数控机床插补原理

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数控原理及系统

第四章

轮廓插补原理

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引子y在数控程序中经常会有以下几个语句：

E

直线插补 G01 X__Y__;

oy

A图1

x

?插补？? 插补？?G02 X_Y_I_J_F_;

顺圆插补E A

逆圆插补 G03 X_Y_R_F_;

oyA

图2

x

圆弧插补o

E图3

x

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1.插补概述1.1插补的基本概念 插补的基本概念CNC

程 序 输 入

数 译 码 据 处 理

插 补

位 置 控 制4

输 入 输 出 处 理 控 制

为什么我们看 到的不是阶梯 运动而是直线 运动呢？

y数控系统根据零件轮廓线型的有限信息，计 数控系统根据零件轮廓线型的有限信息， 算出刀具的一系列加工点、用基本线型拟合， 算出刀具的一系列加工点、用基本线型拟合， 完成所谓的数据“密化”工作。 完成所谓的数据“密化”工作。算法重要！ 影响精度 和速度！C E D B

G

HF

oy

A

4

插补有两层意思： 插补有两层意思： 一是用小线段逼近产生基本线型(如直线、 一是用小线段逼近产生基本线型(如直线、 圆弧等); 圆弧等); 二是用基本线型拟合其它轮廓曲线。 二是用基本线型拟合其它轮廓曲线。

原来不是 弧线，而 是许多小 直线！

x

C B

E D

F G

H5

A

o

x

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1.2插补的分类 插补的分类可分为两大类：脉冲增量插补算法和数据采样插补算法。

1.2.1脉冲增量插补算法 脉冲增量插补算法这类插补算法是通过向各个运动轴分配脉冲， 这类插补算法是通过向各个运动轴分配脉冲，控制机床坐标轴相互协调 运动，从而加工出一定轮廓形状的算法。 运动，从而加工出一定轮廓形状的算法。脉 冲 增 量 插 补 X X向单位脉冲 Y向单位脉冲 X步进电机 Y步进电机

X轴移动一个脉冲当量△X△X

△X X

B

△Y

Y轴移动一个脉冲当量△Y A

△Y △X

脉冲增量插补算法比较简单，仅需加法和移位操作就可完成。比较容易用硬件和软件 实现，而且插补误差不大于一个脉冲当量。但其输出的脉冲速率主要受限于插补程序所用 的时间，如一次算法程序耗时40微秒，脉冲当量为0.001mm,则轴运动最大速度为 1.5m/min,若要到15m/min,则需脉冲当量为0.01mm,故限制了其精度和速度的提高。一般 而言，脉冲增量插补算法较适合于中等精度和中等速度的机床数控系统。

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1.2插补的分类 插补的分类●早期常用的脉冲增量式插补算法 1.2.2脉冲增量插补算法分类 脉冲增量插补算法分类 有逐点比较法、单步跟踪法、 有逐点比较法、单步跟踪法、DDA 法等。插补精度常为一个脉冲当量 一个脉冲当量， 法等。插补精度常为一个脉冲当量， 1、数字脉冲乘法器插补法 DDA法还伴有运算误差 法还伴有运算误差。 DDA法还伴有运算误差。 2、逐点比较法 80年代后期插补算法有 年代

后期插补算法有： ●80年代后期插补算法有：改进逐 3、数字积分法(DDA法) 点比较法、直接函数法、 点比较法、直接函数法、最小偏差 脉 4、矢量判别法 法等，使插补精度提高到半个脉冲 法等，使插补精度提高到半个脉冲 冲 当量，但执行速度不很理想， 当量，但执行速度不很理想，在插 5、比较积分法 增 补精度和运动速度均高的CNC CNC系统 补精度和运动速度均高的CNC系统 6、最小偏差法 量 中应用不广。 中应用不广。 7、目标点跟踪法 插 ●近年来的插补算法有改进的最小 8、直接函数法 补 偏差法，映射法。 偏差法，映射法。兼有插补精度高 9、单步跟踪法 算 和插补速度快的特点。 和插补速度快的特点。 10、加密判别和双判别插补法 法 总的说来， 总的说来，最小偏差法插补精 度较高，且有利于电机的连续运动。 度较高，且有利于电机的连续运动。 11、Bresenham算法 ……………………………

