word版习题课无穷级数

第十二章

第十二章 无穷级数

章主要内容小结

一、数项级数的审敛法

1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性； 2、正项级数的审敛法 若limun?0，则级数

n???un?1?n发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别；

对一般项出现阶乘、及n次幂形式，多用比值法，limun?1n??un???1,收敛??????1，发散；

???1，失效????1,收敛?对一般项出现n次幂形式，多用根值法，limnun?????1，发散；

n?????1，失效?对一般项可经缩小与放大处理后化成p级数或几何级数形式，则用p级数或几何级数作为比较标准，采用

比较法或极限形式，对比值法与根值法中??1的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做；

注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当limun?1存在时，limnunn??n??un也存在，且limnun?limn??un?1，反之不一定成立。

n??un3、任意项级数审敛法

?un?1?n为收敛级数，若

?un?1?n收敛，则

?un?1?n绝对收敛；若

?un?1??n发散，则

?un?1?n条件收敛；

莱布尼兹判别法：un?un?1?0，且limun?0则交错级数

n???(?1)n?1n?1un收敛，且rn?un?1。

（二）求幂级数收敛域的方法

1、标准形式的幂级数，先求收敛半径R?liman，再讨论x??R的敛散性；

n??an?1。

2、非标准形式的幂级数?式?通过换元转化为标准形?直接用比值法或根值法（三）幂级数和函数的求法

1、求部分和式的极限；

2、初等变换法：分解、直接套用公式；

3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算；

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第十二章

求部分和；?直接求和：直接变换，4、数项级数求和 ?数，再代值；?间接求和：转化成幂级（四）函数的幂级数和傅立叶级数展开式

1、函数的幂级数展开

直接展开法：利用泰勒级数；

间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质；

2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。 例1 若级数

?an?1?n与?bn都收敛，且an?cn?bn(n?1,2,?)，证明级数?cn收敛。

n?1n?1??证明：?0?cn?an?bn?an(n?1,2,?)，则由已知条件

?????(bn?1??n?an)收敛，根据比较判别法有

?(cn?1n?an)收敛，?cn??(cn?an?an)??(cn?an)??an收敛。

n?1n?1n?1n?1说明：注意比较判别法只对正项级数成立，对一般级数不可用。 例2 判别下列级数的敛散性

??2?(?1)n(n!)21（1）?； （2）?； （3）?； n2n2n?1n?nn?1n?12n???111n21（4）?n(1?)； （5）?； （6）； ?2nnlnnn?13n?2n?1n(1?lnn)??(?1)n2解：（1）解法1： 利用无穷级数收敛的性质：?n与?都是几何级数，均收敛，所以 nn?12n?12???2?(?1)n2(?1)n??n??n收敛； ?n2n?1n?12n?12??2?(?1)n33?解法2：该级数为正项级数，利用比较法，因为，而收敛，所以原级数收敛； ?nnn22n?12n2?(?1)1解法3：该级数为正项级数，利用根值法，因为limn??1，所以原级数收敛。 nn??22（2）因为limn?1，所以limn??n1n?nnn????111?1，由比较法的极限形式知：级数?n与?具有相nn?1n?nn?1n同的敛散性，而级数

1发散，所以原级数发散。 ?nn?1?un?1[(n?1)!]2（3）利用比值法：lim?limn??un??2(n?1)2n(n!)22?limn???，所以原级数发散。 2n??2n- 2 -

第十二章

（4）利用根值法：limnun?limnn??n??11n211ne(1?)?lim(1?)??1，所以原级数收敛。 nn??n3n33（5）一般项un?1，利用比值法、比较法、根值法都不易判定级数的敛散性，注意到un是单

n(1?ln2n)调递减数列，因为积分数收敛。 （6）因为

n???2??dlnxdx??arctanlnx22?2x(1?lnx)1?lnx??2??2?arctanln2收敛，所以原级

lnn?nn，所以n1lnn?1nn???n???1，即limnn??1lnn?1，所以原级数发散。

例3 判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

?n?1(?1)n（1）?(?1)ln； （2）?；

nnn?(?1)n?1n?2?nnn?1（3）?(?1)(n?1?n)； （4）?(?1)；

(n?1)!n?1n?1?n?n解：（1）因为un?lnnn?11?ln(1?)单调递减，且limun?0，由莱布尼兹判别法知级数收敛

n??nn?k?1nn?1n??发散，sn??ln??[ln(k?1)?lnk]?ln(n?1)?ln1?ln(n?1)??????，所以?lnknk?1k?1n?1原级数条件收敛。 （2）limun?limn??1n?(?1)nn???0，但

