静电学填空题

静电学计算题

127、一个半径为R的均匀带电圆弧，弧心角为??60°,电荷线密度为?,求环心O处的电场强度和电势．

建立以O点为原点的平面坐标系，取电荷元dq??Rd?，则dE??Rd?

4??0R2?其中：Ey?0，dE??d?cos?，E?6?d?cos???

xx???4??0R4??0R4??0R6?U??6??6?Rd?? ?4??0R12?0128、将一无限长带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

取电量元dq??Rd?，其电场强度元为

?Rd? 4??0R2

dE?5??d??2?d?cos??cos? ，故 Ex????4建立如图所示的坐标系，因为Ey?0 dEx??

4??R4??R4??0R004129、带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为? = ?0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度和电势．

解：dE??0sin?d? ?dl?4??0R4??0R2dEx?dEcos? 考虑到电荷分布的对称性 Ex?0

2?dEy?dEsin? Ey?dEsin???0sin??d??0 方向沿

??04??0R8?0Ry轴负向

1

130、真空中两条无限长直的相互平行的均匀带电线, 相距为r、电荷线密度均为λ。建立适当的坐标系,求（1）两线构成的平面上任一点的电场强度；（2）单位长度带电线所受的电场力。

设场点距带电线x远，则在两线内电场强度为：E =

λr-2x i ；

2πε0x(r-x)在两线外电场强度为：E =

λr?2x i ）

2πε0x(r?x)λ2单位长度带电线所受的电场力F ＝ （说明力的方向）

2πε0r131、一无限长直均匀带电线，单位长度的带电量为?,求在带电线同侧与该带电线距离分别为R1，R2的两点A、B之间的电势差。（A、B与带电线共面）。

解：因为场强分布E?R2?dr?Rλ，所以U??Edr???ln2 R12??r2??0R12πε0r0132、面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为d/3，相对介电常数为 r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为d/3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？

解：（1）真空电容器C??0S，内部场强E?Q，电介质内部场强E?Q

012d?0S?0?rS插入电介质两极电势差U?Q?2d?Q?d 则C?Q?3?0?rS?3?rC

0?0S3?0?rS3U2d?r?d1?2?r（2）插入厚度为

d的导电板，可看成是两个电容的串联，则C1?C23?3?0S，得CC3?0S3

C?12??C0dC1?C22d2133、三平行金属板A、B、和C，面积都是200cm2，AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。若A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，求B板和C板上感应电荷。若以地的电势为零，求A板电势。

解: 如题图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2

(1)∵UAC?UAB，即∴EACdAC?EABdAB；∴?1?EAC?dAB?2，且?1+?2?qA

?2EABdACS

得?2?qA2q2?7, ?1?A。而 qC???1S??qA??2?10?7C。qB???2S??1?10C 3S3S3(2)UA?EACdAC??1dAC?2.3?103V

?02

134、计算如图所示长和宽均远大于间距的平行板电容器的电容.

134与132题重复，建议更改为下题

134、图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小．

解：E?Q 24πε0r U??baE?dr??4πε0UabQQb?aUabdr??E? 所以 Q?2a4πεr24πε0abb?a(b?a)r0b要使内球表面附近的电场强度最小 （r?a），必须满足 a?dE?0 dab4U 此时 E? 2b135、图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．解：空腔内任一点的场强E1??(r3?R13)4??0r2?0 r?R1

带电球壳上的一点 E?243??(r3?R13) 3?0r2R1?r?R2

带电球壳外部空间 E?3则空腔内任一点的电势U?3??(R2?R13)434??0r23?(R2?R13) ?3?0r2r?R2

?R2R1E2?dr??E3?dr??R2?R2R133??(R?R)?(r3?R13) ?212dr?dr?(R2?R12)22?R3?0r3?0r2?02136、一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出E(r)和V(r)曲线.

当r

V1?

?R1q4??0rrdr?2??q2??0r2R2?3

q4??0(11q1 ?)?rR14??0R2

当R1

当r> R2时：E3?q4??0r2，V3?

