整式全章教案 - 图文

第十五章 整式

八年级数学（上）

郭 李 霞

临汾一中 2005-10-28

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§15．1 整式

第一课时

教学目标 （一）教学知识点

1．单项式、单项式的次数． 2．多项式、多项式的次数． （二）能力训练要求

1．能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，?让学生经历具体问题的探索过程，培养符号感．

2．理解单项式、多项式及其次数概念，进而理解整式概念． （三）情感与价值观要求

通过丰富多彩的现实情景，让学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心． 教学重点

单项式及多项式的有关概念． 教学方法

讲授与自主探索相结合的方法．

在学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式作用的基础上，教师进行启发式讲解，使学生掌握整式的有关概念． 教具准备 投影片． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]在七年级，同学们已经学习了用字母可以表示数，请同学们考虑下列问题． 1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？ 2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？

[生]1．要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC?的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，?那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为 2．小王的平均速度是

1·c·h． 2S． t [师]这些式子有什么特征呢？ [生1]有数字、有表示数字的字母．

[生2]数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．

[师]很好．像父母给你们起名字一样，我们也给它起个名子，叫代数式．

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用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．

同学们可以用定义判断一下，我们上面得到的三个式子：a+b+c、ch、是不是代数式？ [生]是．

[师]代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式． Ⅱ．明确和巩固整式有关概念

（出示投影） 思考： 先填空，再看看列出的代数式有什么特点． （1）边长为x的正方形的周长为_________； （2）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为_______千米． （3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________； （4）设n表示一个数，则它的相反数是________． [师生共析]

（1）正方形的周长：4x． （2）汽车走过的路程：vt．

（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，?所以它的表面积为6a；正方体的体积为长×宽×高，即a． （4）n的相反数是－n．

[师]请同学们分析这四个数的特征． [生]它们是代数式．

[师]不错，符合代数式的定义．与a+b+c、呢？请分组讨论． 讨论分析：4x=4·x

vt=v·t 6a2=6·a·a a3=a·a·a -n=-1·n

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3

2

12St1Sch、这三个代数式比较有没有特别之处2t 可以发现这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、商的运算符号．

1Sch、中还有和与2t 还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同． 它是不是一个特殊的代数式呢？

[师]请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念． （出示投影）

都是数字或字母的积的代数式叫做单项式． 单独的一个数或一个字母也是单项式． 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、式？是单项式的，写出它的系数和次数．

1Sch、这些代数式中，哪些是单项2t11ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它221们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、?ch都是二

2 [生]4x、vt、6a2、a3、-n、次单项式；a3是三次单项式．

[师]vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？

[生]不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式． [师]你讲得太棒了，老师深受教育，希望同学们一定搞清概念的实质． 生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？ （出示投影）

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[生]（1）t-5．（2）3x+5y+2z．

（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.14r2．

（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18． 我们可以观察下列代数式：

a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？ [师]这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．

几个单项式的和叫做多项式． 多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项． 多项式中次数最高的项的次数即这个多项式的次数． （4）图（2）是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是_________米2． 思考： 先填空，再看看列出的代数式有什么特点． （1）温度由t℃下降5℃后是________℃； （2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3?个篮球、5个排球、2个足球共需要________元． （3）如图（1），三角尺的面积为（?取3.14）_________； 1212根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．

[生1]a+b+c的项分别是a、b、c．

t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．

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12

3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z． ab-3.14r2的项分别是ab、-3.14r．

2

1212 x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．

[生2]找多项式的次数我认为应抓住两条，一是找准每个项的次数，?二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．

[师]很好，你找准了概念的实质所在，解决问题就得心应手了，值得大家学习． 这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式． Ⅲ．随堂练习 1．课本P162练习 2．补充练习

（1）下列说法正确的是（ ）

A．单项式A的系数是0 B．单项式a的次数是0 C．

1是单项式 D．1是单项式 a （2）关于2×103·a，下列说法中正确的是（ ） A．系数是2，次数是1 B．系数是2，次数是4 C．系数是2×103，次数是0 D．系数是2×103，次数是1

（3）已知出租汽车行驶3千米以内（包括3千米）的车费是7元，以后每行驶1千米，?再加1元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥3），则车费是（ ） A．（7+m）元 B．（4+m）元 C．（7-m）元 D．（3+m）元 （4）下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些不是整式？ -2a2，

4x21b1xy，（m-n），0，，1+，x2++1，x．

y353x （5）写出系数是

1，含有字母a、b、c的五次单项式． 24x21b1xy，0，x；单项式：（m-n），1+；不是整式：，x2++1．

y353x 解：（1）D （2）D （3）B （4）单项式：-2a2，

（5）

1311111abc，a2b2c，a2bc2，ab2c2，ab3c，abc3． 222222 Ⅳ．课时小结

通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，?发展符号感．

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Ⅴ．课后作业

1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”． Ⅵ．活动与探究

1．10个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，问这个图形的表面积是多少？

过程：只要能搞清这个图形共有多少个能看见的正方形即可解决问题． 方法一：数一数．

方法二：找规律，前、后、左、右、上每面都有六个看得见的正方形，所以共有30个正方形．于是得这个图形的表面积是30a2． 结果：30a2．

2．xn+1-2xn+xn-1是四次三次式，则单项式（n2-2）xn-1yn+1的系数、次数分别是多少？ 过程：xn+1-2xn+xn-1是四次三项式，xn+1、-2xn、xn-1中xn+1的次数最高，是n+1，所以n+1=4．解得n=3．把n=3代入单项式（n2-2）xn-1yn+1，得7x2y4，?于是可以确定这个单项式的系数是7，次数是6．

