2019-2020学年天津市耀华中学高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)

2019-2020学年天津市耀华中学高一(下)第一次月考数学试卷

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 给出下列命题：

①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

②若空间向量a ? ，b ? 满足|a ? |=|b ? |，则a ? =b ? ；

③在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，必有AC ????? =A 1C 1????????? ；

④若空间向量m

??? ，n ? ， p ? 满足m ??? =n ? ，n ? =p ? ，则m ??? =p ? ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．

其中正确的个数为( )

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

2. AO ????? +BC ????? +OB

?????? 等于( ) A. AB ????? B. AC ????? C. ??? 0

D. AO ????? 3. 已知A(2,4)，B(?1,?5)，C(3,?2)，则AC ????? +13BA ????? =( ) A. (2,3) B. (?2,?3)

C. (?2,3)

D. (2,?3) 4. △ABC 中，∠ACB =90°

，AC =3，BC =4，CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD ????? = A. 47CA ????? +37CB ????? B. 37CA ????? +47CB ????? C. 1625CA ????? +925CB ????? D. 925CA ????? +16

25CB ????? 5. 在正方形ABCD 中，设AB ????? =a ? ，AD ?????? =b ? ，已知E ，F ，G 分别是AB ，

DE ，CF 的中点，则EG

????? =( ) A. 18a

? +23b ? B. 18a

? ?34b ? C. 14a

? +12b ? D. 18a ? +34b ?

6. 已知向量a ? ⊥b ? ，|b ? |=1，则|a

? |a ? |+b ? |=( ) A. √2 B. √3 C. √5 D. √7

7. 设非零向量m

??? ?,?n ? 满足|m ??? |=|n ? |=|m ??? +n ? |，则m ??? 与n ? 的夹角等于( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

8. 已知向量m

??? =(1,1)，n ? =(1,2)，则向量m ??? 与向量n ? 夹角的余弦值为( ) A. √510 B. 3√210 C. 3√510 D. 3√1010

9. 已知向量a ? =(1,2)，b ? =(x,4)，若向量a ? ⊥b ? ，则x =( )

A. 2

B. ?2

C. 8

D. ?8

10. 在△ABC 中，BC =5，AC =8，C =60°，则BC

????? ?CA ????? =( ) A. 20 B. ?20 C. 20√3 D. ?20√3 11. 已知△ABC 中，a =4，b =4√3，A =30°，则角B 等于( )

A. 30°

B. 30°或150°

C. 60°或120°

D. 60°

12. 已知△ABC 中，AB =2，AC =3，∠A =60°，AD ⊥BC 于点D ，AD ?????? =λAB ????? +μAC ????? ，则λμ

=( ) A. 6 B. 3√2 C. 3 D. 2√3

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

13. 设PA ????? =(k?,?12)，PB ????? =(4?,?5)，PC

????? =(10?,?k)，则k = ______ 时，点A ，B ，C 共线． 14. 已知点A(1,2)，点B(4,5)，若AP

????? =2PB ????? ，则点P 的坐标是______ ． 15. 已知a ? =(3,?4)，b ? =(2,3)，则2|a ? |?3a ? ?b ? = ______ ．

16. 已知平面向量a ? =(1,x)，b ? =(2x +3,?x)(x ∈R).若a ? 与b ? 夹角的锐角，

求x 的取值范围是______． 17. 已知向量a ? =(1,2),b ? =(2,?2),c ? =(1,λ),若c ? //(2a ? +b ? )，则λ=________

