在Rt△BCG中，BG=BC+GC=7+(12-x)∵AG=BG ∴3+(x-2)=7+(12-x) 解得 x=9

所以 ，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等。

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4.（11·雅安）如图，已知二次函数y?ax?2x?c(a?0)图像的顶点M在反比例函数y?且与x轴交于AB两点。

（1）若二次函数的对称轴为x??3上，x1，试求a,c的值； 2（2）在（1）的条件下求AB的长；

（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。

1 2

5.（11·苏州）如图，抛物线y＝x＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－

21，0)．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

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西安一帆教育辅导中心 1 23解（1）把点A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x＋bx－2，整理后解得b??，

22所以抛物线的解析式为 y?123?325???． x?x?2．顶点D?，8?22?2（2）AB?5．AC2?OA2?OC2?5，BC2?OC2?OB2?20，?AC2?BC2?AB2．

?△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C?，则C?(0，2)，OC??2．连接C?D交x轴于点M， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC?MD的值最小． 设抛物线的对称轴交x轴于点E．△C?OM∽△DEM．

?OMOC?m224．?．?m?． ??325EMED41?m28226．（11·海南）如图l l．已知抛物线y??x?bx?9?b （b为常数）经过坐标原点O， 且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限． （1）求该抛物线所对应的函数关系式；；

（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交

该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B．DE⊥x轴于点C． ①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长： ②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标：

③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断井说明理由．

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6．（1）由于抛物线y??x?bx?9?b过原点, ∴9?b?0 ∴b=?3

22239在第一象限，符合题意；? ,）24392当b=-3时，y =-x-3x，此抛物线的顶点M的坐标为（-,）在第二象限，不符合

24当b=3时，y=-x+3x，此抛物线的顶点M的坐标为（

2题意. ∴所求抛物线的函数关系式为：y =-x+3x

（2）①∵y =-x+3x，

22令y=0得-x2+3x=0解得 x1=3，x2=0；

∴抛物线与x轴另一交点为E（3，0）∴OE=3 由已知条件知，0

12（OE-BC）=1，∴B（1，0） ∴点A的横坐标为1，又∵点A在抛物线y =-x+3x上， 2∴点A的纵坐标为y=2 ∴AB=2 符合题意

此时矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=2（2+1）=6

5当BC=2时，同理求得AB= 不符合题意

4OB=

综上所述,当AB、BC长都是整数个单位时，矩形ABCD的周长是6. ②∵点A在抛物线y =-x+3x上,设A的坐标为（x,-x+3x） ∵点A在第一象限 ∴AB= -x+3x，BC=3-2x 设矩形ABCD的周长为P，则

P=2（AB+BC）=2（3-2x-x+3x） 即P=?2x?2x?6=-2（x-)?∴当x=

2222212213 251131时，此矩形周长的最大值为 此时，A（，）

4222③不是.

11由②知当x=时，矩形ABCD周长取得最大值,此时 BC=3-2×=2,

221215AB=-（）?3?=, 22455它的面积为2×= 42而当x=y M A O B D E C x 339时, BC=3-2×=, 555AB=?()?3?352336 ?525版权所有，翻版必究。举报电话：029-88632543 图11 西安一帆教育辅导中心

3632459矩形ABCD的面积为×> ?2251255∴当矩形ABCD周长取得最大值时,它的面积不是最大面积.