结果：根据题意得n+1=4，所以n=3． 把n=3代入（n2-2）xn-1yn+1得单项式7x2y4． 所以此单项式的系数是7，次数是6．

板书设计

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§15．1．1 整式 1．单项式：数和字母的积的代数式 ①单项式的系数：单项式中的数字因数． ②单项式的次数：单项式中所有字母的指数和． ③单独一个数和一个字母也是单项式． 2．多项式：几个单项式的和 ①多项式的项：（常数项） ②多项式的次数：次数最高项的次数． ?单项式3．整式? 多项式?4．随堂练习

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§15．2． 同底数幂的乘法

教学目标

（一）教学知识点

1．理解同底数幂的乘法法则．

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． （二）能力训练要求

1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．

2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，?使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．

（三）情感与价值观要求

体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神． 教学重点

正确理解同底数幂的乘法法则． 教学难点

正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 教学方法

透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力． 教具准备

投影片（或多媒体课件）． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境 复习an的意义：

an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，?n是指数．

（出示投影片）

提出问题： （出示投影片）

问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数=运算速度×工作时间

所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103．

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[师]1012×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知

1012×103=(10?????10)=1015． ???10)×（10×10×10）=(10?10???????12个10???????15个10 [师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法． Ⅱ．导入新课 1．做一做 出示投影片：

你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．

[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2） =27=25+2．

因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2．

5m·5n= (5?5?????5)×(5?5?????5)=5m+n．

计算下列各式： （1）25×22 （2）a3·a2 （3）5m·5n（m、n都是正整数） ??????????m个5n个5 （让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）． [生]我们可以发现下列规律：

（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．

（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 出示投影片

am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？

[师生共析]

am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：

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am·an=(a?a????a)·(a?a????a)=a?a????a=am+n

???????????????m个an个a(m+n)个a 于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．

[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．

[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n．

[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加． 3．例题讲解 出示投影片

[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？

[生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则． [生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．

[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，?看谁算得又准又快． 生板演：

（1）解：x2·x5=x2+5=x7． （2）解：a·a6=a1·a6=a1+6=a7．

（3）解：2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28． （4）解：xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．

[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？?与同伴交流一下解题方法． 解法一：am·an·ap=（am·an）·ap =am+n·ap=am+n+p；

解法二：am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p．

[例1]计算： （1）x2·x5 （2）a·a6 （3）2×24×23 （4）xm·x3m+1 [例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？ a????a·a?a????a·a?a????a 解法三：am·an·ap=a????????????????m个an个ap个a =am+n+p．

评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；?解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神． [生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，?就一定是底数不变，指数相加．

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[师]是的，能不能用符号表示出来呢？ [生]am1·am2·?·amn=am1+m2+mn

[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了． 2×24×23=21+4+3=28． Ⅲ．随堂练习 出示投影片

1．解：（1）b5·b=b5+1=b6． （2）10×102×103=101+2+3=106．

（3）-a2·a6=（-1）·（a2·a6）=（-1）·a2+6=（-1）a8=-a8． （4）y2n·yn+1=y2n+n+1=y3n+1．

2．解：（1）×．因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，?即x3·x5=x8．

（2）×．x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4． （3）×．x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，?同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算． （4）×．x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2·x2=x2+2=x4． （5）∨．

（6）∨．因为a3·a2-a2·a3=a5-a5=0．

（7）×．a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同．

（8）×．y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+?y7=2y7． Ⅳ．课时小结

[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，?请同学们谈一下有何新的收获和体

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1．课本P166练习：计算 （1）b5·b （2）10×102×103 （3）-a2·a6 （4）y2n·yn+1 2．补充练习： 判断（正确的打“∨”，错误的打“×”） （1）x3·x5=x15 （ ） （2）x·x3=x3 （ ） （3）x3+x5=x8 （ ） （4）x2·x2=2x4 （ ） （5）（-x）2·（-x）3=（-x）5=-x5 （ ） （6）a3·a2-a2·a3=0 （ ） （7）a3·b5=（ab）8 （ ） （8）y7+y7=y14 （ ） 会呢？

[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．

[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，?我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m、n是正整数）． Ⅴ．课后作业