18. 在△ABC 中，若点E 满足BE ????? =3EC ????? ，AE ????? =λ1AB ????? +λ2AC

????? ，则λ1+λ2= ______ ． 19. 已知|a ? |=1，(a ? +b ? )⊥a ? ，则a ? ?b ? =______．

三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）

20. 在△ABC 中，已知sin 2A +sin 2B =sin 2C +sinAsinB ．

(1)求角C ；

(Ⅱ)若c =4，求a +b 的最大值．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

根据向量的基本概念，可知向量的模相等，向量不一定相等，根据向量的计算，可知向量是否相等.本题考查空间向量的相关概念的理解，属于基础题．

解：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点相同，故命题①错误，命题②错误；

命题③④显然正确；

命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．

故选C ．

2.答案：B

解析：

AO ????? +BC ????? +OB ?????? =AB ????? +BC ????? =AC

????? ． 本题主要考查了向量的运算．

3.答案：D

解析：

本题考查平面向量的坐标运算，题目基础．

求出AC

????? =(1,?6),BA ????? =(3,9)是解题的关键． 解：因为A(2,4)，B(?1,?5)，C(3,?2)，

所以AC ????? =(1,?6),BA ????? =(3,9)，

所以AC ????? +13

BA ????? =(2,?3)． 故选D ．

4.答案：C

解析：

本题考查向量的几何表示，向量的加法，减法，基础题． 解：由∠ACB =90

°，AC =3，BC =4，CD ⊥AB 得AB =5，CD =125，

在三角形BCD 中，有BD 2+CD 2=BC 2，

解得BD =

165.即BD ?????? =1625BA ????? ． CD ????? =CB ?+BD ?=CB ?+1625BA ?=CB ?+1625(BC ?+CA ?)=1625CA ?+925CB ?． 故选C ．

5.答案：D

解析：

本题考查了向量的加减与数乘运算，考查了运算能力，属于中档题． 根据正方形的性质与向量加减运算法则进行计算即可求解．

解：EG ????? =EF ????? +FG ????? =12ED ????? +12

FC ????? =12(AD ?????? ?AE ????? )+12

(DC ????? ?DF ????? ) =12(b ? ?12a ? )+12(a ? ?12

DE ?????? ) =12(b ? ?12a ? )+12[a ? ?12

(AE ????? ?AD ?????? )] =12(b ? ?12a ? )+12[a ? ?12(12

a ? ?

b ? )] =12(b ? ?12a ? )+12[a ? ?(14a ? ?12

b ? )] =12(b ? ?12a ? )+12(34a ? +12

b ? ) =12b ? ?14a ? +38a ? +14b ? =18

a ? +34

b ? ． 故选D ．

6.答案：A

解析：

利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．解：向量a?⊥b? ，|b? |=1，

则|a?

|a? |+b? |=√(a?

|a? |

)2+2a? ?b?

|a? |

+b? 2=√1+1=√2．

故选：A．

7.答案：D

解析：

【试题解析】

本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式，属于中档题．

设|m??? |=|n?|=|m??? +n?|=t，根据题意可得m??? ·n?=?1

2m??? 2=?1

2

n?2=?1

2

t2，设m??? 与n?的夹角为θ，

根据向量的夹角公式计算即可．解：设|m??? |=|n?|=|m??? +n?|=t，∴m??? 2+n?2+2m??? ?n?=m??? 2=n?2，

∴m??? ?n?=?1

2m??? 2=?1

2

n?2=?1

2

t2，

设m??? 与n?的夹角为θ，

∴cosθ=m??? ?n??

|m??? |?|n?? |=?

1

2

t2

t2

=?1

2

，

∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°，

故选D．

8.答案：D

解析：解：∵|m??? |=√2,|n?|=√5，m??? ?n?=1+2=3；设向量m??? 与向量n?的夹角为θ，则：

cosθ=

√2×√5=3√10

10

．

故选D．

根据两向量夹角的余弦值公式，求出m??? ?n?，|m??? |,|n?|带入公式即可．

考查由向量的坐标求向量的模，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式．

9.答案：D

解析：试题分析：根据a?⊥b? ?a??b? =x1x2+y1y2=0，把两个向量的坐标代入求解．∵a?⊥b? ，a?=(1,2)，b? =(x,4)∴a??b? =x1x2+y1y2=0

即x+8=0，解得x=?8．

故选D．

10.答案：B

解析：

本题考查向量的数量积的运算，注意向量的夹角是解题的关键．属于基础题．

利用已知条件，通过向量的数量积求解即可．

解：在△ABC中，BC=5，AC=8，C=60°，

，

则，

=5×8×(?1

2

)=?20．

故选：B．

11.答案：C

解析：

利用正弦定理即可得出．

本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．

解：∵a

sinA =b

sinB

，∴sinB=bsinA

a

=4√3×sin30°

4

=√3

2

，

∵b >a ，B ∈[0°,180°)，

∴B =60°或120°．

故选C ．

12.答案：A

解析：

本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量的数量积，属于基础题．

先求AB ????? ?AC ????? ，结合AD ?????? =λAB ????? +μAC ????? ，根据AD ?????? ⊥BC ????? ，进行向量运算得结果． 解：因为AB =2，AC =3，∠A =60°，

