苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.1含答案.docx

苏教版高中数学选修2-1 同步学案讲义

§2.4抛物线

2.4.1抛物线的标准方程

学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p 的几何意义，并能解决简

单的求抛物线标准方程问题．

知识点抛物线的标准方程

思考抛物线的标准方程有何特点？

答案(1)对称轴为坐标轴； (2) p 为大于 0 的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4) 焦点、准线到原点的距离都等于

p

2

.

梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0) ， y2＝－ 2px(p>0)，x2＝2py(p>0) ， x2＝－ 2py(p>0)．

现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：

图形标准方程焦点坐标准线方程

y2＝2px(p>0)p

， 0x＝－

p 22

y2＝－ 2px(p>0)－p

， 0x＝

p 22

x2＝2py(p>0)0，p y＝－p

22 1

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x2＝－ 2py(p>0)0，－p y＝p

22

1．抛物线的方程都是y 关于 x 的二次函数． (× )

2．方程 x2＝ 2py(p＞ 0)表示开口向上的抛物线．(√ )

3．抛物线的焦点到准线的距离为p.(√ )

4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√ )

类型一由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程

例 1

2

已知抛物线的方程 y＝ ax (a≠ 0)，求它的焦点坐标和准线方程．

解将抛物线方程化为标准方程21

x＝ y(a≠ 0)，

a

则抛物线焦点在y 轴上，

1

(1)当 a＞0 时， p＝2a，

1

∴焦点坐标 F 0，4a，

1

准线方程y＝－.

1

(2) 当 a＜0 时， p＝－2a

，

1

∴焦点坐标 F 0，4a，

准线方程y＝－4a1，

211综合(1)(2) 知抛物线 y＝ ax (a≠ 0)的焦点坐标是 F 0，4a，准线方程是 y＝－4a.

反思与感悟根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再

分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．

跟踪训练 1(1) 若抛物线 y2＝ 2px 的焦点坐标为(1,0)，则 p＝ ________；准线方程为 ________．答案 2 x＝－ 1

解析因为抛物线的焦点坐标为 (1,0) ，

2

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所以 p ＝ 1， p ＝ 2，准线方程为 x ＝－ p ＝－ 1.

2 2

(2) 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．

① y 2＝40x ；② 4x 2＝y ；③ 3y 2＝ 5x ；④ 6y 2＋ 11x ＝ 0.

解 ①焦点坐标为 (10,0)，准线方程为 x ＝－ 10.

2 2 1

②由 4x ＝ y 得 x ＝ y.

4

1 1

∵ 2p ＝ 4，∴ p ＝ 8.

1 1

∴焦点坐标为 0， 16 ，准线方程为 y ＝－ 16.

2 2 5 5 5

③由 3y ＝ 5x ，得 y ＝ x.∵ 2p ＝ ，∴ p ＝ .

3 3 6 ∴焦点坐标为 5 ， 0 ，准线方程为 x ＝－

5 12 12.

2 2 11

④由 6y ＋ 11x ＝ 0，得 y ＝－

6 x ，

故焦点坐标为 － 11，0 ，准线方程为 x ＝ 11

24 24.

类型二 求解抛物线的标准方程

例 2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．

(1) 抛物线的焦点是双曲线 16x 2－ 9y 2＝ 144 的左顶点；

(2) 抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y ＝－ 3 与抛物线交于点 A ， AF ＝ 5.

2 2

解 (1) 双曲线方程可化为 x 9 － 16y ＝ 1，

左顶点为 (－ 3,0)，

－ p

由题意设抛物线方程为 y 2＝－ 2px(p>0)且 2 ＝－ 3，

∴p ＝ 6，∴抛物线的方程为 y 2＝－ 12x.

(2) 设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y 2＝ 2px(p ≠ 0)， A(m ，－ 3)，由抛物线定义得

5＝ p

AF ＝ m ＋2 .

又 ( －3) 2＝2pm ，∴ p ＝ ±1 或 p ＝ ±9，

故所求抛物线方程为 y 2 ＝±2x 或 y 2＝ ±18x.