137、半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电量q，球壳带电量Q，试求：1）电势分布的表示式；2）用导体连接球和球壳后的电势分布；3）外球壳接地后的电势分布。

137与142题重复，建议更改为

138、如图所示，在半经分别为R1和R2的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Q和-Q,求两球面间的电势差。

E? U?Q(1?1)

4??0R1R24??0rQ2139、一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ。求：球心O处的电场强度。

?ds?将半球面看做无数带电圆环组成，每个圆环对场点产生dE,则E?cos??x?4??oR22?0??20sin?cos?d??? 4?0140、半径为R的球体内，分布着电荷体密度?=kr，式中r是径向距离，k是常量。求空间的场强分布。

3运用高斯定理，得r?R E?kr2 r?R E?kR

3?0r3?0141、在半径为R1的金属球之外包有一层均匀介质层（见图），外半径为R2。设电介质的相对电容率为?r，金属球的电荷量为Q。求：(1) 介质层内、外的场强分布；(2) 介质层内、外的电势分布；(3) 金属球的电势。

??解: 利用有介质时的高斯定理D?S?dS??q

??Qr?(1) 介质内(R1?r?R2)场强：D?,E内?34πr?Qr4π?0?rr3;

4

?介质外(r?R2)场强： D??Qr?Qr,E外?4πr34π?0r3

??(2)介质外(r?R2)电势U??E?外?dr?rQ，介质内(R14π?0r?r?R2)电势

U???r?????E内?dr??E外?drr?Q1??1 11Q?(?r)(?)?4π?0?rrR24π?0?rrR24π?0R2q (3)金属球的电势

R2?R2????U??E内?dr??E外?dr??RR12Qdr4π?0?rr2R???R2Q1?r?1 Qdr ?(?)4π?0?rR1R24π?0r2142、半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电量q，球壳带电量Q，试求：电势分布的表示式；用导体连接球和球壳后的电势分布；外球壳接地后的电势分布。

143、有两个无限长同心金属圆筒，内圆筒A的半径为R1，外圆筒B的半径为R2，在内圆筒上每单位长度有正电荷?，在外圆筒单位长度上有等量的负电荷，试求两圆筒间的电势差UAB和电容C。

解：两金属圆筒间场强分布E?λ，则UAB?2πε0r?R2R1R??dr?ln2 2??0r2??0R1C?RQ?2??0ln1 UR2

稳恒磁场计算题

144.稳恒磁学计算题144、如下图所示，AB、CD为长直导线BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以

电流I，求O点的磁感应强度．144如下图所示，ABCD为长导线，BC段为圆心在O点的

一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求（1）O点的磁感应强度．（2）若在O点放置一充分小平面单匝闭合线圈，面积为S,通以I/2的电流，计算该线圈所受的安培力和最大安培力矩。

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解：将载流导线分成三段，标号如图。则 （1）B1?0（1分）

1?0I?0I，向外（2分） ?122R24R B2?

B3??0I4?3R/2(sin?3?0I??sin)?，向外。（2分） 2412?R

图3-4

B?B1?B2?B3? （2）F?0I(23??)（3分） 24?R?0（1分）

Mmax

?0I2S?(23??)（1分） 48?R145、如图所示，一载流导线中间部分被弯成半圆弧状，其圆心点为O，圆弧半径为R。若导线的流过电流I，求圆心O处的磁感应强度。

146、载流体如图所示，求两半圆的圆心点P处的磁感应强度。

取定方向垂直纸面向里，根据毕奥萨法尔定律，有

B =

?oI111( + - ) R1R2?R24147、在真空中，有两根互相平行的无限长直导线相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如图所示．试求空间磁感应强度分布，指明方向和磁感应强度为零的点的位置．

6

148、图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a、b，导体内载有沿轴线方向的电流I，电流均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率?0，试计算导体空间各点的磁感应强度。

149、 如图所示，一根无限长直导线，通有电流I，中部一段弯成圆弧形，求图中O点磁感应强度的大小。

150、一根同轴电缆由半径为R1的长圆柱形导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成，如图所示，传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的，求同轴电缆内外各处的磁感应强度的大小。

151、有电流I的无限长导线折成如图的形状，已知圆弧部分的半径为R，试求导线在圆心O处的磁感应强度矢量B的大小和方向?