1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8． 2．计算：

（1）a3·a4 （2）x3·x （3）y5·y3 （4）105·10·103 （5）x7·x·xn （6）y·y2·y3·y4

3．利用同底数幂相乘的性质进行计算与利用幂的意义进行计算相比较，处？（化幂的乘法运算为指数的加法运算） Ⅵ．活动与探究

计算（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m-4 （2）（x-y）2·（y-x）5

过程：①可以把2a+b、x-y看作一个整体． ②（x-y）2=（y-x）2·（y-x）5=-（x-y）5

③同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

所以（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m-4 =（2a+b）2n+1+3+m-4 =（2a+b）2n+m； （x-y）2·（y-x）5 =（y-x）2·（y-x）5

=（y-x）2+5

=（y-x）7．

结果：（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3（2a+b）m-4=（2a+b）2n+m． （2）（x-y）2·（y-x）5=（y-x）7． 板书设计

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有什么简便之? §15．2．1 同底数幂的乘法 一、计算机运算次数：1012×103 计算1012×103=(10?10?????10)×（10×10×10）=10??10??????10=10 ????????????12个1015个10 二、算一算，找规律 1．25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2） =(2?2?????2)=27； ???????7个2 2．a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a=a5； 3．5m·5n=(5?5?????5)×(5?5?????5)=5?5???????5=5m+n ?????????????m个5n个5(m+n)个5 三、同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·an=am+n（m、n都是正整数） 四、例题讲解：（由学生板演）

五、小结

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积的乘方

（一）教学知识点

1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义． 2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题． （二）能力训练要求

1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力． 2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力． （三）情感与价值观要求

在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美． 教学重点

积的乘方运算法则及其应用． 教学难点

幂的运算法则的灵活运用． 教学方法

自学─引导相结合的方法．

同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做基础，本节课可放手让学生自学，教师引导学生总结，从而让学生真正理解幂的运算方法，能解决一些实际问题． 教具准备 投影片． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，?你能计算出它的体积是多少吗？

[生]它的体积应是V=（1.1×103）3cm3． [师]这个结果是幂的乘方形式吗？

[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，?我认为应是积的乘方才有道理．

[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？?有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒． Ⅱ．导入新课

老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．

出示投影片

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1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？ （1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( ) （2）（ab）3=______=_______=a( )b( ) （3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数） 2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达． 3．解决前面提到的正方体体积计算问题． 4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法． 5．完成课本P170例3．

学生探究的经过：

1．（1）（ab）2 =（ab）·（ab）= （a·a）·（b·b）= a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．?同样的方法可以算出（2）、（3）题．

（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3； （3）（ab）n=(ab)?(ab)?????(ab)=(a?a?????a)·(b?b?????b)=anbn

???????????????????n个abn个an个b 2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积． 用符号语言叙述便是： （ab）n=an·bn（n是正整数）

3．正方体的体积V=（1.1×103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算： V=（1.1×103）3=1.13×（103）3=1.13×103×3=1.13×109=1.331×109（cm3） 通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则： （ab）n=an·bn（n为正整数）

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即： an·bn=（ab）n（n为正整数）

分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：

同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．

看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算． 对于an·bn=（a·b）n（n为正整数）的证明如下：

a?????a)·(b?b?????b)──幂的意义 an·bn=(a???????????n个an个bb)?(a?b)?????(a?b)──乘法交换律、结合律 =(a??????????n个(a?b) ＝（a·b）n ──乘方的意义

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5．[例3]计算

（1）（2a）3=23·a3=8a3．

（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．

（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4． （4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．

（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，?使各个层面的学生都能学有所获）

[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．?可以作如下归纳总结：

1．积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an·bn（n为正整数）． 2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）n=an·bn·cn（n为正整数）．

3．积的乘方法则也可以逆用．即an·bn=（ab）n，an·bn·cn=（abc）n，（n为正整数）． Ⅲ．随堂练习 1．课本P170练习 [生]解：（1）（ab）4=a4·b4

（2）（-2xy）3=（-2）3·x3·y3=-8x3y3

（3）（-3×102）3=（-3）3×（102）3=-27×106 （4）（2ab2）3=23·a3·（b2）3=8a3b6． 2．出示投影

（由学生板演或口答）

1．解：（1）（-3n）3=（-3）3·n3=-27n3；

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1．计算： （1）（-3n）3；（2）（5xy）3；（3）-a3+（-4a）2a． 2．判断题 （1）（ab）4=ab4 （ ） （2）（3ab2）2=3a2b4 （ ） （3）（-x2yz）2=-x4y2z2 （ ） 222424xy）=xy （ ） 3311 （5）（-a2bc3）2=a4b2c6 （ ） 247373 （6）（-）5（）5=（-×）5=-1 （ ） 3737 （4）（ 3．不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？ 22×3×52，24×32×53 （2）（5xy）3=53x3y3=125x3y3；

（3）-a3+（-4a）2a=-a3+（-4）2a2a=-a3+16a3=15a3．

2．（1）×，积的乘方的运算性质是每个因式分别乘方的积，即（ab）4=a4b4； （2）×，应为（3ab2）2=32a2（b2）2=9a2b4； （3）×，应为（-x2yz）2=（-1）2（x2）2y2z2=x4y2z2； （4）×，应为（