反思与感悟 抛物线标准方程的求法

(1) 定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出 p ，最后写出标准方程．

(2) 待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴 上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定 p 的值．

3

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跟踪训练2已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(－ 3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．

解设抛物线方程为y2＝－ 2px(p>0)，

p

则焦点 F －2， 0 ，由题意，

m2＝ 6p，

得

m2＋－ 3＋p

22＝ 5，

p＝ 4，p＝ 4，

解得或

m＝－ 2 6.

m＝ 26

故所求的抛物线方程为y2＝－ 8x，m＝±2 6.

抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝ 2.

类型三抛物线在实际生活中的应用

例 3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5m 时，水面宽为8m，一小船宽 4m，高 2m，载货后船露出水面上的部分高

3

4m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船

开始不能通航？

解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标

系．设抛物线方程为x2＝－ 2py(p>0)，由题意可知，点 B(4，－ 5)在抛物线上，故p＝8

，得5

x2＝－16

y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则 A(2， y A)，5

216y

A，得 y A＝－5

.又知船面露出水面上的部分高为

33

＝ 2(m)．所

由 2 ＝－

54m，所以 h＝ |y A|＋

44

以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．

反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．

跟踪训练3喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点 A 处，喷出水流的最高点 B 高 5m，且与OA 所在的直线相距4m，水流落在以O 为圆心，半径为 9m 的圆上，则管柱 OA 的长是多少？

4

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解如图所示，以点 B 为坐标原点，过点 B 与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－ 2py(p>0) ，

因为点 C(5，－ 5)在抛物线上，所以25＝－ 2p·(－ 5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为 x2＝－ 5y，点 A(－ 4， y0)在抛物线上，所以 16＝－ 5y0，

即 y ＝－16

，所以 OA 的长为 5－

16

＝1.8(m) ．

055

所以管柱 OA 的长为 1.8m.

1．已知抛物线的准线方程为x＝ 7，则抛物线的标准方程为________．答案y2＝－ 28x

解析可设抛物线方程为y2＝－ 2px(p>0) ，由准线方程为x＝ 7知，p

＝ 7，即 p＝ 14.故抛物2

线的标准方程为 y2＝－ 28x.

2．已知点 (－ 2,3)与抛物线 y2＝2px( p>0) 的焦点的距离是5，则 p 的值为 ________．答案4

解析

p

， 0

，由两点间的距离公式得

－ 2－

p2

＋3

2

＝5? p＝ 4.焦点的坐标为22

3．若抛物线 y2＝ 2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为1，则 p＝ ________.

答案2

解析因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点

的最短距离为顶点到准线的距离，即p

＝ 1， p＝ 2. 2

4．若抛物线 y2＝ 2px(p>0)的准线经过双曲线 x2－ y2＝ 1 的一个焦点，则p＝ ________.答案 2 2

解析抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的准线方程是x＝－p ，2

因为抛物线 y2＝2px(p>0) 的准线经过双曲线x2－ y2＝ 1 的一个焦点 F1(－ 2，0)，

所以－p

＝－ 2，解得 p＝2 2.

2

5

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2-1 同步学案讲义

5．已知 M 为抛物线 2

N(2,3)，则 MN ＋ MF 的最

y ＝ 4x 上一动点， F 为抛物线的焦点，定点 小值为 ________．

答案 10

解析 将 x ＝2 代入抛物线方程，得 y ＝ ±2 2.

∵3>2

2，∴点 N 在抛物线的外部．

MN ＋ MF ≥NF ，而 F(1,0)，

则 NF ＝ 2－ 1 2＋ 32＝ 10，

∴MN ＋ MF ≥ 10，当 N ， M ， F 三点共线时有最小值，最小值为

10.

1． 焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为

y 2

＝ mx(m ≠ 0)，此时焦点为 F

m

， 0 ，

4

m

2

准线方程为 x ＝－ 4 ；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为

x ＝ my(m ≠0)，此时

焦点为 F 0，

m

，准线方程为

y ＝－

m

.

4

4

2．设 M 是抛物线上一点，焦点为 F ，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径．若 M(x 0，y 0)在抛物

线 y 2 ＝2px(p>0) 上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以 相互转化，所以焦半径

p

MF ＝ x 0＋ .

