2018届高考数学理科二轮总复习练习：专题七 解析几何 第2讲 含解析 精品

第2讲 直线与圆的方程的综合运用

1．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程； →→→

(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围． 解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5， 由题意知，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)． 且?6－6?2＋?b－7?2＝b＋5，解得b＝1， ∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m， 即2x－y＋m＝0.

又BC＝OA＝22＋42＝25，

由题意知，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为 d＝ 即

BC?2

52－??2?＝25－5＝25，

|2×6－7＋m|

＝25，

22＋?－1?2解得m＝5或m＝－15.

∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. →→→

(3)由TA＋TP＝TQ，则四边形AQPT为平行四边形， 又∵P，Q为圆M上的两点，∴PQ≤2r＝10. ∴TA＝PQ≤10，即?t－2?2＋42≤10， 解得2－221≤t≤2＋221.

故所求t的取值范围为[2－221，2＋221]．

2．(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． (1)解 设A(x1,0)，B(x2,0)，

则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的根， 所以x1＋x2＝－m，x1x2＝－2，

→→则AC·BC＝(－x1,1)·(－x2,1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0， 所以不会出现AC⊥BC的情况．

(2)证明 方法一 过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上，设圆心E(x0，y0)，

x1＋x2m则x0＝＝－，

22由EA＝EC，得?＝?

x1＋x2

－x1?2＋y20 ?2?

x1＋x2?2

＋(y0－1)2，

?2?1＋x1x21

化简得y0＝＝－，

22所以圆E的方程为

?x＋m?2＋?y＋1?2＝?－m?2＋?－1－1?2，

?2??2??2??2?

令x＝0，得y1＝1，y2＝－2，

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为 1－(－2)＝3，

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 方法二 设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D， 由x1x2＝－2可知，原点O在圆内，

由相交弦定理可得OD·OC＝OA·OB＝|x1||x2|＝2， 又OC＝1，所以OD＝2，

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为OC＋OD＝3，为定值．

直线与圆的方程是江苏高考的C级要求，若试题是填空题，主要考查直线与圆的位置关系，试题难度中等以上，若是解答题，则围绕定值、最值、范围、探索性问题命题.

热点一 定点问题

例1 已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.

(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；

(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求线段AB长度的最小值．

解 (1)由题可知，圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2，设P(2b，b)， 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°， 所以MP＝?0－2b?2＋?4－b?2＝AM2＋AP2＝4， 168?8

解得b＝0或b＝，所以P(0,0)或P??5，5?. 5(2)设P(2b，b)，因为∠MAP＝90°，

所以经过A，P，M三点的圆N以MP为直径， b＋4?24b＋?b－4?其方程为(x－b)＋?y－＝，

42??

2

2

2

即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0， 它对于任意的实数b均成立，

???2x＋y－4＝0，?x＝0，

?故22解得?或?x＋y－4y＝0，???y＝4

2

?

?4?y＝5，8x＝，5

84?

所以圆过定点(0,4)，??5，5?. (3)因为圆N方程为

b＋4?24b＋?b－4?(x－b)＋?y－＝，

42??

2

2

即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，① 圆M：x2＋(y－4)2＝4， 即x2＋y2－8y＋12＝0，②

②－①得圆M与圆N的相交弦AB所在的直线方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0， 点M到直线AB的距离d＝

4

，

5b2－8b＋16

相交弦长即AB＝24－d2＝4＝4

1－

4，

4642?5??b－5?＋5

4

1－2 5b－8b＋16

4

当b＝时，AB有最小值11.

5

思维升华 曲线过定点问题，往往转化为等式恒成立问题. 在解有关圆的问题时，还要注意平面几何中有关定理的应用，比如切线长定理、垂径定理等．

跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝r2和直线l：x＝a(其中r和a均为常数，且0＜r＜a)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P，Q.

(1)若r＝2，点M的坐标为(4,2)，求直线PQ的方程； (2)求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标． (1)解 当r＝2，M(4,2)时，A1(－2,0)，A2(2,0)． 直线MA1的方程为x－3y＋2＝0，

22??x＋y＝4，86?

，. 联立?解得P?55????x－3y＋2＝0，

直线MA2的方程为x－y－2＝0，

22

??x＋y＝4，联立?解得Q(0，－2)．

?x－y－2＝0，?

由两点式得直线PQ的方程为2x－y－2＝0. (2)证明 方法一 由题设得A1(－r,0)，A2(r,0)． 设M(a，t)，则

t直线MA1的方程为y＝(x＋r)．

a＋rt

直线MA2的方程为y＝(x－r)，

a－rx＋y＝r，??联立? t

y＝?x＋r?，??a＋r

2

2

2

?r?a＋r?－rt，2tr?a＋r??. 解得P??

??a＋r?2＋t2?a＋r?2＋t2?

x＋y＝r，??联立? t

y＝?x－r?，??a－r

2

2

2

22

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