光电子技术_ch3激光原理2

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光电子技术Optoelectronics Technique

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3.3激光器基本结构及输出 Ch.3激光原理谐振腔模式谐振腔纵模

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3.3激光器基本结构及输出 Ch.3激光原理谐振腔横模综合腔中的场的纵模和横模的概念，用符号TEMmnq表示谐振腔中的场的特征。符号TEM表示腔中的场是横电磁波；符号q表示轴向驻波节点数目(严格讲为波节点数一),一个q值代表一个轴向模；符号mn表示横向驻波波节的数目，它由腔镜面上的场分布来确定。不同的mn的值，表示不同的横模，即有不同的模式花样。通常也用符号TEMmn表示不同的横模。例如m=n=0的模，即TEM00q或TEM00模表示最低阶横模，亦称基模。

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5.横模产生的物理原因

开腔模式形成的定性解释

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6.横模-横向场分布(表现为不同光斑花样)(1)x, y轴对称 TEMmn m-X向暗区数 n-Y向暗区数

TEM00

TEM10

TEM20

TEM03

TEM11

TEM31

(2)旋转对称 TEMmn

m-暗直径数；n-暗环数(半径方向)

TEM00

TEM01

TEM02

TEM10

TEM20

TEM30

基(横)模 TEM00 光斑轴对称或旋转对称分布取决于腔镜的几何形状 增益介质的不均匀或腔内插入其它光学元件(布氏窗、反射镜等)会破坏腔的旋转对称性，出现轴对称横模。

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§2.3开腔衍射理论分析方法一、衍射理论的基本出发点与自再现概念 1.惠更斯--菲涅尔衍射原理及基尔霍夫衍射积分

ik u x, y 4

s

e ik 1 cos d s u x , y 各子波源发出的球面波倾斜因子

S曲面上光场分布函数

从普遍的电磁场理论推导衍射积分公式参见朱如曾“激光原理”P.446

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2.自再现模概念 P’

P(x,y)

M1U1(x1, y1) U3(x3,y3)

M2U2(x2, y2)

u j x , y

u j 1 x , y

往返次数足够多时,除表示振幅衰减和相移的常数因子外, Uj+1能再现Uj

Uj(xj, yj) Uj+1(xj+1, yj+1)

自再现条件

U

j 1

场分布不变-再现

x, y U x, y 1j

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衍射积分公式 自再现概念

光腔中的衍射场自洽积分方程

二.光腔中的衍射场自洽积分方程 ik e ik u 2 x, y u 1 x , y 1 cos d s 4 s

ik u j 1 x, y 4

u x , y 1 cos d s j s

e ik

……..

……..

自再现模积分方程

ik V x, y 4

e ik V x , y 1 cos d s

开腔中稳态场分布函数

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自再现模积分方程 (自洽积分方程)V x, y L x, y

ik 4

V x , y

1 cos e

ik

ds

L, cos 1 1 cos 2 L

i V x, y L

V x , y e ik x

, y, x , y d s

V x, y K x, y, x , y x , y d s (2.3.6) V

i ik x, y, x , y 其中 K x, y, x , y e L 求出V(x,y)开腔振荡模的场分布

-积分方程的核

适用任何对称光腔(平行平面，共焦，一般球面镜腔)求解积分方程

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三、自再现模积分方程的解法 1.解析解： -对称共焦腔才能得到解析解方形镜共焦腔圆形镜共焦腔精确解长椭球函数超椭球函数近似厄米~高斯函数拉盖尔~高斯函数

其它稳定球面镜腔可通过“等价”对称共焦腔求得

2.数值解 (数值迭代法)振幅2a 2a 2a 2a

300次迭代结果

...相位

…...详见图2.4.1

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四、自再现模积分方程的解的物理意义 i ik x, y, x , y V x, y ds V x , y e L本征函数本征值

1.本征函数形式

V mn x, y A mn x, y e i mn x, y 横模)