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1.2插补的分类 插补的分类 1.2.3数据采样插补算法 数据采样插补算法又称时间标量插补，是根据数控加工程序编写的进给速度， 又称时间标量插补，是根据数控加工程序编写的进给速度，先将零件轮 廓曲线按插补周期分割为一系列首尾相连的微小直线段， 廓曲线按插补周期分割为一系列首尾相连的微小直线段，然后输出这些 微小直线段对应的位置增量数据，用以控制系统实现坐标进给。 微小直线段对应的位置增量数据，用以控制系统实现坐标进给。 与脉冲增量插补算法相比，数据采样插补算法的结果不是单个脉冲， ●与脉冲增量插补算法相比，数据采样插补算法的结果不是单个脉冲， 而是位置增量的数字量，是标准二进制数； 而是位置增量的数字量，是标准二进制数； ●这类算法适用于以直流或交流伺服电动机作为执行元件的闭环或半闭 环数控系统。 环数控系统。采样反馈

X轴实际位置 轴实际位置 X轴位置 轴位置

比较

X坐标轴的位置增量/本周期

插 补 程 序

X轴位置 轴位置 跟踪误差

Y坐标轴的位置增量/本周期

Y轴位置 轴位置采样反馈

比较

Y轴实际位置 轴实际位置

Y轴位置 轴位置 跟踪误差

伺 服 位 置 控 制 软 件

X轴 轴 速度

X 驱 动 Y 驱 动

Y轴 轴 速度

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1.2插补的分类 插补的分类 1.2.4数据采样插补算法分类 数据采样插补算法分类1、直接函数法 数控系统是一个多任务控制装置， 数控系统是一个多任务控制装置， 不仅要插补，还要存储数据、 不仅要插补，还要存储数据、监 视机床等。 视机床等。一般要求插补程序占 用时间不大于计算机在一个插补 周期工作机时的30% 40%。 30%周期工作机时的30%-40%。当CNC 系统选用数据采

样插补算法时， 系统选用数据采样插补算法时， 特别是当插补频率较低， 特别是当插补频率较低，大约在 50-125Hz时 插补周期约为8 50-125Hz时，插补周期约为820ms。在这种插补频率下， 20ms。在这种插补频率下，数控 系统可达到的最大轨迹速度可达 10m/min以上 以上， 10m/min以上，也就是说数据采 样插补程序的运行时间已不再是 限制加工速度的主要因素。 限制加工速度的主要因素。加工 速度的上限将取决于圆弧轮廓插 补过程中的弦误差以及伺服系统 的动态响应特性。 的动态响应特性。

数 据 采 样 插 补 算 法

2、扩展数字积分法 3、二阶递归扩展数字积分圆 弧插补法 4、圆弧双数字积分插补法 5、角度逼近圆弧插补法 6、“改进吐斯丁” (Improved Tustin Method ――ITM)法 ……………… ………………

提高插补计算速度的改进方案： 提高插补计算速度的改进方案： 1.采用软 硬件结合的两级插补方案; 采用软/ 1.采用软/硬件结合的两级插补方案; 2.采用多CPU的分布式处理方案 采用多CPU的分布式处理方案; 2.采用多CPU的分布式处理方案; 3.采用单台高性能微型计算机方案 采用单台高性能微型计算机方案。 3.采用单台高性能微型计算机方案。

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2.逐点比较法2.1逐点比较法的基本原理 逐点比较法的基本原理在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中， 在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零 件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向， 件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具 沿着坐标轴向减少偏差的方向进给，且只有一个方向的进给。 沿着坐标轴向减少偏差的方向进给，且只有一个方向的进给。开始 偏差判断 坐标进给 偏差计算 终点？ 终点？ Y 结束 N

Y D A A’ O图7

B

B’

2 1 C X

图6 逐点比较法插补流程图

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2.2逐点比较法第一象限直线插补 逐点比较法第一象限直线插补 2.2.1偏差判断 偏差判断OP1斜率-OE斜率=Y1/X1-Yc/Xc=0 设有一动点P(Xi,Yi); 终点坐标C(Xc,Yc)。