22224xy）=（）2x2（y2）2=x2y4； 339 （5）∨ （6）∨ 3．解：22×3×52

=（22×52）×3 ──乘法交换律、结合律 =（2×5）2×3 ──积的乘方运算性质逆用 =3×102=300；

24×32×53=（23×2）×32×53 ──同底数幂乘法逆用 =（23×53）×（2×32） ──乘法运算律 =（2×5）3×2×9 ──积的乘方运算性质逆用 =18000．

补充例题，加深巩固．

[例]已知10m=4，10n=5．求103m+2n的值．

[师生共析]要求103m+2n的值，需将103m+2n用10m与10n来表示，所以要逆用同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则．

解答：103m+2n=103m·102n=（10m）3·（10n）2=43×52=64×25=1600．

方法总结：①公式的逆用是数学解题中的一个重要的方法．如本题先逆用幂的乘法，即

n

am+n=am·an；后逆用幂的乘方，即am·=（an）m；②值得注意的是：?有的同学容易将同底数幂

的乘法混淆为“加法”，而错解为103m+2n=103m+102n，也可能与幂的乘方性质混淆而错解为103m+2n=（103m）2n． Ⅳ．课时小结

[师]通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？

[生]通过自己的努力，探索总结出了积的乘方法则，还能理解它的真正含义． [生]其实数学新知识的学习，好多都是由旧知识推理出来的．我现在逐渐体会到温故知新的深刻道理了．

[生]通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用． Ⅴ．课后作业

1．课本P175习题15．2─1．（5）、（6），2，3题． 2．总结我们学过的三个幂的运算法则，反思作业中的错误． 3．预习“15．2．4 整式的乘法”一节． Ⅵ．活动与探究

若2a=3，4b=6，8c=12，试确定a、b、c之间的数量关系式．

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过程：可以发现3×12=62，所以

2a·8c=（4b）2，这是一个有关幂相等的式子．所以，尝试化为同底数幂． 因为8=23，4=22

所以2a·8c=2s·（23）c=2a·23c=2a+3c． （4b）2=42b=（22）2b=24b 所以2a+3c=24b 于是得a+3c=4b． 结果：a+3c=4b． 板书设计

§15．2．3 积的乘方 一、自学提纲 二、积的乘方法则 1．积的乘方等于每一个因数乘方的积，即（ab）n=an·bn（n为正整数）． 2.(abc)n?anbncn(n为正整数)?? 3.anbn?(ab)n??概念扩展 ?(n是正整数)?nnnn?abc?(abc)??? 三、闯关练习（学生口答或板演） 四、例题讲解： 103m+2n=103m·102n=（10m）3·（10n）2=43×52=64×25=1600． 五、小结

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整式的乘法（一）

教学内容 §1.6 整式的乘法（一） 知识与技能目标 1、 经历探索单项式与单项式相乘运算法则的过程，会进行单项式与单项式相乘的运算； 2、 理解单项式与单项式相乘的算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想。 教学目标 过程与方法目标 1、 发展有条理的思考和语言表达能力； 2、 培养学生转化的数学思想。 情感与态度目标 在探索单项式与单项式相乘的过程中，利用乘法的运算律将问题转化，使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣。 教学重点 单项式与单项式相乘的运算法则及其应用。 教学难点 灵活地进行单项式与单项式相乘的运算。 教学方法 引导—发现法 教学用具 多媒体课件 教 学 过 程 教师活动环节 学生活动环节 设计意图 一、引导回顾 搭建桥梁 一、参与回顾 简单回顾所学的有关幂的运算同底数幂的乘法 温故而知新 性质。 幂的乘方与积的乘方 同底数幂的除法 二、创设情境 诱发主动 二、投入情境 为支持将就申办奥运会，一位画家 由生活中的具体问设计了一幅长6000米，名为“奥运 题引出数学问题。进龙”的宣传画，受他启发，京京用 一步加强学生的对两张同样的大小的纸精心制作了两 数学的兴趣 幅，第一幅画的画面大小与纸的大 小相同，两边长分别为x米，mx米，(1) x·(mx)米2 3第二幅的画面在纸的上、下方各留(2) (mx)?(x)米2 14有x的空白。 8(1)第一幅画的画面面积是多少平方米？ (2)第二幅画的画面面积是多少平方- 20 -

米？ 三、引入课题 激发探究 三、主动探究 想一想： 运用乘法交换律、乘法 以上的答案是不是最简？若不结合律、同底数幂的运是，可以改进么？如何改进？ 算性质能得出： 3 mx2 ，mx2 4 四、诱向深入 拓展思维 四、深入思考 类似的，3a2b·2ab3，(xyz)·y2z可以3a3b4 ，xy3z2 表达得更简单些么？ 1、 系数与系数相乘 以上所进行的正是单项式与单项式2、 同底数幂与同底数的 乘法运算，那么如何来进行这幂相乘 样的运算呢？ 3、其余字母及其指数不变作为积的因式 五、展示应用 评价自我 五、展示能力 做一做： 学生到黑板演示，之后 1??(1)?2xy2???x2y? 师生共同评定正确答3??案。 (2)(?2a3b2)?(?3b) (3)(3?105)(5?103) 注意点： 1、 任何一个因式都不可丢掉； 2、 结果仍是单项式； 学生到黑板演示，之后 3、 要注意运算顺序。 师生共同评定正确答课本P23随堂练习。 案。并提醒注意点 六、链接知识 归纳小结 六、建构体系 小结： 单项式与单项式相乘的运算法则及应用 七、知识留恋 课后韵味 七、应用品味 布置作业： 课本P24习题1.8 《数学同步探究》练- 21 -