2

7．（11·清远）如图9，抛物线y＝(x＋1)＋k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0，－3)．

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标； （3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．

① 当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标； ② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1，

把C (0，－3)代入y＝(x＋1)＋k得－3＝1＋k ∴k＝－4 （2）连结AC，交对称轴于点P

∵y＝(x＋1)－4 令y＝0 可得(x＋1)－4＝0 ∴x1＝1 x2＝－3 ∴A (－3，0) B (1，0) 设直线AC的关系式为：y＝m x＋b 把A (－3，0)，C (0，－3)代入y＝m x＋b得， －3m＋b＝0 b＝－3 ∴m＝－1 ∴线AC的关系式为y＝－x－3 当x＝－1时，y＝1－3＝－2 ∴P (－1，－2)

② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

（3）① 设M的坐标为（x, (x＋1)－4）

112

∴S△AMB＝×AB×｜ym｜＝×4×[4－(x＋1)]

22

＝8－2(x＋1)

当x＝－1时，S最大，最大值为S＝8

2

2

2

22

y A P O B x C y A M O B x C M的坐标为(－1，－4)

② 过M作x轴的垂线交于点E，连接OM，

111

S四边形AMCB＝S△AMO＋S△CMO＋S△CBO＝×AB×|ym|＋×CO×|xm|＋×OC×BO 222

3112

＝6－ (x＋1)＋×3×(－x)＋×3×1

222

3293233281＝－x－ x＋6＝－（x＋3x－9）＝－（x＋）－

222228381当x＝－ 时，S最大，最大值为

28

8.(11·福州)已知,如图11,二次函数y?ax2?2ax?3a(a?0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B版权所有，翻版必究。举报电话：029-88632543

西安一帆教育辅导中心 两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:y?3x?3对称.

3(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上; (2)求二次函数解析式;

(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN?NM?MK和的最小值.

图11 备用图 yyllHKHKAOBxAOBx22.(满分14分)

解:(1)依题意,得ax2?2ax?3a?0(a?0)

解得x1??3,x2?1 ∵B点在A点右侧

∴A点坐标为(?3,0),B点坐标为(1,0) ∵直线l:y?3x?3

3当x??3时,y?3?(?3)?3?0

3∴点A在直线l上

AyHKCOBx(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y?3x?3对称 3 ∴AH?AB?4 过顶点H作HC?AB交AB于C点

则AC?1AB?2,HC?23 ∴顶点H(?1,23)

2 代入二次函数解析式,解得a??3 2 ∴二次函数解析式为y??3x2?3x?33

22(3)直线AH的解析式为y?3x?33

直线BK的解析式为y?3x?3 QyMHEKNl?3?x?3 由?y?3x?3 解得 即K(3,23),则BK?4

y?23??y?3x?3 ∵点H、B关于直线AK对称

?AOBDx ∴HN?MN的最小值是MB,KD?KE?23 过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E

则QM?MK,QE?EK?23,AE?QK

∴BM?MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN?NM?MK的最小值 ∵BK∥AH

∴?BKQ??HEQ?90? 由勾股定理得QB?8 ∴HN?NM?MK的最小值为8

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9.（11·深圳）如图13，抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

图13

2

2

y C y P C y C D D E D A O B x

A F O Q B x

A O B x

图14

图15

解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得：

a(3－1)＋4＝0解得：a＝－1

∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)＋4

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI???????①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)＋4，得

2

2

2

y＝－(2－1)2＋4＝3 ∴点E坐标为（2，3） 又∵抛物线y＝－(x－1)＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y＝0时，－(x－1)＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3, A 22y P C D E F I H G B Q x

版权所有，翻版必究。举报电话：029-88632543 O 图6

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∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE???????②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得： y P C ?k?1??k?b?0 ? 解得：?

b?12k?b?3??过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）

∴DF?2???????????????③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1）

∴EI?DE2?DI2?22?42?25???④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

A D E F O I H G B Q x

图6

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0）， 分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：

?2k?b?3?k?2 ?11 解得：?1

?b1??1?b1??1过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1

1； 21∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0） 2∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝

∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI＝2?25 y C T D N 版权所有，翻版必究。举报电话：029-88632543 O A M B x

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∴四边形DFHG的周长最小为2?25。 （3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使

2

NMMD即可， ?MDBD即：MD＝NM×BD????????????⑤ 设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴

NMAM ?BDAB再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32，AB＝4 ∴MN?AM?BD?(1?a)?32?32(1?a)

