厦大14-15学年第二学期微积分I期末试卷

厦门大学《微积分I-2》课程期末试卷

试卷类型：（理工类卷） 考试日期 2015.6.17

一、计算下列各题：（每小题5分，共20分）

(1) 设函数u(x,y,z)?x2y?y2z?z2x，求gradu、div(gradu)和rot(gradu). (2) 计算?eLLx2?y2ds，其中L为上半圆周x2?y2?4,y?0与x轴围成的闭曲线.

(3) 计算?xydx，L为曲线y2?x上由A(1,?1)到B(1,1)的一段弧.

nsinn(4) 讨论正项级数?的敛散性. n2n?1?

1

二、(8分)计算??(x?z)dS，其中?是平面z?x?1被圆柱面x2?y2?1所截的部

?分.

三、（10分）计算??ydx?xdyLx2?y2，其中

L为圆周(x?1)2?y2?2，取逆时针方向2

. 四、(1)（2分）证明：在整个xOy平面内，(x?y?1)dx?(x?y2?3)dy为某个二元函数u(x,y)的全微分；

(2)（5分）求解全微分方程(x?y?1)dx?(x?y2?3)dy?0；

(3)（3分）求?(x?y?1)dx?(x?y2?3)dy，其中曲线L：(x?1)2?y2?4,y?0，

LL的方向为逆时针方向.

3

五、(10分)求向量场?x,0,0?经过曲面?指定侧的通量，其中?为圆柱面x2?y2?1位于z?0上方及平面z?y的下方部分，取外侧.

六、(1)（8分）讨论级数?(?1)nn?1?n的收敛性； 2n?4(2)（2分）判别级数?[(?1)nn?1?n1?]的敛散性. 2n?4n

4

x2n?2七、（8分）求幂级数?在(?1,1)内的和函数.

n?1n(n?1)?

八、（8分）将f(x)?

5

x?1展开成x?2的幂级数. 2x九、（10分）将函数f(x)?1?x(0?x?1)展开成以2为周期的正弦级数，并指出该级数在x?1处的值.

?十、(6分)设级数?(an?an?1)收敛，且n?1收敛.

??bn绝对收敛，证明：级数n?16

??anbn绝对

n?1

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