对一个问题的改进 进行更深入的探讨，学会总结运算中的规律 展示自我，有错纠之 无则加勉 习 八、拓展升华 教学反馈和札记 . 梯形的下底长(2a?b)，上底长是 由生活中的具体问题高比下底长少b，求梯形的(a?b)，引出数学问题。 面积。 进一步加强学生的对 解：由题意可得梯形的高是2a 数学的兴趣。 梯形的面积1?[(a?b)?(2a?b)]?2a 2 ?(3a?2b)a?(3a?2ab)2 答：梯形的面积为3a2?2ab。

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整式的乘法（二）

教学内容 §1.6 整式的乘法（二） 知识与技能目标 1、经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行单项式与多项式的乘法运算； 2、理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化思想的作用。 教学目标 过程与方法目标 1、发展有条理思考和语言表达能力； 2、培养学生转化的数学思想。 情感与态度目标 在探索单项式与多项式相乘的乘法法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和勇气 教学重点 单项式与多项式相乘的乘法法则及其应用。 教学难点 灵活运用单项式与多项式相乘的乘法法则。 教学方法 引导探索法 教学用具 多媒体课件 教 学 过 程 设计意教师活动环节 学生活动环节 图 一、引导回顾 搭建桥梁 一、参与回顾 复习单项式与单项式的乘法运算法则及其注意3、系数与系数相乘 点。 4、同底数幂与同底数幂温故而 相乘 知新 练一练： 3、其余字母及其指数不变作为积的因式 (1)(?0.25x2)?(?4x) 注意点： 4、任何一个因式都不可(2)(2.8?103)?(5?102) 丢掉； 5、结果仍是单项式； (3)(?3x)2?(2xy2) 6、要注意运算顺序。 学生到黑板演示，之后 师生共同评定正确答案 二、创设情境 诱发主动 二、投入情境 帮助学议一议： 记下重要数据 生养成- 23 -

小宁也作了一幅画，所用纸的大小与京京的相同，1好在纸的左右两边各留了x米的空白。 8三、引入课题 激发探究 三、主动探究 11提出问题： x(mx?x)?mx2?x2 （1）这幅画的画面面积是多少？（用两种方法。 44（2）观察所计算的整式的特点总结单项式与多项式单项式与多项式相乘，就相乘的乘法法则。 是根据分配律用单项式去乘多项式的各项，然后再把所得的积相加 四、诱向深入 拓展思维 四、深入思考 做一做： (1)3ab(5a2b3?4a3b4) 学生到黑板演示，之后 师生共同评定正确答案 ?23?1(2)?ab?2ab??ab 32?? 注意点： 1、结果仍是多项式，项数不变 2、要特别注意符号； 3、要注意运算顺序。 五、展示应用 评价自我 五、展示能力 练一练： 板演 (1)(?4x)(3x?1) (2)(?2a2)(ab?b2)?5a(a2b?ab2) 六、链接知识 归纳小结 师生共同小结： 七、知识留恋 课后韵味 布置作业： 八、课后反思 总结升华 良好科学研究的习惯 用两种方法体现这咱乘法的科学性 在对所学知识有更深入一步的理解，明白注意点 在练中巩固 六、建构体系 单项式与多项式相乘的运算法则及应用 七、应用品味 课本P26习题1.9 已知(x2?mx?8)(x2?3x?n)展开后不含x2和x3的分析：展开后不含x2和项，求m、n的值。 x3的项，即把两个多项- 24 -

解：(x2?mx?8)(x2?3x?n) ?x4?3x3?nx2?mx3?3mx2?mnx?8x2?24x?8n?x?(?3?m)x?(n?3m?8)x?(mn?24)x?8n??3?m?0 由题意得：? ?n?3m?8?0?m?3 解关于m、n的方程组，得? n?1?432式相乘，并把所得积中的同类项合并后，结果中 x2和x3的项的系数等于0。

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整式的乘法（三）

教学内§1.6 整式的乘法（三） 容 知识与技能目标 1、经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行简单的多项式与多项式相乘运算； 2、理解多项式与多项式相乘运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想。 教学目过程与方法目标 标 1、发展有条理的思考及语言表达能力； 2、培养学生转化的数学思想。 情感与态度目标 在体会乘法分配律的转化思想的过程中，获得成就感，培养学习数学的兴趣和信心 教学重多项式与多项式相乘的法则及应用 点 教学难灵活地进行整式乘法的运算 点 教学方活动探究法 法 教学用多媒体课件 具 教 学 过 程 教师活动环节 学生活动环节 设计意图 - 26 -