所以AB ????? ?AC ????? =2×3×12

=3． 因为AD ?????? =λAB ????? +μAC

????? ， BC ????? =AC ????? ?AB ????? ，且AD ?????? ⊥BC ????? ，

所以(λAB

????? +μAC ????? )?(AC ????? ?AB ????? )=0， 所以?λAB ????? 2+μAC ????? 2

+(λ?μ)AB ????? ?AC

????? =0， 可得?4λ+9μ+3(λ?μ)=0，

所以λμ=6，

故选A ．

13.答案：?2或11

解析：解：∵PA ????? =(k?,?12)，PB ????? =(4?,?5)，PC

????? =(10?,?k)， ∴AB

????? =(4?k,?7)，BC ????? =(6,k ?5)； 又AB ????? 与BC ????? 共线，

∴(4?k)(k ?5)?(?7)×6=0，

即k 2?9k ?22=0，

解得k =?2或k =11；

∴当k =?2或11时，点A ，B ，C 共线．

故答案为?2或11．

根据平面向量的坐标运算，利用共线定理，列出方程求出k 的值．

本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题目．

14.答案：(3,4)

解析：解：设P 的坐标是(x,y)，

∵点A(1,2)，点B(4,5)，

∴AP

????? =(x ?1,y ?2) PB ????? =(4?x,5?y)

∵AP ????? =2PB ????? ，

∴(x ?1,y ?2)=2(4?x,5?y)

∴x ?1=8?2x ，y ?2=10?2y

∴x =3，y =4

∴P 的坐标是(3,4)

故答案为：(3,4)

设出点P 的坐标，写出要用的两个向量的坐标，根据两个向量之间的AP

????? =2PB ????? 关系，写出两个向量之间的关系，解出x ，y 的值，得到要求的点的坐标．

本题考查向量平行的坐标表示，是一个基础题，这种题目可以出现在大型考试的选择或填空中，一旦出现，是一个得分题目．

15.答案：28

解析：解：∵a

? =(3,?4) ∴|a ? |=√32+(?4)2=5

a ? ?

b ? =3×2?4×3=?6

∴2|a ? |?3a ? ?b ? =28

故答案为28．

利用向量模的坐标公式求出|a

? |，利用向量的数量积公式求出向量的数量积，代入求出值． 本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积公式．

16.答案：(?1,0)∪(0,3)

解析：解：∵平面向量a ? =(1,x)，b ? =(2x +3,?x)(x ∈R)．a ? 与b ? 夹角的锐角，

∴a ? ?b ? =2x +3?x 2>0，解得?1

又当x =0时，a ? //b ? ，

∴x 的取值范围是(?1,0)∪(0,3)．

故答案为：(?1,0)∪(0,3)．

解析：根据a ? 与b ? 夹角的锐角，得到a ? ?b ? >0，再排除共线的情况，问题得以解决．

本题考查向量数量积的运算，关键是利用向量积的符号判断向量夹角的大小，注意排除向量共线的情况．

17.答案：12 解析：

本题考查平面向量的坐标运算，考查平面向量共线的充要条件，考查计算能力，属于基础题．

由题可得2a ? +b ? =(2,4)+(2,?2)=(4,2)，又c ? //(2a ? +b ? )，则14=λ2，即可求解得到答案． 解：由题知

，

∴2a ? +b ? =(2,4)+(2,?2)=(4,2)，

又c ? //(2a ? +b ? )，

∴14=λ2，即λ=12， 故答案为1

2． 18.答案：1

解析：解：如图示：

，

∵BE ????? =3EC ????? ，∴EC ????? =14BC ????? =14

(AC ????? ?AB ????? )， ∴AE ????? =12AB ????? +12AC ????? +EC

????? =12AB ????? +12AC ????? +14(AC ????? ?AB ????? )

=1

4AB

????? +3

4

AC

????? ，

故λ1+λ2=1，

故答案为：1．

根据向量的运算性质求出λ1和λ2的值，求和即可．

本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法与减法法则，是中档题．19.答案：?1

解析：

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．

由(a?+b? )⊥a?得(a?+b? )?a?=0，化简可得．

解：由(a?+b? )⊥a?得(a?+b? )?a?=0，

得a?2+a??b? =0，

∴a??b? =?1，

故答案为：?1．

20.答案：解：(Ⅰ)由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，得a2+b2=c2+ab，

所以，cosC=a2+b2?c2

2ab =1

2

，角C=π

3

．

(Ⅱ)因为c=4，所以16=a2+b2?ab=(a+b)2?3ab，

又ab≤(a+b

2)2，所以16≥1

4

(a+b)2，从而a+b≤8，其中a=b时等号成立．

故a+b的最大值为8．

解析：(1)由正弦定理可将已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB化简得a2+b2=c2+ab，从而由余弦定理求出cos C，求出角C的值．

(Ⅱ)若c=4，由(1)得，16=a2+b2?ab=(a+b)2?3ab，又ab≤(a+b

2)2，所以16≥1

4

(a+b)2，

从而a+b≤8．

本题主要考察正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．

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