1n?(?1)n不单调，所以不能用莱布尼兹判别法，

??1n?(?1)nn(?1)n(?1)nn因为un?，而?收敛，?发散，所以???nn?1n?1n?1n?1n?(?1)n?2n?1n?21?n?2?(?1)nn1?[?]发散。 ?nn?1n?1n?(?1)n?2?(?1)n（3）un?n?1?n??1n?1?n??1n?2?n?1?un?1，且limun?limn??1n?1?nn???0，原

级数收敛，而

?(n?1?n)??n?1n?11n?1?n发散，所以原级数条件收敛。

un?1nn?1(n?1)n?2（4）un?，lim?limn??(n?2)!(n?1)!n??un所以原级数发散。

nn?1(n?1)21?lim(1?)n?e?1，

(n?1)!n??(n?2)nn- 3 -

第十二章

说明：若级数改为

?(?1)nn?1?(n?1)!，则级数绝对收敛。 nn?1例4 判别下列级数的敛散性

?n?1（1）?(a?0)； （2）?n(??0)； nn?11?an?1???（3）

?(?1)nn?11； np0?a?1a?1a?1，故就a?1,a?1,0?a?1分别讨论。

解题思路：一般项中含有参数，需注意对参数进行讨论。

?0?n解：（1）注意到lima??1n?????当0?a?1时，un?1?1(n??)，由级数收敛的必要条件知原级数发散；

1?an11?(n??)，由级数收敛的必要条件知原级数发散； 当a?1时，un?n21?a?111n1n??()当a?1时，un?，而级数()为公比绝对值小于1的几何级数，是收敛的，由?a1?ananan?1比较法原级数收敛。

综上所述：当a?1时原级数收敛；当0?a?1时，原级数发散。 （2）一般项un?n??n1中含有n次幂，用根值法。因为limnun?limnn??n??n?n?n?limn??n???1?，

由根值判别法，当当

??1时，即??1时级数收敛；

11??1时，即0???1时级数发散；

??1时，即??1时根值法失效，此时

?n??limun?limn????0，由必要条件得级数?n发散。

n??n?1综上所述：当0???1时原级数发散；当??1时原级数收敛。

（3）这是交错级数，其绝对值级数为p级数，需分p?1,0?p?1,p?0讨论其绝对收敛与条件收敛。

当p?1时，其绝对值级数

1是收敛的，所以原级数绝对收敛； ?pn?1n???1n1当0?p?1时，其绝对值级数?p是发散的，而级数?(?1)是交错级数，由莱布尼兹判别法可知pnnn?1n?1其收敛，所以原级数条件收敛。

当p?0时，limun?lim(?1)n??n??n1?0，所以原级数发散。 pn- 4 -

第十二章

例5 设正项级数

?un?1?n和

?vn?1?n都收敛，证明级数

?(un?1?n?vn)2也收敛。

22分析：因为un?0，vn?0，所以unvn?0，且(un?vn)?un?2unvn?vn?0。又已知级数

??

?

2?un?1?n和

?vn收敛，如果级数?un和?vn收敛，由不等式

2

2

n?1n?1

n?1

2unvn?un?vn与比较判别法即可推得?2unvn收敛，从而欲证结论成立。

22n?1?证明：因为

?un?1?n收敛，所以limun?0，由极限定义，对正数??1，存在N，使当n?N时，有0?un?1，

n??从而un?un，由比较判别法，级数

?2?un?12?2n收敛，同理可证级数

?vn?1?2n收敛。

又因为2unvn?un?vn，而

??22?(un?1n?vn)收敛，由比较法知级数?2unvn收敛，

2n?12?所以

?(un?vn)??(un?2unvn?vn)收敛。

22n?1n?1例6 求下列幂级数的收敛半径与收敛域

?2?(?1)nnn2n（1）? ； （2）x； x?nn2n?12n?1?3n?(?2)n（3）?(x?1)n；

nn?1?an?12?(?1)n12?(?1)n?1(n?1,2,?)，而lim解：（1）因为an?不存在，用比值法求收敛半?limnnn??n??2an22?(?1)12?(?1)n31131nn?径失效，故用根值法。因为n?。而，，故lim?lim?n??n??22n2n2n22n2??limnan?limnn??n??2?(?1)n1??1，所以R?2。 n22当x?2时，原级数为