一、引导回顾 搭建桥梁 提问：如何进行单项式与多项式的乘法运算？ 练一练： (1)(?2x?1)(?3x2) (2)3x(9x2?3ax?a2) (3)a(a?3)?5(3a?1) (4)3x(2x2-x+1)+2(x-1) 一、参与回顾 只要求能答出要点 学生板演 温故而知新 二、创设情境 诱发主动 利用如下的长方形卡片拼成更大的长方形（每种卡片有若干张） 小明拼的： 小颖拼的： (1)计算小明的两块拼图的面积，并求其和，从多个方面来考虑。 (2)计算小颖的拼图面积，从多个方面来考虑。 三、引入课题 激发探究 (3)比较上述结果，你发现了什么？ 二、投入情境（课件展示） 动手试一试 (1)m(n+a)，mn+ma (2)(m+b)(n+a)， m(n+a)+b(n+a) mn+ma+bn+ba 三、主动探究 (3)各个式子均为多项式 - 27 -

增强学生的动手能力 培养分析问题解决问题的能力。 学会对比，寻找规律 (4)如何进行多项式与多项式的乘法运算？ [板书]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 四、诱向深入 拓展思维 练一练： (1)(2-x)(0.7-2x) (2)(3x+2y)(x-y) (3)(m+2n)(m-2n) (4)(x+2y)2 针对学生中出现的错误，及时加以纠正并强调以下几点： 1、在合并同类项之前，项数应为两项数之积； 2、结果要最简。 五、展示应用 评价自我 随堂练习（课本P28） (4) (m+b)(n+a) =m(n+a)+b(n+a) =mn+ma+bn+ba 加深印象 在理解的基础上齐声朗读法则内容 四、深入思考 认真听老师评讲 通过示范规范学生的解题步骤 六、链接知识 归纳小结 师生共同小结 七、知识留恋 课后韵味 布置作业： 八、课后反思 总结升华

五、展示能力 学生板演，完成后师生共同订正，再次强调注意点。 六、建构体系 多项式与多项式相乘的运算法则及应用 七、应用品味 课本P28习题1.10 八、反思得失 在练中加强 - 28 -

平方差公式

教学任务分析

教 学 目 标 1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力； 2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算； 3、了解平方差公式的几何背景。 建构主义学习理论强调以学生为中心，要求学生由外数学思考 部刺激的被动接受者和知识的灌输对象转变为信息加工的主体、知识意义的主动建构者；教师须以学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。 通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在解决问题 老师的讲解和学生的联系中让学生体会公式实质，学会灵活应用。 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培情感态度 养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。 平方差公式的推导及应用。 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。 知识技能 重点 难点

教学过程设计

问题与情境 【回顾思考】 （投影） 教师提问。 学生回答。 复习整式乘法法则。 师生行为 图 设计意 从学生的的已有的数学经验出发，建立新旧知识的联系，培养学生梳理知识体系的习惯。通过回顾整式乘法法则，帮助学口答： (1) x·2x=_____; (2) x·(x-1)=_____; (3)(x+1)(x+2)=_____; - 29 -

生激活与本节内容有关的已有知识，为探究平方差公式作好铺垫。 【创设情境】 王敏捷同学去商店，买 由现实中的实了单价是9.8元/千克的糖教师抛出情景问题，学生独际问题入手，设置果10.2千克，售货员刚拿立思考。 情景问题，激发学起计算器，王敏捷就说出应 生求知的兴趣。 付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。 【尝试探索】 学生在填空的基础上探索 波利亚曾说：如（投影）问题：计算下列多平方差公式，此次活动是本节果你不能解决所提项式的积： 课的核心活动。学生根据教师出问题，可先解决(1)（x+1)(x-1)=________; 交给的问题，独立思考完成。一个与此有关的问 同时抽生上黑板完成，根据解题。故我先构筑这(2)(m+2)(m-2)=_______; 决问题的过程和结果与全班同一系列的与平方差 学一起归纳公式。此时应引导公式推导有关的问(3) (t+s)(t-s) =________; 学生注意观察归纳，体会等式题，让学生积极探 两边的结构特征，用自己的语索，勇于创新。 你能发现其中的规律吗？ 言描述发现的规律。 让学生通过计并思考下列问题： 两数和与这两数差的积, 算几个多项式的1．等式左边的两个多项式等于这两数平方的差. 积，发现并归纳总有什么特点？ 用式子表示，即： 结其中的规律。 2．等式右边的多项式有什么规律？ (a+ b)(a?b)= a2?b2. 让学生用自己的语 言清楚地概括结3． 你能用一句话归纳出上论，培养学生的数述等式的规律吗？ 学语言表达能力及 抽象概括能力。 表