2

一、填空题

1．抛物线 y ＝ 1

x 2 的准线方程是 ________．

4

答案 y ＝－ 1

解析

1

2 2

＝ 4y ，则抛物线的焦点在 y 轴正半轴上，且

2p ＝ 4，即 p ＝ 2，因此准

由 y ＝ x

，得 x

4

线方程为 y ＝－ p

2

＝－ 1.

2．以坐标原点为顶点， (－ 1,0)为焦点的抛物线的方程为 ____________________ ．

答案 y 2＝－ 4x

解析

由题意可设抛物线的方程为

y 2＝－ 2px(p>0)，

p

则有－ ＝－ 1，得 p ＝ 2，

所以抛物线的方程为

y 2 ＝－ 4x.

6

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3．经过点 P(4，－ 2)的抛物线的标准方程为 ________．

答案 y 2＝ x 或 x 2＝－ 8y

解析

设所求抛物线的标准方程为

y 2＝ 2mx(m ≠ 0)或 x 2＝ 2ny(n ≠ 0)，

代入点 P(4，－ 2)，解得 m ＝1

2或 n ＝－ 4，

所以所求抛物线的标准方程为

y 2＝ x 或 x 2＝－ 8y.

2

2

4．以双曲线 16x － y

9 ＝ 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ________．

答案 y 2＝ 16x

2

2

解析

∵双曲线的方程为 x － y ＝ 1，

16 9

∴右顶点为 (4,0)．

设抛物线的标准方程为

y 2＝ 2px(p>0)，

则 p

＝ 4，即 p ＝ 8， 2 ∴抛物线的标准方程为

y 2＝ 16x.

5．已知抛物线 C 1： y ＝ 2x 2 与抛物线 C 2 关于直线 y ＝ x 对称，则 C 2 的准线方程是 ________．

答案

x ＝－

1

8

解析

2

2 1 x ＝－ 1

.

y ＝ 2x 关于 y ＝ x 对称的曲线为抛物线 y

＝ x ，其准线方程为

8

2

2

6．已知一个圆的圆心 C 在抛物线 y ＝ 4x 上，并且与 x 轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为

________．

解析

设圆心 C(x 0， y 0)，则 y 20＝ 4x 0，①

依题意得，半径 r ＝ |y 0|＝ |x 0＋ 1|，② 由①②得 x 0＝ 1，

故圆的半径 r ＝ 2.

7．顶点在原点，对称轴是

y 轴，并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是

________． 答案 x 2＝ ±12y

解析

因为顶点与焦点距离等于

3，

∴ 2p ＝ 12，

又∵对称轴是 y 轴，

∴抛物线的方程为

x 2＝ ±12y.

8．抛物线方程为 7x ＋4y 2＝ 0，则焦点坐标为 ________．

7

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答案

－ 7

， 0

16

解析

方程化为

2 7 7 p 7

，故焦点坐标为 － 7

， 0 .

y

＝－ x ，抛物线开口向左，

2p ＝ ， ＝

1616

4

4

2

9．设抛物线

y 2＝ 2px(p>0)的焦点为

F ，点 A(0,2)．若线段

FA 的中点 B 在抛物线上，则点 B

到该抛物线准线的距离为 ________．

答案

3

2

4

p

p ，1

2

解析

如图所示， 由已知， 得点 B 的纵坐标为 1，横坐标为 4 ，即 B 4 .将其代入 y ＝ 2px ，

得 1＝ 2p ×p ，解得 p ＝ 2，故点 B 到准线的距离为 p ＋ p

＝ 3 p ＝ 3 2 .

4

2 4 4 4

10．设 O 为坐标原点， F 为抛物线 2

＝ 4x 的焦点， A 为抛物线上一点，若

→ →

y OA ·AF ＝－ 4，则

点 A 的坐标为

________．答案 (1,2)或 (1，－ 2)

→

解析 设 A(x 0， y 0)， F(1,0) ， OA ＝ (x 0 ，y 0)，

→ → →

AF ＝ (1－ x 0，－ y 0)， OA ·AF ＝ x 0(1－ x 0)－ y 20＝－ 4. ∵ y 20＝ 4x 0，∴ x 0－ x 20－ 4x 0＋ 4＝ 0，

即 x 20＋ 3x 0－ 4＝ 0，x 0 ＝ 1 或 x 0＝－ 4(舍 )．

∴x 0＝1， y 0＝ ±2.

