11-1常数项级数的基本概念和性质

无穷级数数项级数 无穷级数 幂级数 傅氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算

第十一章

第一节

常数项级数的 基本概念和性质一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质

一、常数项级数的概念1. 引例

无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中

引例1 引例 数

1 化为小数. 3

1 & , 且 0.3 = 3 = 0.33L = 0.3 3 10 3 3 0.33 = 0.3 + 0.03 = + 2 10 10 3 3 3 0.333 = 0.3 + 0.03 + 0.003 = + 2 + 3 10 10 10

3 3 3 一般地， 1 3 一般地， 0.33L3 = + 2 + L+ n 2 10 10 10 n个

3 3 3 1 于是 = 0.33L = + 2 + L+ n + L 10 10 3 10

1 将 表示成无穷多项之和 3

求极限 lim (1 + a + a2 + L + an ) ( a < 1) , 引例2 引例n→∞

相当于求 无穷多项的和 1 + a + a2 + L + an + L.

引例3 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正 3 × 2n ( n = 0 , 1, 2 ,L) 边形 边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 增加时增加的面积, 则圆内接正 3× 2n 边形面积为 ×

+L这个和逼近于圆的面积 这个和逼近于圆的面积 ：

2. 定义 无穷级数: 无穷级数 部分和： 部分和

给定数列 u1 , u2 , u3 , L , un , L 一般项： 一般项 un

无穷级数收敛： 无穷级数收敛： 收敛

记作 级数的和 级数的和

无穷级数发散 无穷级数发散 ： 级数的余项 级数的余项： 余项 级数收敛时， 级数收敛时

几何级数) 几何级数 例1 证明等比级数 (几何级数

时收敛, 当 q < 1 时收敛 当 q ≥ 1时发散 .

a a qn = 1 q a 知 lim Sn = 当 q < 1 时， 1 q n→∞ a ; 故级数收敛 , 其和为 1 q 当 q > 1时, 时 知 lim Sn = ∞ , 故级数发散 .n→∞

证 1) 若 q ≠ 1 , 则部分和

2) 若 q = 1 , 则

当 q = 1时, 时 当q = 1时, 级数为 时

级数发散 ;

等比 ∑ a qn 级数 n=0

∞

n 为奇数 a, Sn = n 为偶数 0, 不存在 , 因此级数发散 因此级数发散. 时收敛, q < 1 时收敛 结论： 结论：等比级数

q ≥ 1 时发散 .

n+1 的敛散性. 例2 判别级数 ∑ ln 的敛散性 n n=1解 部分和

∞

4 n+1 2 3 Sn = ln + ln + ln + L+ ln 3 n 1 2

拆项相消

= (ln 2 ln1) + (ln 3 ln 2) + L+ (ln(n + 1) ln n) = ln( n + 1) → ∞ ( n → ∞)所以级数发散. 所以级数发散

例3 证明调和级数 ∞ 1 1 1 1 发散. ∑ = 1 + + + L+ + L 发散 2 3 n n=1 n 1 1 1 方法1) 证(方法 Sn = 1 + + + L + 方法 2 3 n ( x > 0) 由x > ln(1 + x)

f ′ = [ x ln(1 + x)]'f ( x) > f (0) = 0x = >0 1+ x

1 1 Sn > ln(1 + 1) + ln(1 + ) + L + ln(1 + )= ln(1 + n) n 2n→∞

lim ln(1 + n) = +∞ lim Sn = +∞∞

n→∞

1 ∑ 发散 n=1 n

n+1 1 1 y dx (方法 方法2) un = = ∫ 方法 1 n n n y= 1 1 x Q 当n ≤ x ≤ n + 1 时，有 ≤ x n un n +1 1 1 dx ∴ un = ≥ ∫

n n x o 1 2 n n+1 x n+1 = ln x n = ln(n + 1) ln n 1 1 1 Sn = 1 + + + L+ 2 3 n ≥ (ln 2 ln1) +(ln 3 ln 2) + L+ [ln(n + 1) ln n]

= ln(n + 1) → +∞ (n → ∞)1 Q lim Sn = +∞ ∴ ∑ n→∞ n n=1∞

发散.