- 30 -

续

续

表

问题与情境 初识平方差公式： 师生行为 设计意图 (a+b) (a-b)=a- b 2 2 平方差公式的几何意义： 你能用几何图形的面积解释平方差公式吗？ 分组讨论，归纳得出平方差公式的基本特征： 得出平方差公式的1、公式左边两个二项基本特征：两个二项式相式必须是相同两数的和乘，一项相同，一项相反，与差相乘；且左边两括号且相同的写在前面。 内的第一项相同、第二项 符号相反. 2、公式右边是这两个数 的平方的差 学生动手，动脑。 得出用面积相等推得平 方差公式： 用面积相等来证明平方差公式的准确性。 【应用巩固】 利用平方差公式计算： (1) (6+5x)(6?5x)； (2) (2y + x)(x?2y); (3) (?m+n)(?m?n); 独立思考 巩固公式 学生独立完成。教师给予适当的帮助和指导，并引导学生根据平方差公式的结构特点解题。此次活动中教师应重点关注：学生是否能根据平方差公式的结构特点解题 - 31 - 灵活应用平方差公式解题。 在此过程中，培养学生学会分享彼此的思想和结果，并重新审视自己的想法的习惯。

续

表

问题与情境 【做一做】 师生行为 学生独立完成，举手回答问题。并同时解决课前提出的问题。 由学生小结 教师适当条理化。 设计意图 让学生初步熟悉公式，学会公式的简单应用。 计算: (1)51 × 49 (2)59.8 × 60.2 王敏捷同学去商店，买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏捷就说出应付99.96元，你知道王敏捷同学是如何计算的吗？ 【小结】 1、 试用语言表述平方差公式 (a+b)(a?b)=a2?b2 2、应用平方差公式 时要注意一些什么？ 1、 作业: 1、基础训练： 教材p.184 习题15.3 第1题。 2、扩展训练： 利用平方差公式计算：(a+b+c)(a-b-c) 小结是构建和完善学生认知结构的重要环节。 学生归纳总结本节课的主要内容，交流探索不等式性质的过程中的心得和体会，不断积累数学活动经验。 - 32 -

整式的除法

教学目标：

（1）知识目标：

A、理解整式除法运算的算理； B、会进行简单的整式除法运算。 （2）能力目标：

A、通过“探究教学模式”开拓学生思路，发展学生有条理的思考能力；

B、通过利用结论解决相关的计算问题，提高学生分析问题、解决问题的能力；

C、通过探究、归纳运算算理，发展学生有条理的表达能力。 （3）情感目标：

A、在平等、民主、和谐的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心；

B、通过探究、归纳的过程，体会获德成功的喜悦。 教学重点 ：

利用算理解决实际的各种题目，是运算的最终目的，因此，会进行简单的整式除法运算是本节课的重点。 教学难点：

在进行各种运算时，每种运算相应的算理是完成运算的依据，理解了算理，各种运算也就有了解题的途径，因此，理解整式除法运算的算理是本节课的难点。 教学策略：

引导学生利用几个单项式除以单项式的题目，自己去尝试，去探究，去发现，去思考，在思考、交流中得到结论，并根据过去所学知识去验证自己的结论，使每个学生都积极参与到教学中。 教学媒体：

网络教室、网页课件及V—Class教学平台。 教学过程：

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教学环节 教师活动 学生活动 学生回答： 1、先确定符号，再把绝对值相除； 2、单项式乘以单项式，系数、同底数幂分别相乘，其余的幂作为积的因式。 学生独立思考解决问题 的方法后，与同桌进行 交流。 设计意图 复习提问，引导学生对已学相关知识进行巩固，又为本节的学习、探究做好铺垫。 复习提问： 1、在有理数运算复习提中，如何进行除法问 运算？ 巩固提2、如何计算单项式高 乘以单项式？ 利用课件提出问题： 月球距离地球大约3.84×105千设问质米，一架飞机的速疑 度约为8×102千米/启发思时，如果乘坐此飞考 机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？ 1、根据学生对引例的探究情况，利用课件出示问题： 合作探计算下列各题： 究 （1）(x5y)÷x2; 交流创(2)(8m2n2)÷(2m2n) 新 (3)(a4b2c)÷(3a2b) 2、鼓励学生利用已学过的内容，通过利用实际问题，引导学生思考、交流，从解决这个问题的过程中，体会整式除法运算的必要，为以下的探究打下基础，充分调动学生主动参与学习活动，体现数学生活化的思想。 1、学生小组内进行通过师生、生生讨论、交流； 的相互补充评2、在教师的提示下，价，将探究活动探究多种算法，并说引向深入，强化明理由； 学生的创新思维3、各小组派代表对训练。 本组的方法进行讲学生小组内讨解，与其他同学进行论、交流，培养交流； 合作意识，调动- 34 -

小组的探究、交流，4、通过合作交流，解决这些题目； 用一句话概括自己3、巡视，启发学生的方法，其他小组进算法多样化，并让行评价。 学生说明每一步的理由； 4、引导学生将探究的结果与其他同学进行交流； 5、鼓励学生用自己的语言概括运算的方法，并给予评价。 1、课件中出示练1、独立完成课件中习，引导学生独立的练习，与同桌进行完成，并进行讲解； 交流； 练习： 2、几名学生对练习（1）（-3x2y3）÷进行讲解，尤其说明实践应（3x2y） 每一步的理由，其他用 (2)10a4b3c2÷学生进行评价、矫巩固提(5a3bc) 正； 高 (3)(2x2y)3×3、进入v-class教（-7xy2）÷(14x4y3) 学平台操作解题，提(4)(2a+b)4÷交答案。 (2a+b)2 2、巡视，注意观察学生在运算过程中- 35 -