152、长直载流导线通以电流I，其旁置一长为m、宽为n的导体矩形线圈。矩形线圈与载流导线共面，且其长边与载流

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导线平行(两者相距为a)，（1）求该线圈所包围面积内的磁通量；（2）若线圈中也通以电流I，求此载流线圈所受的合力。

153、无限长载流导线I1与直线电流I2共面，几何位置如图所示.试求载流导线I2受到电流I1磁场的作用力. 153如图3-3，无限长直线电流I1与直线电流I2共面，几何位置如图所示.试求直线电流I2受到电流I1磁场的作用力.

解：磁场分布B(r)??0I12?r?r，电流元受力dF?IdlB(r)??0I1I2dl

22?r?而dl?dr/cos60?2dr则dF?IdlB(r)??0I1I2dr

2结果 F?IdlB(r)?b?0I1I2dr??0I1I2ln(b)

?2?a?r?a

154、无限长载流导线I1与直线电流I2共面且垂直，几何位置如图所示.计算载流导线I2受到电流I1磁场的作用力和关于O点的力矩;试分析I2施加到I1上的作用力.

?解：在ab上取dr，它受力dF?ab向上，大小为dF?I2dr?0I1

2?r?????dF对O点力矩dM?r?F，dM方向垂直纸面向外，大小为 dM?rdF??0I1I2dr

2?M??dM?ab?0I1I22??dr?ab?0I1I2(b?a) 2?I2施加到I1上的作用力不等于I1施加到I2上的作用力。

155、长直载流导线I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者共面．求△ABC的各边所受的磁力．

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???A解： FAB??I2dl?B

BFAB?I2a?0I1?0I1I2a 方向垂直AB向左

?2?d2?d???CFAC??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为 FAC?A?d?adI2dr?同理 FBC方向垂直BC向上，大小 F?Bc∵ dl??0I1?0I1I2d?a

?ln2?r2?d?d?adI2dl?0I12?r

dr ∴ d?a?IIdr?IId?a 021FBC???012ln?acos452?rcos45?d2?156、边长为l=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如图所示，使线圈通以电流I=10A，求：线圈每边所受的安培力；对OO/轴的磁力矩大小；(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

???解： (1) Fbc?Il?B?0

???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为Fab?IlBsin120??0.866 N ???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小Fca?IlBsin120??0.866 N

(2)Pm?IS??? M?Pm?B 沿OO?方向，大小为 M?ISB?I3l2B?4.33?10?2 N?m 44(3)磁力功 A?I(?2??1) ∵ ?1?0 ?2?3l2B∴A?I3l2B?4.33?10?2J

4157、一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为?剩余电荷．假定圆盘绕其轴线AA?以角速度? (rad·s)转

-1

动，磁场B的方向垂直于转轴AA?．试证磁场作用于圆盘的力矩的大小为圆环来考虑．)

M????R4B4．(提示：将圆盘分成许多同心

解：取圆环dS?2?rdr，它等效电流dI?dq??dq???dS???rdr

T2?2?等效磁矩 dPm??rdI????rdr

23???受到磁力矩 dM?dPm?B，方向?纸面向内，大小为dM?dPm?B????r3drB

M??dM????B?rdr?0R3???R4B

4158、在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I ，如图所示．建立适当的坐标系，求其所受的安培力．

9

159、如图所示，在长直导线内通以电流I1=20A，在矩形线圈中通有电流I2=10 A， 两者共面，且矩形线圈之纵边与长直导线平行．已知a=9.0cm, b=20.0cm, d=1.0 cm，求：(1)长直导线的磁场对矩形线圈每边所作用的力；(2)矩形线圈所受合力和合力矩．