?[2?(?1)n?1??n]，由lim[2?(?1)n]?0，此级数发散；

n??同理，当x??2时，原级数

?[2?(?1)n?1n](?1)n发散；

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第十二章

所以所求收敛域为(?2,2)。 （2）因为un(x)?n2nx(n?1,2,?)，原级数缺少x的奇次幂项，故直接用比值法。因为 2nun?1(x)(n?1)2nx2(n?1)x2??lim?lim??1，所以x?2,R?2， n?12nn??u(x)n??22nxn当x??2时，原级数

?n发散，所以所求收敛域为(?n?1?2,2)。

?3n?(?2)n3n?(?2)n3n?(?2)nnn(x?1)，令y?x?1，原级数为?（3）因为un(x)?，y，取an?nnnn?1则??liman?1n??an2n?1n?13[1?(?)]n[3n?1?(?2)n?1]n13?limn?lim?3R?，所以， n??[3?(?2)n](n?1)n??n2n33[1?(?)](n?1)3???13n?(?2)n1n(?1)n12n当y??时，考察级数?与?()都收敛，所以级数(?)，易知级数?3n3nn?1n3n?1n?13n?(?2)n1n(?)收敛； ?n3n?1????13n?(?2)n1n(?1)n2n1当y?时，考察级数?()，因为?发散，级数?() 收敛，所以级数

3n3n3n?1nn?1n?13n?(?2)n1n()发散； ?n3n?1?11113n?(?2)nn从而幂级数?y的收敛域为[?,)，由y?x?1解不等式??x?1?得原级数的收敛

3333nn?1?域为[?42,?)。 33例7 求幂级数

?n(n?1)xn?1?1n的和函数

解：因为??lim1n??(n?1)(n?2)1?1，且x??1时原级数收敛，所以收敛域为[?1,1]。注意到

n(n?1)?1??xn(x?(?1,1))，需用逐项微分法去掉一般项中分母的系数。 1?xn?0- 6 -

第十二章

?xn1n?11令s(x)??，则s(0)?0，当x?0时s?(x)??x?2n(n?1)n?1xn?1n?1??xn?11?(x)??xn?再令s1(x)??，则s1?1，所以

1?xn?1n?1n?1xn?1， ?n?1n?1??xx1?(x)dx?s1(0)??(s1(x)??s1?1)dx??x?ln(1?x)(x?1)， 001?x11ln(1?x)(x?0,x?1)， 故s?(x)?2s1(x)???xxx2xx11s(x)??s?(x)dx?s(0)??[??2ln(1?x)]dx

00xxx111?x?lim[??ln(1?x)]dx?1?ln(1?x)， 2??0???xxx?11111111]?1； s(1)????[?]?limsn(1)?lim[1???????n??n??223nn?1n?1n?1n(n?1)n?1n???0?所以s(x)??1?1?x?1?ln(1?x)x?x?0x?1x?0,x?1

n2例8 求级数?的和。

n?1n!?n2n?1解法1： 考察幂级数?x，易知收敛域为(??,??)，由

n?1n!?n2n?1?ns(x)??x??xn?1n?1n!n?1(n?1)!???[?n?1?nxxxdx]??[?]??[x?]??(xex)??xex?ex0(n?1)!n?1(n?1)!n?0n!xn?1?n?n

n2得s(1)?2e，从而??2e。

n!n?1???n2nn?1?1解法2： ? ????n?1n!n?1(n?1)!n?1(n?1)!???111?1?????????e?e?2e。

(n?2)!(n?1)!n?2n?1n?0n!n?0n!?例9 将下列函数展开成x的幂级数

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第十二章

x2（1）f(x)?2 ； （2）f(x)?ln(x?1?x2)；

x?3x?2解：（1）f(x)是有理函数，应将其化为幂函数与部分分式乘积的形式，再利用相应公式展开。

x211f(x)?2?x2[?]x?1x?2x?3x?2?111?x22nn?x[?]?x[?(?1)x??(?1)n()n]

x1?x2n?02n?02(1?)2??112nn?x?(?1)[1?n?1]x??(?1)n[1?n?1]xn?222n?0n?0易知收敛域为x?(?1,1)。