AB44∵MD＝OD＋OM＝a＋9，

2

∴⑤式可写成： a＋9＝32(1?a)×32 2222

4解得： a＝3或a＝3（不合题意，舍去）

2∴点M的坐标为（3，0） 又∵点T在抛物线y＝－(x－1)＋4图像上，

22

∴当x＝3时，y＝15 ∴点T的坐标为（3，15）

442210.（11·荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上)，抛物线y?12x?bx?c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方4形CDEF的面积为1. （1）求B点坐标；

（2）求证：ME是⊙P的切线；

（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝t，S△ACQ＝S，直接写出．．．．S与t之间的函数关系式.

OADC图甲y y y BEFGxADOCBEFGx′ADOCBEQFGxA′图乙（备用图）图乙（备用图）解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC＝n∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n∴BC＝2PC＝2n而PB＝PE，PB?BC?PC?4n?n?5n

222222PE2?PF2?EF2?(n?1)2?1∴(n?1)2?1?5n2

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西安一帆教育辅导中心 解得n=1 (n??1舍去) ∴BC＝OC＝2 ∴B点坐标为（2，2） 2123x?bx?2 ∴b?? 42（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）∵A，C在抛物线上∴y?∴抛物线的解析式为y?12311x?x?2即y?(x?3)2? 424411FG＝ 22∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线 ∵C与G关于直线x=3对称， ∴CF＝FG＝1 ∴FM＝

在Rt△PEF与Rt△EMF中

PFEF1PFEF＝2，=∴△PEF∽△EMF ?1:?2 ∴EFEFFMFM2∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°∴ME与⊙P相切

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A?，连CA?交对称轴x=3于Q，连AQ则有AQ＝A?Q，△ACQ周长的最小值为（AC+A?C）的长

22∵A与A?关于直线x=3对称∴A（0，2），A?（6，2）∴A?C＝(6?2)?2?25（6-2），

而AC=2?2?22???????8分∴△ACQ周长的最小值为22?25 ②当Q点在F点上方时，S＝t+1 当Q点在线段FN上时，S＝1-t 当Q点在N点下方时，S＝t-1

11.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线 l2与l1关于x轴对称，顶点为C?．

（1）求抛物线l2的函数关系式；

（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形？

22y 为斜边且一个角为30（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB5 E 的坐标；若不存在，说明理由． 4 3 2 1 A B

1 2 3 4 5 ?1 O ?1

?2

?3

?4 C? ?5

?的直角三角形？若存，求出点Ml2 x l1 版权所有，翻版必究。举报电话：029-88632543

西安一帆教育辅导中心 解：（1）由题意知点C?的坐标为(3，?4)．设l2的函数关系式为y?a(x?3)?4． 又?点A(1，0)在抛物线y?a(x?3)?4上，?(1?3)a?4?0，解得a?1．

222?抛物线l2的函数关系式为y?(x?3)2?4（或y?x2?6x?5）．

（2）?P与P?始终关于x轴对称， ?PP?与y轴平行．

22设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m?6m?5，?OD?4，?2m?6m?5?4，即

22．当m?6m?5?解得m?3?6．当m?6m?5??解得m?3?2．m2?6m?5??22时，2时，?2)或(3?6，2)或(3?2，?2)或(3?2，?2)时， 当点P运动到(3?6，∥OD，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形． P?P （3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在l2上，则

?AMB?90?，??BAM?30?（或?ABM?30?），

y5 11?BM?AB??4?2．

22过点M作ME?AB于点E，可得?BME??BAM?30．

?D3 2 1 Cl2?EB?11BM??2?1，EM?3，OE?4． 22?3)． ?点M的坐标为(4，但是，当x?4时，y?4?6?4?5?16?24?5??3??3．

2?1O?1?2?3?4?51 2 3 AE4 5 BxMC?l1?不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．

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