2012届高考数学一轮复习 8.2 双曲线教案

8.2 双曲线

●知识梳理 定义 1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹 2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹 y2x21. 2－2=1，c=a2?b2，焦点是F1（－c，0），F2（c，0） ab方程 y2x22.2－2=1，c=a2?b2，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c） aby2x2H：2－2=1（a＞0，b＞0） ab1.范围：|x|≥a，y∈R 2.对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 3.顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） bbx，y=－x aac5.离心率：e=∈（1，+∞） 性质 aa2a26.准线：l1：x=－，l2：x= cc7.焦半径：P（x，y）∈H， P在右支上， r1=|PF1|=ex+a， r2=|PF2|=ex－a； P在左支上， r1=|PF1|=－（ex+a）， r2=|PF2|=－（ex－a） 思考讨论

4.渐近线：y=y2x2对于焦点在y轴上的双曲线2－2=1（a＞0，b＞0），其性质如何？焦半径公式如何推

ab导？

●点击双基

y2x21.（2004年春季北京）双曲线－=1的渐近线方程是

493294A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x

2349b3解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.∴渐近线方程为y=±x=±x.

2a答案：A

- 1 -

x22

2.过点（2，－2）且与双曲线－y=1有公共渐近线的双曲线方程是

2y2y2x2x2A.－=1 B.－=1

2442y2y2x2x2C.－=1 D.－=1

4224x22

解析：可设所求双曲线方程为－y=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2.

2答案：A

y2x23.如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离

6436是

32327

C.27 D.

57

8832解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=83=.

e105答案：D

A.10 B.

y2x24.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心

916到双曲线中心的距离是____________.

解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心

的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±

答案：

1647）.易求它到中心的距离为.

3316 32222

5.求与圆A：（x+5）+y=49和圆B：（x－5）+y=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为

________________.

解析：利用双曲线的定义.

y2x2答案：－=1（x＞0）

916●典例剖析

【例1】 根据下列条件，求双曲线方程：

y2x2（1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；

916y2x2（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）.

164y2x2剖析：设双曲线方程为2－2=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的

ab两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.

y2x2解法一：（1）设双曲线的方程为2－2=1，

ab - 2 -

由题意，得

b4=， a3(?3)2(23)2292

－=1， 解得a=，b=4.

4a2b2y2x2所以双曲线的方程为－=1.

944y2x2（2）设双曲线方程为2－2=1.由题意易求c=25.

ab(32)24又双曲线过点（32，2），∴－=1. 22ab又∵a+b=（25），∴a=12，b=8.

2

2

2

2

2

y2x2故所求双曲线的方程为－=1.

128y2x2解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），

91611y2x2将点（－3，23）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝.

44916y2x2（2）设双曲线方程为－＝1，

16?k4?ky2x2将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.

128评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线

2222

方程为ax－by=λ（λ≠0）.

【例2】 （2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.

剖析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值 范围.

|y|解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）. ①

|x|因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|=2. ∵||PM|－|PN||=2|m|>0，

∴0<|m|<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上.

y2x2故2－=1. 2m1?m2

②

m2(1?m2)将①代入②，并解得x=，

1?5m2

- 3 -

5， 555即m的取值范围为（－，0）∪（0，）.

55评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.

∵1－m>0，∴1－5m>0.解得0<|m|<

2

2

y2x2【例3】 如下图，在双曲线－=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），

1213它们与点F（0，5）的距离成等差数列.

（1）求y1+y3的值；

（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.

剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性，易知A′与C′也在双曲线上，且A′、B、C′满足题设条件，所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.

（1）解：c=12?13=5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|. ①

分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，

即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.

于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有 2|BB2|=|AA2|+|CC2|，

此即236=y1+y3，可见y1+y3=12. （2）证明：AC的中垂线方程为

2x1?x3x1?x3y1?y3x1?x3x12?x3y－=－（x－），即y－6=－x+.

y1?y3y1?y3222(y1?y3)22y3x3y12x12由于A、C均在双曲线上，所以有－=1，－=1.

1213121322x12?x3y12?y3相减得=.于是有

1312 ②

2x12?x31313=（y1+y3）=212=13，

12y1?y312 - 4 -

故②变为y=－

x1?x32525x+，易知此直线过定点D（0，）.

y1?y322评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往

往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.

●闯关训练 夯实基础

x2y21.（2004年天津，4）设P是双曲线2－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x9a－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于

A.1或5 B.6 C.7 D.9

解析：由渐近线方程y=

3x，且a=2，∴b=3.据定义有|PF2|－|PF1|=4，∴|PF2|=7. 2答案：C

22

2.（2005年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax+by=1为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0.

由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然. 答案：C

y2x23.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若

1620点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________.

解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|=2a，∴|PF2|=17. 答案：|PF2|=17 y24.过点A（0，2）可以作____________条直线与双曲线x－＝1有且只有一个公共点.

4解析：数形结合，两切线、两交线. 答案：4

22

5.已知双曲线的方程是16x－9y=144.

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|2|PF2|=32，求∠F1PF2

的大小.

2

y2x2解：（1）由16x－9y=144得－=1，

9162

2

∴a=3，b=4，c=5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），离心率e=

54，渐近线方程为y=±x. 33|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=

2|PF1||PF2| - 5 -

(|PF1|?|PF2|)2?2|PF1||PF2|?|F1F2|236?64?100== =0.

642|PF1||PF2|∴∠F1PF2=90°.

y26.已知双曲线x－=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P2为AB中点.

（1）求直线AB的方程； （2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.