学生探究的积极性。 从特例中探究规律，是数学探究活动常用的方法，通过学生合作探究，培养从特殊到一般的思维。 用自己的语言归纳发现的规律，发展学生有条理的思考及表达能力。 通过练习，检测知识掌握情况，训练学生运用知识解决问题的能力，是对学生解题思路条理化、系统化的过程。 对于练习中学生存在的问题及时解决，可以及时反馈、及时矫正。 利用v-class教

可能出现的错误，学平台，实现信给予指导； 息技术与课程的3、进入v-class教整合，达到及时学平台在线测试系反馈、矫正的目统，教师依据反馈的。 情况进行评价。 反思归引导学生自己归纳学生总结本节课的课堂总结是对本纳 本节课的主要内内容。 节课的巩固，通总结提容、收获，重点是过学生的总结，高 总结所学到的方对自己的收获及法、技巧。 时归纳，为以后的学习打下基础。

整式的除法（二）

教学目标：１、进一步掌握单项式除以单项式。

２、经历多项式除以多项式的运算法则过程，理解运算法则及其探索过程，能用自己的语言叙述如何运算。

教学重点及难点：理解运算法则及其探索过程，能用自己的语言叙述如何运算。 教学准备：多媒体平台。 教学过程： 一、复习铺垫 1,知识点回顾

单项式相除: 1、系数相除；

2、同底数幂相除；

3、只在被除式里的幂不变。

2、计算

5322232

（1）-12abc÷(-4ab) （2）(-5ab)÷5ab7 3 2322

（3）4(a+b)÷ (a+b)（4）(-3abc)÷(-3abc)

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二、探索新知

１、你能计算下列各题？说说你的理由。

（1）(ad+bd)÷d= __________ （2）(a2b+3ab)÷a= _________ （3）(xy3-2xy)÷(xy)= _______

２、你知道：多项式除以单项式的规律吗？

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

３、例3 计算： （3） (9x2y?6xy2)?(3xy)； （1） (6ab?8b)?(2b)； 113222（2） (27a?15a?6a)?(3a)；（4） (3xy?xy?xy)?(?xy)。

22三、巩固练习 １、 随堂练习 ２、 习题１、６ （１）计算

（２）任意给一个非零数，按下列程序计算下去，写出输出结果

2m?m?m?1?m

３、拓展

2n?2n?（1）多项式 a 2n ?1 ? a 2 ? a m一共有（ ）项 ? ???

n?2n?man，其商式应是（ ）项式，商式为 n?1它除以

—————————————

????a?a?????a（２） —————

???2xy??x?2x??3xy??y??10xy2322456=1

2 1n1（３）———— 918 四、学习小结

１、单项式相除: 1、系数相除；

2、同底数幂相除；

3、只在被除式里的幂不变。

２、多项式除以单项式

先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

?3xy??x?- 37 -

§15．5 公式法（一）

教学目标 （一）教学知识点 运用平方差公式分解因式． （二）能力训练要求

1．能说出平方差公式的特点．

2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．

3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．?并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解． （三）情感与价值观要求

培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法． 教学重点

应用平方差公式分解因式． 教学难点

灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求． 教学方法 自主探索法． 教具准备 投影片． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

出示投影片，让学生思考下列问题． 问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？ 问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？

[生]1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，?也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，?就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．

3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．

[生]要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，?不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式： a2-b2=（a+b）（a-b）．

[师]多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．

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Ⅱ．导入新课

[师]观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？ （让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）

（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差． （3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，?“平方差”是得分解因式的多项式．

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式． 出示投影片

[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．?也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2?这一类错误] 填空：

（1）4a2=（ ）2； （2）

42

b=（ ）2； 9 （3）0.16a4=（ ）2； （4）1.21a2b2=（ ）2；

14

x=（ ）2； 44 （6）5x4y2=（ ）2．

9 （5）2 例题解析： 出示投影片： [例1]分解因式

（1）4x2-9 （2）（x+p）2-（x+q） [例2]分解因式

（1）x4-y4 （2）a3b-ab

可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．

[师生共析] [例1]（1）

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（教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x，（2）中的x+p?相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b?可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）

[例2]（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，?让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．

（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab?有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解． 解：（1）x4-y4

=（x2+y2）（x2-y2） =（x2+y2）（x+y）（x-y）．

（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）． 学生解题中可能发生如下错误： （1）系数变形时计算错误； （2）结果不化简；

（3）化简时去括号发生符号错误． 最后教师提出：

（1）多项式分解因式的结果要化简：

（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项． 练一练： （出示投影片） 把下列各式分解因式 （1）36（x+y）2-49（x-y）2 （2）（x-1）+b2（1-x） （3）（x2+x+1）2-1

(x?y)2(x?y)2 （4）-．

44 解：（1）36（x+y）2-49（x-y）2

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