将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

习题11 8

1 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)

(1)f(x) 1 x2( 1 x 1

2

2

解 因为f(x) 1 x2为偶函数 所以bn 0(n 1 2 ) 而 a0 2 2(1 x2)dx 4 2(1 x2)dx 11

01/206 an 2 2(1 x2)con xdx

1/201/2 4

1

2(1 0

11

1

x)cos2n xdx

2

( 1)n 1n

2

2

(n 1 2 )

由于f(x)在( )内连续 所以

111

f(x) 2

12

( 1)n 1

n2

cos2n x x ( )

n 1

x 1 x 0 1

(2)f(x) 1 0 x

2

1

1 x 1

2

解 an f(x)dx xdx dx 1dx 1

1

1

2

10

1

20

1

2

an f(x)cosn xdx xcosn xdx

1

1

10

1

2c0

osn xdx 1cosn xdx

2

1

212[1 ( 1)n] 2sin (n 1 2 )

n

1

n 2

bn f(x)sinn xdx xsinn xdx

1

1

12sin0

n xdx 1sinn xdx

2

1

2con 1 (n 1 2 )

n

2

n

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

而在( )上f(x)的间断点为x 2k 2k 1 k 0 1 2

2

n n 2si1 2co1 ( 1)]cossin故 f(x) 1 {[22 n x n x}

4n 1n n n

n

(x 2k x 2k 1 k 0 1 2 )

2

(3)f(x)

2x 1 3 x 0 1 0 x 3

3

3

解 a0 1 f(x)dx 1[ (2x 1)dx dx] 1

3

33

3

30

an 1 f(x)con xdx 1[ (2x 1)con xdx con xdx]

3

3

3

33

3

3

3

6n

32

2

[1 ( 1)n](n 1 2 )

3

bn 1 f(x)sin xdx 1[ (2x 1)sin xdx sin xdx]

3

3

33

3

3

3

6( 1)n(n 1 2 )

n

而在( )上 f(x)的间断点为 x 3(2k 1) k 0 1 2 故

16n x6n x

f(x) {22[1 ( 1)n]co ( 1)n 1si

2n 1n 3n 3

(x 3(2k 1) k 0 1 2 )

2 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数

x 0 x l 2 (1)f(x)

l

l x x l

2

解 正弦级数

对f(x)进行奇延拓 则函数的傅氏系数为 a0 0(n 0 1 2 )

l4ln

bn 2[ 2xsin xdx 1(l x)sin xdx] 2(n 1 2 ) si2

l0ll2n 2

1

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

故 f(x)

si2 2

2 n

n 1

4l

1n

n xsil

x [0 l]

余弦级数

对f(x)进行偶延拓 则函数的傅氏系数为

l

a0 2[ 2xdx 1(l x)dx] l

l022

11

l

an 2[ 2xcosn xdx 1(l x)cosn xdx]

l0ll2

2ln 2[2co 1 ( 1)n] (n 1 2 ) 2

n

2

bn 0(n 1 2 ) 故

l2lf(x) 2

4

1n n xn[2co 1 ( 1)]co n2

2ln 1

x [0 l]

(2)f(x) x2(0 x 2)

解 正弦级数

对f(x)进行奇延拓 则函数的傅氏系数为 a0 0(n 0 1 2 )

2

bn 2 x2sinn xdx ( 1)n 18 163[( 1)n 1]

2

2n (n )

故 f(x) {( 1)n 18 163[( 1)n 1]}sin x

n 1

n (n )2

( 1)n 12[( 1)n 1]n x

{ si n 1n2n3 28

x [0 2)

余弦级数

对f(x)进行偶延拓 则函数的傅氏系数为

2

a0 2 x2dx 8

2

3

2

an 2 x2cosn xdx ( 1)n16

2

2(n )

2

(n 1 2 )

bn 0(n 1 2 )

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

故

( 1)n164n x

f(x) co3n 1(n )22

416 23

( 1)nn2

n 1

n xco2

x [0 2]

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