全国高校自主招生数学模拟试卷(7)

全国高校自主招生数学模拟试卷七

一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=log12(x2?2x?3)的单调递增区间是

(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=log12u, u= x-2x-3，故选A

2

2、 若实数x, y满足(x+5)2+(y?12)2=142，则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 解：B 3、 函数f(x)=

x1?2x3 (D) 2

?x2

(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数

(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线

x4?y3?1椭圆

x216?y29?1相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于

3，这样的点P共有

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P1(4cos?,3sin?) (0

S=S?OAP?S?OBP=

11?2)，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB

12?4?3sin??12?3?4cos?=6(sin?+cos?)=62sin(???4)

∴Smax=62 ∵S⊿OAB=6

∴(S?PAB)max?62?6

1y B O P1 A x ∵62?6<3

∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B 5、 已知两个实数集合A={a1, a2, … , a100}与B={b1, b2, … , b50}，若从A到B的映射f使得B

中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有

50504949(A) C100 (B) C90 (C) C100 (D) C99

解：不妨设b1

足x2+y2≤16, x2+(y-2)2≥4, x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则

(A) V1=

124949V2 (B) V1=

23V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2

解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在y y 4 两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴

4 垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积 ∵S1=?(42?4|y|) , 4 x -4 -4 o o 2222

S2=?(4?y)??[4?(2?|y|)]=?(4?4|y|) ∴ S1=S2

-4 -4 由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故远C。

一、 填空题（54分，每小题9分）

7、 已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则

z1?z2z1?z2z1?z2z1?z213374 x = 。

解：由余弦定理得|Z1+Z2|=19, |Z1?Z2|=7,

=

8、 将二项式(x?214)的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展xn开式中x的指数是整数的项共有 个。 解：不难求出前三项的系数分别是1, ∵2?12n?1?18n(n?1)

16?3rr412n,18P1 P2 P3 n(n?1)，

P4 ∴当n=8时，Tr?1?Cn()x2r1 (r=0,1,2,…，8)

P10

P5 P7 P8

P9 P6 ∴r=0,4,8,即有3个

9、 如图，点P1,P2,…,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同

一平面上的四点组(P1, Pi, Pj, Pk)(1

解：首先，在每个侧面上除P1点外尚有五个点，其中任意三点组添加点P1后组成的四点组

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