（2）先对f(x)求导，得f?(x)?[ln(x?1?x]??对展开式逐项积分求解。因为

211?x2，利用(1?x)m的展开式展开

11?x2，再

11?x2?n?1?(1?x)2?12?1?121?34(2n?1)!!2nx?x???(?1)nx??22?4(2n)!!?1??(?1)n(2n?1)!!2nx,x?[?1,1](2n)!!2

所以ln(x?1?x)??x0dx1?x2?x??(?1)nn?1?(2n?1)!!x2n?1,x?[?1,1]。

(2n)!!(2n?1)例10 求幂级数

?(?1)n?1(1?n?1?1。 )x2n的收敛域与和函数f(x)（05年考研题）

n(2n?1)2n?1解：因为

?(?1)n?1?n?1x2n?x2?(?xn?1?)x2?(?1?x?1) 21?x?(?1)n?1x0?n?12n?12n?1?xxx?xx?x12nn?1x?2?(?1)?dx?2??dx?2?[??x2n?2dx]dx

02n?1000n(2n?1)n?1n?12n?1n?1xxxdxdxdx]dx]?2?[?]dx]?2?arctanxdx?2xarctanx?2?001?x2001?x2

xx?2?[?x?0?xn?12n?2?2xarctanx?ln(1?x2)(?1?x?1)x22)?2xarctanx?ln(1?x所以幂级数的收敛域是(?1,1)，f(x)?。 21?x例11 设f(x)?2?x(0?x?2)，而s(x)??bnsinn?1?n?x(???x???)，其中 2- 8 -

第十二章

bn??f(x)sin02n?xdx(n?1,2,?)，求s(?1)和s(0)。 2分析：此题不需要进行傅立叶展开，而是应用狄利克雷定理判别当x?0和x??1时，级数收敛于何值。 解：由已知s(x)是f(x)在[0,2]上的正弦级数，也是奇函数F(x)????2?x?2?x?2?x?0在[?2,2]上

0?x?2的傅立叶（正弦）级数。由狄利克雷定理，在F(x)的连续点x??1处，s(?1)?F(?1)??1；在F(x)的间断点x?0处，s(0)?11[F(0?0)?F(0?0)]?(?2?2)?0。 22例12 将f(x)?sinx(???x??)展成傅立叶级数。

分析：由f(x)?sinx???sinx??sinx0?x??，易知函数f(x)在[??,?]上连续，且有3个极值点，

???x?0满足狄利克雷收敛定理条件，将f(x)以2?为周期做周期延拓后，直接求傅立叶系数。 解：将f(x)以2?为周期做周期延拓，由f(x)为偶函数，得bn?0(n?1,2,?)，

an?2???0f(x)cosnxdx?2???0sinxcosnxdx?1???0[sin(n?1)x?sin(1?n)x]dx1cos(n?1)xcos(1?n)x???[?]0?n?11?n1111?[(?1)n?1?1][?]?[(?1)n?1?1]2?n?1n?1?(n?1)n?2k?1?0???(n?0,1)4?n?2k??(4k2?1)?2?42?a0??sinxdx?,a1??sinxcosxdxdx?0，

?0??0因为f(x)在[??,?]上连续且仅有三个极值点，所以由收敛性定理

sinx?2??cos2kx??k?14k2?14?(???x??)。

例13 设f(x)在[??,?]上可积，且ak,bk是f(x)的傅立叶系数，试证对任意自然数n，成立不等式

na01?22??(ak?bk)??f2(x)dx。 2???k?12分析：左边涉及到傅立叶级数前n项的系数平方和，右边是f(x)的积分，故考察

na0证明：令sn(x)???[akcoskx?bksinkx]，其中

2k?12??[f(x)?s??n (x)]2dx。

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第十二章

ak?1???f(x)coskxdx(k?0,1,?,n)，b??k?1???f(x)sinkxdx(k?1,2,?,n)，

??则0?????[f(x)?sn(x)]2dx??[f(x)]2dx?2???????f(x)sn(x)dx??[sn(x)]2dx，

??2?利用三角函数系的正交性有

??f(x)s??n(x)dx??2???nna0a0f(x)[??(akcoskx?bksinkx)]dx?????(ak2?bk2),

2k?12k?12nna0a0222[s(x)]dx?[?(acoskx?bsinkx)]dx????(a?b)， ??nkkkk????????2k?12故0???f2(x)dx??[a0n2??(a22??k?bk)]，即

k?1a20n??(a221?22k?bk)?k?1????f(x)dx。 - 10 -

2k?1

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