P1: Y1Xc-X1Yc=0 P2: Y2Xc-X2Yc>0 P3: Y3Xc-X3Yc<0 取偏差函数 Fi= YiXc-XiYcFi=0,插补点Pi恰在直线上； Fi=0,插补点Pi恰在直线上； Pi恰在直线上 Fi>0,插补点Pi在直线上方； Fi>0,插补点Pi在直线上方； Pi在直线上方 Fi<0,插补点Pi在直线下方。 Fi<0,插补点Pi在直线下方。 Pi在直线下方

Y

Fi>0

C(Xc,Yc) P2(X2,Y2)

Fi=0P1(X1,Y1) P3(X3,Y3)

Fi<0O图8

X

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2.2逐点比较法第一象限直线插补 逐点比较法第一象限直线插补 2.2.2坐标进给 坐标进给Fi<0,插补点P在直线下方， +Y方向进给； Fi<0,插补点P在直线下方，向+Y方向进给； 插补点 方向进给

Fi>0,插补点P在直线上方， +X方向进给； Fi>0,插补点P在直线上方，向+X方向进给； 插补点 方向进给 Fi=0,插补点P在直线中，可向+X或+Y方向进 Fi=0,插补点P在直线中，可向+X或+Y方向进 插补点 +X 一般情况下可约定， +X方向进给 方向进给。 给，一般情况下可约定，向+X方向进给。

y

Fi>0 P1

P2

E Fi=0

P3 Fi<0

o图9

x

2.2.3偏差计算 偏差计算对于偏差计算式Fi =Yi Xc –XiYc,包含乘法，不利硬件或汇编语言实 现，所以采用递推算式来求取F值: Fi>=0, 若Fi>=0,规定向 +X 方向 走一步 Xi+1 = Xi +1 Fi+1 = YiXc –(Xi +1)Yc (Xi =Fi -Yc Fi<0, 若Fi<0,规定向 +Y 方向 走一步 Yi+1 = Yi +1 Fi+1 = (Yi +1)Xc -XiYc =Fi +Xc

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2.2逐点比较法第一象限直线插补 逐点比较法第一象限直线插补 2.2.4终点判别 终点判别在插补计算过程中，还有一项工作需同步进行，即终点判别，以确定 刀具是否抵达直线终点。到终点停止，否则继续作循环插补处理。 常用的判别方法有以下三种： 常用的判别方法有以下三种： 1.总步长法(双向计数) 将X方向走的步数和Y方向走的步数 加起来，作为计数长度，每走一步 减一，直到减为0停止。 Σ=|Xe|+|Ye| Σ=0插补停止

y4 2 2 3图10

E(4,2)

o

1 1

x

2.投影法(单向计数) 取X方向和Y方向最多的步数作为计 数长度，此方向每走一步减一，直 到减为0停止。 Σ=max{|Xe|,|Ye|} Σ=0插补停止

3.终点坐标法(分别计数) 将X方向和Y方向的步数分别放入两 个计数器作为计数长度，每走一步 相应的计数减一，直到X、Y都减为 0停止。 Σ1= |Xe|, Σ2 =|Ye| Σ1=0&Σ2=0插补停止

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2.2逐点比较法第一象限直线插补 逐点比较法第一象限直线插补 2.2.5实例 实例设欲加工的第一象限直线OE如右图所示， 设欲加工的第一象限直线OE如右图所示，直线起点 OE如右图所示 在原点，终点为E )。试用逐点比较法对该直 在原点，终点为E(6,4)。试用逐点比较法对该直 线进行插补，产并画出轨迹图。 线进行插补，产并画出轨迹图。O

Y 10 E 8 9 5 3 4 1 2 6 X 7

步数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

偏差判别

坐标进给 F0=0

偏差计算

终点判别 ∑=6 ∑=6+4=10 ∑=10∑=10-1=9 10 ∑=9 ∑=9-1=8 ∑=8 ∑=8-1=7 ∑=7 ∑=7-1=6 ∑=6 ∑=6-1=5 ∑=5 ∑=5-1=4 ∑=4 ∑=4-1=3 ∑=3 ∑=3-1=2 ∑=2 ∑=2-1=1 ∑=1 ∑=1-1=0