则点 A 的坐标为 (1,2) 或 (1，－ 2)．

11．若点 P 在抛物线 y 2＝x 上，点 Q 在圆 (x －3)2＋ y 2＝1 上，则 PQ 的最小值是 ________．

11

答案 2 － 1

解析

设圆 (x －3) 2＋ y 2＝ 1 的圆心为 O ′ (3,0) ，

要求 PQ 的最小值，只需求 PO ′的最小值．

设点 P 坐标为 (y 2， y

0)，

则 PO ′＝ y 20－ 3 2＋ y 20＝ y40－ 5y 20＋ 9

2

5 2 11

＝

y 0－ 2 ＋ 4 ，

∴PO ′的最小值为

11

，从而 PQ 的最小值为

11

－ 1.

2

2

8

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二、解答题

2

2

x y

12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过

a 2－

b 2＝ 1 的一个焦点，而且与 x 轴垂直．又抛

3 6 ，求抛物线和双曲线的方程．

物线与此双曲线交于点 2，

解 因为交点在第一象限， 抛物线的顶点在原点， 其准线垂直于 x 轴，所以可设抛物线方程

2

3 2

为 y ＝ 2px( p>0) ，将点 2，

6 代入方程得 p ＝ 2，所以抛物线方程为

y ＝ 4x.准线方程为 x ＝

－1，由此可知双曲线方程中

c ＝ 1，焦点为 (－ 1,0)， (1,0) ，点 3，

6 到两焦点距离之差 2a

2

2 2

＝1，所以双曲线的标准方程为

x － y

＝ 1.

1 3

4 4

13．已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，设 A ，B 是抛物线 C 上的两

个动点 (AB 不垂直于 x 轴 )，且 AF ＋ BF ＝ 8，线段 AB 的垂直平分线恒经过点 Q(6,0)，求抛物

线的方程．

解 设抛物线的方程为

y 2

＝ 2px(p>0), 则其准线方程为 x ＝－ p

.设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2) ，

2

p

p

∵ A F ＋BF ＝ 8，∴ x 1＋ 2＋ x 2＋2＝ 8，

即 x 1 ＋x 2＝ 8－ p.

∵ Q (6,0)在线段 AB 的中垂线上，∴ QA ＝ QB ，

即 6－ x

1

2

＋ － y 2＝ 6－ x 2＋ － y 2，

1 2 2

又 y 21＝ 2px 1， y 22＝ 2px 2， ∴ ( x 1－ x 2)(x 1＋ x 2－ 12＋ 2p)＝ 0. ∵AB 与 x 轴不垂直，∴ x 1≠ x 2.

故 x 1 ＋x 2－ 12＋ 2p ＝ 8－ p － 12＋ 2p ＝ 0，即 p ＝4.

从而抛物线方程为

y 2＝ 8x.

三、探究与拓展

14．已知 F 是抛物线 y 2＝ x 的焦点， A ，B 是该抛物线上的两点， AF ＋ BF ＝ 3，则线段 AB 的中

点到 y 轴的距离为 ________．

答案

5 4

解析

设 A(x A ， y A )， B(x B ， y B )，

1

∵AF ＋BF ＝ x A ＋ x B ＋ 2＝ 3，

5

∴x A ＋ x B ＝ 2.

9

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∴线段 AB 的中点到y 轴的距离为x A＋x B

＝

5

.

24

15．设点 P 是抛物线y2＝ 4x 上的一个动点．

(1) 求点 P 到 A( －1,1)的距离与点P 到直线 x＝－ 1 的距离之和的最小值；

(2) 若 B(3,2)，求 PB＋ PF 的最小值．

解(1) 如图，

抛物线的焦点为F(1,0) ，准线为 x＝－ 1，由抛物线的定义知点P 到直线 x＝－ 1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点 P 到点 A(－ 1，1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于点P，故最小值为22＋12＝5.

(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，此时， P1Q＝ P1F，那么 PB＋

PF ≥ P1B＋ P1 Q＝ BQ＝ 4，即最小值为4.

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8b1e.html