电磁感应计算题

160、两相互平行无限长的直导线,流有大小和方向如图所示的电流，金属杆CD与两导线保持共面，相对位置如图。以速度v沿着平行于直载流导线的方向运动，求:杆中的感应电动势，并判断两端哪端电势较高？ 解：?(???B?)?dl???a?c??3I??02I??3?0Ia?0IbCD??DCa???02?r?2?(a?b?c?r)??dr?2?lna?c??lnb?c

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杆

161、如图所示，AB、CD为两均匀金属棒，有效长度均为1m，放在B=4T、方向垂直纸面向里的均匀磁场中．AB、CD可以在平行导轨上自由滑动．当两棒在导轨上分别以v1=4m/s,v2=2m/s 的速度向右作匀速运动时，求：ABCD导体框中，电动势的大小及感应电流的方向． 解：?CD??1BL?16(V)

?BA??2BL?8(V)

?ABCD??AB??CD?16?8?8(V) 方向顺时针

162、如图所示，长直导线中通有电流I = 0.3A，在与其相距d = 0.6cm处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l = 3cm，宽a = 3cm。不计线圈自感，若线圈以速度v = 5m/s沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？

???I解：?1????B?dl?N?Bl?N?l0

2?d??????2????B?dl?N?l????0I2?(a?d)

???1??2?N?l?0Ia?1.25?10?5(V) 方向顺时针

2?d(a?d)

163、真空中的两条无限长直导线平行放置，一载流导体环（半径为R）与两导线共面放置，如图所示。（1）

求O点之磁感应强度（2）若圆环以匀速率v铅直向上运动，求其上的动生电动势。

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解：（1）B?2??0I?I?0 方向垂直纸面向外

2??3R3?R（2）根据法拉第电磁感应定律，因为磁通量不变，所以

??0

164、电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120O，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解：构造闭合回路ABCDA，依据电磁感应定律，闭合回路动生电动势为0，因而

?ABC??AD

由于磁场分布规律B(r)??0I12?r，则d??v2.5R?I?0I?Ivdr，得到?ABC??v0dr?0ln(2.5)

R2?r2?r?说明电势指向

165、导线AB长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，AO=l/3,磁感应强度B平行于转轴，如图所示．试求：（1） 两端的电势差；（2） 哪一端电势高?

解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段，则 ?Ob???rBdr?2B?l2

9l121同理 ?Oa?3?rBdr?1B?l2 ∴ ?ab??aO??Ob?(??)B?l2?B?l2

?01896182l30(2)∵ ?ab?0 即Ua?Ub?0 ∴b点电势高．

166、长直导线中通以随时间变化的电流,置于磁导率为?的磁介质中。已知：I = I0sin?t其中I0，?均为大于0的常量。求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势.

解：磁场分布 B?μ0I，矩形回路磁通量Φ?d?aμ0I?ldx?μ0Illnd?a

?d2πx2πx2πd感应电动势 ε??NdΦ??μ0ωllnd?acosωt

dt2πd167、真空中的正方形导体框与长直载流导线共面放置，AB边与载流导线平行，已知b/a=3/4，求（1）两者的互感应系

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数； (2)若I = I0sin?t，ABCD上的感生电动势是多少？（3）若ABCD的电阻为R，则感生电流是多少？（4）b为多少时，两者无互感？

168、磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在图中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当dB/dt＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向．

解： ∵ ?ac??ab??bc

?abd?1d32????[?RB]?dtdt4d?223RdB，?ab??2??d[?πRB]?πRdB

dt4dtdt1212dt12dt22∴ ?ac?[3R?πR]dB

4∵ dB?0 ∴ ?ac?0即?从a?c

dt169、圆形均匀磁场区域R的内接正方形导电回路边长LL=0.20M，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度以0.1T/s 的变化率减少，如图所示，试求:(1) 整个回路内的感生电动势。(2)回路电阻为2?时回路中的感应电流。

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