F0=0 F1<0 F2>0 F3<0 F4>0 F5=0 F6<0 F7>0 F8<0 F9>0

+X +Y +X +Y +X +X +Y +X +Y +X

F1=F0-ye=0-4=-4 F2=F1+xe=-4+6=2 F3=F2-ye=2-4=-2 F4=F3+xe=-2+6=4 F5=F4-ye=4-4=0 F6=F5-ye=0-4=-4 F7=F6+xe=-4+6=2 F8=F7-ye=2-4=-2 F9=F8+xe=-2+6=4 F10=F9-ye=4-4=0

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2.3逐点比较法第一象限圆弧插补 逐点比较法第一象限圆弧插补 2.3.1偏差判断 偏差判断我们以任意加工点Pi(Xi,Yi)与圆弧圆心的距 离同圆弧半径相比较来进行判断。即： Fi=Xi2+Yi2-R2

作为偏差函数 Fi=0,表示加工点位于圆上； 若Fi=0,表示加工点位于圆上； 若Fi>0,表示加工点位于圆外； Fi>0,表示加工点位于圆外； 若Fi<0,表示加工点位于圆内。 Fi<0,表示加工点位于圆内。

Y

B

F > 0 P 3 ( X 3 , Y 3) P 1 ( X 1 , Y 1)

P 2 ( X 2 , Y 2) F<0 R

A O Y B 图11 X

F > 0 P 3 ( X 3 , Y 3) P 1 ( X 1 , Y 1)

P 2 ( X 2 , Y 2) F<0 R

2.3.2坐标进给 坐标进给O

A 图12 X

若为逆圆， 若为逆圆，即A-B,则 Fi>=0, 方向进一步； 若Fi>=0,向-X方向进一步； Fi<0, +Y方向进一步 方向进一步。 若Fi<0,向+Y方向进一步。

若为顺圆， 若为顺圆，即B-A,则 Fi>=0, 方向进一步； 若Fi>=0,向-Y方向进一步； Fi<0, +X方向进一步 方向进一步。 若Fi<0,向+X方向进一步。

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2.3逐点比较法第一象限圆弧插补 逐点比较法第一象限圆弧插补 2.3.3偏差计算 偏差计算逆圆插补 F≥0,规定向若F≥0,规定向-X方向走一步 若F<0,规定向+Y方向走一步 F<0,规定向+Y方向走一步 +Y 顺圆插补 F≥0,规定向若F≥0,规定向-Y方向走一步 F<0,规定向+X +X方向走一步 若F<0,规定向+X方向走一步 X i +1 = X i 1 2 2 2 Fi +1 = ( X i 1) + Yi R = Fi 2 X i + 1 Yi +1 = Yi + 1 2 2 2 Fi +1 = X i + (Yi + 1) R = Fi + 2Yi + 1 Yi +1 = Yi 1 2 2 2 Fi +1 = X i + (Yi 1) R = Fi 2Yi + 1

X i +1 = X i + 1 2 2 2 Fi +1 = ( X i + 1) + Yi R = Fi + 2 X i + 1

2.3.4终点判别 终点判别

双向计数：Σ=|Xb-Xa|+|Yb-Ya|,Σ=0停止 单向计数：Σ=max{|Xb-Xa|,|Yb-Ya|},Σ=0停止 分别计数：Σ1=|Xb-Xa|,Σ2=|Yb-Ya|,Σ1&Σ2=0停止

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2.3逐点比较法第一象限圆弧插补 逐点比较法第一象限圆弧插补 2.3.5实例 实例