（1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2=k（x－1），

2224

代入双曲线方程得（2－k）x+（2k－4k）x－（k－4k+6）=0.

2

2k2?4k设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=－， 22?kx1?x22k2?4k由已知=xp=1，∴2=2.解得k=1.

2k?2又k=1时，Δ=16＞0，从而直线AB方程为x－y+1=0.

（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在. 培养能力

22

7.双曲线kx－y＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程.

解：由题意k＞0，c=1?1，渐近线方程l为y=kx， k准线方程为x=±

11k，于是A（，）， kckckck(x?c)1?kc21直线FA的方程为 y=，于是B（－，）. 22kc1?kckc(kc?1)3?kc23由B是AC中点，则xC=2xB－xA＝－，yC=2yB－yA＝. 2kckc(kc?1)将xC、yC代入方程kx－y＝1，得kc－10kc＋25＝0.

2

2

24

2

1）＝5，则k＝4. k22

所以双曲线方程为4x－y＝1．

解得k（1+

8.（理）已知l1、l2是过点P（－2，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线

y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.

（1）求l1的斜率k1的取值范围；

（2）若｜A1B1｜＝5｜A2B2｜，求l1、l2的方程.

解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1，则l1的方

- 6 -

程为y＝k1（x＋2）.

y＝k1（x＋2）， 联立得 2

y－x2＝1，消去y得 （k1－1）x＋22k1x＋2k1－1＝0. 根据题意得k1－1≠0，

2

Δ1＞0，即有12k1－4＞0. 完全类似地有

2

2

2

2

2

① ② ③ ④

1－1≠0， 2k1Δ2＞0，即有122

1－4＞0， 2k1 ⑤

从而k1∈（－3，－

33）∪（，3）且k1≠±1. 33（2）由弦长公式得｜A1B1｜＝1?k1212k12?4(k12?1).

2. ⑥

1完全类似地有｜A2B2｜＝1?2k112?4k12(k12?1)2 ⑦

∵｜A1B1｜＝5｜A2B2｜，∴k1＝±2，k2＝

2.从而 2l1：y＝2（x＋2），l2：y＝－

（x＋2）．

22（x＋2）或l1：y＝－2（x＋2），l2：y＝22y2x2（文）在双曲线－＝1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M169点到两准线的距离．

解：设M（x1，y1），左右两焦点F1、F2，由双曲线第二定义得 ｜MF1｜＝ex1＋a，｜MF2｜＝ex1－a， 由已知2（ex1＋a）＝3（ex1－a），

5把e=，a=4代入，得x1＝16，y1＝±315.

4∴点M的坐标为（16，±315）.

16a2双曲线准线方程为x=±=±.

5c∴M（16，±315）到准线的距离为12探究创新

41或19． 55 - 7 -

9.（2003年春季上海）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积

y2x2是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：2－2=1写出具有类似特性的性质，并加以证

ab明.

y2x2解：类似的性质为若MN是双曲线2－2=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线

ab上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位

置无关的定值.

m2n2设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中2－2=1.

ab又设点P的坐标为（x，y），

y?ny?ny?ny?ny2?n2由kPM=，kPN=，得kPM2kPN=2=，

x?mx?mx?mx?mx2?m2b2222b222b2将y=2x－b，n=2m－b，代入得kPM2kPN=2.

aaa2

评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是

一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.

●思悟小结

本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点：

1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：

（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

2222

（2）已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为bx－ay=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上.

2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.

3.解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量. ●教师下载中心 教学点睛

本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在教学中注意以下几点：

222

1.双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c.易见c=a+b，若记∠AOB=θ，则e=

c1=. acos? - 8 -

2.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点： （1）距离之差的绝对值.

（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

3.参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置

22222

决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c=a+b；在方程Ax+By=C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程.

4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.

5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是

yx±=0，则可把双曲线方aby2x2程表示为2－2=λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程.

ab拓展题例

y2x2【例1】 已知双曲线2－2=1的离心率e>1+2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线

ab为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?

2

解：设在左支上存在P点，使|PF1|=|PF2|2d，由双曲线的第二定义知

|PF1||PF2|

==e，即|PF2|=e|PF1|. |PF1|d

① ②

再由双曲线的第一定义，得|PF2|－|PF1|=2a. 由①②，解得|PF1|=

2a2ae，|PF2|=， e?1e?1

③

∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，

2a2ae+≥2c. e?1e?1c2

利用e=，由③得e－2e－1≤0，

a∴

解得1－2≤e≤1+2.

∵e>1，∴11+2矛盾.

- 9 -

∴在双曲线的左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项. 【例2】 设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.

5，且点P（0，5）到此2y2x2分析：由双曲线中心在原点，准线平行于x轴，可设双曲线的方程为2－2=1.

ab5522

，可得a+b=（a）2=c2. 22由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问

22

题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式.从而求出a、b，本题得解.

由离心率为

y2x2解：依题意，设双曲线的方程为2－2=1（a>0，b>0）.

abc522222

=，c=a+b，∴a=4b. a2222

设M（x，y）为双曲线上任一点，则|PM|=x+（y－5）

∵e=

y22522

=b（2－1）+（y－5）=（y－4）+5－b（|y|≥2b）.

4a2

①若4≥2b，则当y=4时，|PM|min=5－b=4，得b=1，a=4.

2222

y22

从而所求双曲线方程为－x=1.

422

②若4<2b，则当y=2b时，|PM|min=4b－20b+25=4，

732492

得b=（舍去b=），b=，a=49.

224y24x2从而所求双曲线方程为－=1.

4949

- 10 -

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