(方法 用反证法 方法3) 方法

1 假设： 假设： ∑ 收敛，其部分和为 n . 收敛， S n n=1

∞

则 lim Sn = S,lim S2n = Sn→∞ n→∞

于是 lim ( S2n Sn ) = S S = 0n→∞

但另一方面， 但另一方面， S2n Sn 1 1 1 1 1 1 = (1 + + L+ + + L+ ) (1 + + L+ ) 2 n 2 n n+1 2n

S2n Sn 1 1 1 1 1 1 = (1 + + L+ + + L+ ) (1 + + L+ ) 2 n 2 n n+1 2n

1 1 1 1 1 1 1 = + + L+ = ≥ + + L+ n+1 n+ 2 2n 2n 2n 2n 2

矛盾！ 矛盾！ n项 故 lim ( S2n Sn ) ≠ 0,1 ∴ ∑ n n=1n→∞ ∞

发散.

(方法 见后面 方法4) 见后面. 方法

二、收敛级数的性质性质1 若 S = ∑ un 收敛，则 ∑ c un收敛 , 其和为 c S. 性质 收敛， 证 令 Sn = ∑ uk , 则 σn = ∑ c uk = c Sn ,k =1 k =1

∞

∞

n=1 n

n=1 n

n→∞∞

lim σn

= cSσn = cSn

故 ∑ c un 收敛 , 其和为 c S .n=1 ∞ ∞

推论1 推论 若c ≠ 0, 则 ∑ un与 ∑ cun 敛散性相同 .n=1 n=1

性质2 性质 设收敛级数 S = 也收敛, 也收敛 其和为 S ± σ . 注∞

n=1

则 ∑ un , σ = ∑ vn, ∑( un ± vn )n=1n=1

∞

∞

∞

1º 收敛级数可逐项相加 减 ). 收敛级数可逐项相加( 2ºn= n=1

的敛散性规律： ∑( un ± vn ) 的敛散性规律：

收收为收， 收收为收， 收发为发， 发发不一定 不一定发 收发为发， 发发不一定发. 例如, 例如 取 un = ( 1)2n , vn = ( 1)2n+1 ,n=1 ∞

但 均发散， ∑ un 与 ∑vn均发散， ∑( un ± vn )收敛.n=1 n=1

∞

∞

性质3 性质∞

去掉、或修改)有限项, 级数前面加上(去掉、或修改)有限项

不影响级数的敛散性. 不影响级数的敛散性 证

n=1

∑un 去掉前 k 项,n l =1

新级数

的部分

和为 σ n = ∑ uk + l = Sk + n Sk

有限项不影响

同敛散， 同敛散， 级数的敛散性 故新旧级 数敛散性相同. 收敛时, 其和 σ = S Sk . 数敛散性相同 收敛时

收敛级数加括弧 加括弧后 性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于 性质 原级数的和. 原级数的和 证 设S=n=1

收敛，任意加括弧, ∑ un 收敛，任意加括弧1 1 +1

∞

(u1 + L + un ) + (un

+ L + un ) + L2

+ (un

+1 + L + unk ) + L k 1

令 vk = un

+1 + L + unk k 1

(k = 1,2,L)

则其前k项部分和： 则其前 项部分和：

σ k = v1 + v2 + L + vk = Sn

k

σ k = v1 + v2 + L + vk = SnQn=1

k

∑un 收敛n→∞

∞

∴ lim Sn 存在n→∞

设

lim Sn = S ( S ∈ R)k

Q {σ k } = { Sn }是{ Sn }的子数列∴ lim σ k = lim Sn = lim Sn = Sk →∞ k →∞k

n→∞

, 即加括号后的级数收敛 且其和为S .

推论2 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 推论 若加括弧后的

级数发散 则原级数必发散 注

加括号后的级数收敛去掉括号后的级数收敛

用反证法

?

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 不一定收敛 例如， (1 1) + (1 1) + L = 0 , 例如 但 发散 收敛

1 1 1 1 例3 判断 ∑ = 1 + + + L+ + L 的敛散性 的敛散性. 2 3 n n=1n方法4) 解(方法 加括号级数 方法 ∞ 1 1 1 vn= (1 + ) + ( + ) + ( 1 + 1 + 1 + 1) ∑ 3 4 5 6 7 8 2 n=11 1 1 +( + + L+ ) + L 9 10 16 1 1 1 1 +( + + L+ n 1) + L) + L n 1 n 1 1+ 2 2+ 2 2 + 2n

∞

1 1 1 1 1 1 1 v1 = 1 + > , v2 = + > + = ,L 2 2 3 4 4 4 2

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