Y4

8 B

7 6 5 4 3 2 1 A

对于第一象限圆弧AB,起点A ),终点 终点B 对于第一象限圆弧AB,起点A(4,0),终点B(0, AB 利用逐点比较法进行圆弧插补。 4),利用逐点比较法进行圆弧插补。 O步数 起点 1 2 3 4 5 6 7 8 F 0 =0 F 1 <0 F 2 <0 F 3 <0 F 4 >0 F 5 <0 F 6 >0 F 7 <0 -x +y +y +y -x +y -x -x 偏差判别 坐标进给 F 0 =0 F1=F0-2x0+1 =0-2*4+1=-7 F2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6 F3=F2+2y2+1=-3 F4=F3+2y3+1=2 F5=F4-2x4+1=-3 F6=F5+2y5+1=4 F7=F6-2x6+1=1 F8=F7-2x7+1=0 偏差计算 坐标计算 x 0 =4, y 0 = 0 x1=4-1=3 y 1 =0 x 2 =3 y2=y1+1=1 x 3 =4, y 3 = 2 x 4 =3, y 4 = 3 x 5 =4, y 5 = 0 x 6 =4, y 6 = 0 x 7 =4, y 7 = 0 x 8 =4, y 8 = 0

4 终点判别 Σ=4 Σ=4+4=8 Σ=8 Σ=8-1=7 Σ=7 Σ=7-1=6 Σ=5 Σ=5 Σ=4 Σ=4 Σ=3 Σ=3 Σ=2 Σ=2 Σ=1 Σ=1 Σ=0 Σ=0

X

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2.4逐点比较法的速度分析 逐点比较法的速度分析逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲，就进给一步， 逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲，就进给一步，不是发 为脉冲源频率(Hz) (Hz), 向X轴，就是发向Y轴，如果fg为

脉冲源频率(Hz),fx,fy 分别为X 轴进给频率(Hz) (Hz), 轴和Y轴进给频率(Hz),则

fg = fx + f y

从而X轴和Y轴的进给速度 (mm/min) 为

v x = 60δf x

v y = 60δf yf x2 + f y2

为脉冲当量(mm/脉冲) (mm/脉冲 δ 为脉冲当量(mm/脉冲)Vy V

XY合成的进给速度为 XY合成的进给速度为

v = v x 2 + v y 2 = 60δ

α

Vx

fx=0或fy=0时 刀具沿平行于坐标轴的方向切割， 当fx=0或fy=0时，刀具沿平行于坐标轴的方向切割，这时对应切削速度 最大，称为脉冲源速度， 最大，称为脉冲源速度，即 v g = 60δf g = v x + v y 合成进给速度与脉冲 源速度之比为： 源速度之比为：vx2 + v y2 vx + v y vx2 =2

v = vg

1 v v2 = vx + v y sin α + cos α v

+

vy2

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2.4逐点比较法的速度分析 逐点比较法的速度分析根据前面的式子， 根据前面的式子，程编进给速度确定了脉冲源频率fg后，实际获 与角度有关。 得的合成进给速度V并不总等于脉冲源的速度Vg,与角度有关。插补直 线时， 轴的夹角；插补圆弧时， 线时，为加工直线与X轴的夹角；插补圆弧时，为圆心与动点连线和X 轴夹角。 随而变化的曲线。如下图所示， 轴夹角。根据上式可作出v/vg随而变化的曲线。如下图所示， g=0.707V/Vg=0.707-1,最大合成进给速度与最小合成进给速度之比为 min=1.414,一般机床来讲可以满足要求， Vmax/Vmin=1.414,一般机床来讲可以满足要求，认为逐点比较法的进 给速度是比较平稳的。 给速度是比较平稳的。 V/Vg 1.0 0.707

0 0° 45°图13

90°

α

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2.5逐点比较法插补象限处理 逐点比较法插补象限处理顺圆 逆圆

(1)分别处理法 四个象限的直线插补，会有4组计算公式，对于4 四个象限的直线插补，会有4组计算公式，对于4个象限的逆时针圆弧插 补和4个象限的顺时针圆弧插补，会有8组计算公式。 补和4个象限的顺时针圆弧插补，会有8组计算公式。 (2)坐标变换法 用第一象限逆圆插补的偏差函数进行第三象限逆圆和第二、 用第一象限逆圆插补的偏差函数进行第三象限逆圆和第二、四象限顺圆 插补的偏差计算， 插补的偏差计算，用第一象限顺圆插补的偏差函数进行第三象限顺圆和 第二、四象限逆圆插补的偏差计算。 第二、四象限逆圆插补的偏差计算。

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谢谢各位领导、老师！

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