Vmn x, y -镜面上场分布函数 (本征函数

Amn x, y -镜面上振幅分布

mn x, y -镜面上场的相位分布一般球面镜腔得不到解析解，唯有对称共焦腔有精确解

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2.本征值 -复常数

mn mn e设 e i

i mn

-传输因子

与 D有关

u j 1 2

1

2

uj 2

u j 1 e u j e i 单程模振幅的衰减相移

D

umnj umnj 1 umnj2

1 e

1

1

mn

2

D-光场在腔中渡越一次的相对功率损耗-单程损耗 mn -量度自再现模的单程损耗,不同横模有不同的 D mn 模的单程损耗

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3.单程相移 mn-自再现模在腔内渡越一次的总相移

mn arg u j 1 arg u j mn arg1

e几何相移

i

u j 1

1

uj

mn kL

2 L

附加相移

根据谐振条件 mn q 当 mn得知,可求得模的谐振频率

§2.5方形镜对称共焦腔的自再现模YR1

x

Y

+a

L a +a

2aR2

-a

0

X

a2 L L a

2

f

-a

L

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分离变量法

V x, y

i L

V x , y e ik x, y,x , y d s a

V x, y V x V y

V y

V x x a K x x, x V x d x y a

a

K x y, y V y d y

i ik x, y,x , y K x, y, x , y e? K x, y, x , y K x, x K y, y L x, y, x , y x x, x y y, y ? x x 2 y y 2P1 P

2 L P’2 P2(x’,y’)

2L

2L

a

x2 y2 P1 P1 1 2R1

P’1

P1(x,y)

L

x2 y2 P2 P2 2 2R2 p1 p2 p1 p1 p2 p2

对称共焦腔

R1 R2 R L

x, y, x , y L

1 x x y y L

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i V x, y L方形共焦腔

s

V x , y e ik x, y, x , y d s L x x y y L

P.45

xx yy a a ik i ikL L V mn x, y mn e d x d y V mn x , y e L a a

分离变量V mn=Fm(X)Gn(Y)

X

c x, a

Y iX X

c y a

c 2 N c

mn

1

ie ikL m n Fm X G n Y 2

m n

c

c

Fm X e

d X c G n Y e iY Y d Y (2.5.4)

Y方向和X方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程

ie ikL m Fm X 2

c

c

Fm X e iXX d X c c

n F n Y

ie ikL 2

F n Y e iY Y d Y

(2.5.6)

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ie m F m X 2 ie n G n Y 2 1 ikL

ikL

1 2

c c

F m X e iX X d X

1 2

c c

G n Y e iY Y d Y

(2.5.6)

精确解：采用类比法2 i R 0 m c,1 S 0 m c, t m

长椭球函数系e ict t S 0 m c, t d t (2.5.11) 1 1

1

径向长椭球函数

角向长椭球函数

(m=0, 1, 2….)

X Y V mn x, y F m X G n Y S 0 m c, S0n c, c c

X x Fm X S0m c, S0m c, c a

Y y Gn Y S0n c, S0 n c, c a

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本征函数-角向长椭球函数镜面上场的振幅、相位分布X Y V mn x, y F m X G n Y S 0 m c, S0n c, c c X x Fm X S 0 m c, S0m c, c a Y y G n Y S 0 n c, S0n c, c a

本征值-径向长椭球函数决定模的相移和损耗 ie m F m X 2 m ikL

1 2

c c

F m X e iX X d X

2 i R 0 m c,1 S 0 m c, t 1 1

e ict t S 0 m c, t d t 1 1

径向长椭球函数

角向长椭球函数

(2-5-11)

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本征值-径向长椭球函数决定模的相移和损耗 m m n n

m n ie ikL2c

2c

i m R 0 1m c,1 i n R 0 1n c,1

m

2

i 2i

m

ie c R 0 m c,1 2 1

ikL

1 2

n

n

c R0n

1

1

ie c,1 2

ikL

1 2

mn

m n

m n 4 Ne

i kL m n 1 2

( ( R 01 ) ( c,1) R 01 ) ( c,1) m n

R 0( 1 ) ( c,1 ), R 0( 1 ) ( c,1 )均为实函数 m n

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二、厄米~高斯函数 -近似解近似解 -长椭球函数的特殊情况近似条件：模场分布集中在镜面中心附近 x, y<< a菲涅尔数较大 c c ikL

C=2 N 1

ie m Fm X 2

1 2

c c

F m X e

iX X

dX

......

d 2 Fm X X 2 Fm X 0 dX 2

线性谐振子的薛定锷方程参见激光物理学邹英华孙陶亨编写

X ,Fm(X) 0时，此方程解为厄米-高斯函数

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8ahq.html