高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线算2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修4201809132138

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

学习目标：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律．(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算．(重点)3.数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．向量加法的定义

定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a. 2．向量求和的法则

→→已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向三角 形法则 →→→→已知两个不共线向量a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD，平行 四边 形法则 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.( ) →→

(2)AB＋BA＝0.( )

(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．( )

[解析] (1)正确．(2)正确．(3)错误．平行四边形法则只适用于求两个不共线的向量的和．

[答案] (1)√ (2)√ (3)× →→→

2.CB＋AD＋BA等于( ) →

A.DB

→B.CA

则对角线上的向量AC＝a＋b. →→→→量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC →→C.CD

→→→→→→→C [CB＋AD＋BA＝CB＋BA＋AD＝CD.]

→D.DC

→→

3．如图2-2-1，在平行四边形ABCD中，DA＋DC＝________.

图2-2-1

→

DB [由平行四边形法则可知DA＋DC＝DB.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

→→→

[探究问题] 向量加法运算法则的应用 1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？ 提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移合成等．

→→→

2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，A1A2＋A2A3＋A3A4

→

＋…＋An－1An的运算结果是什么？

→→→→→

提示：将三角形法则进行推广可知A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.

(1)如图2-2-2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线

上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：

图2-2-2

→→→→→→→

①AB＋DF＝________；②AD＋FC＝________；③AD＋BC＋FC＝________. (2)①如图2-2-3甲所示，求作向量和a＋b. ②如图2-2-3乙所示，求作向量和a＋b＋c.

甲 乙

图2-2-3

[思路探究] (1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三

角形法则化简．

(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．

→→→

(1)①AC ②AB ③AC [(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：

→→→→→①AB＋DF＝AB＋BC＝AC. →→→→→②AD＋FC＝AD＋DB＝AB. →→→→→→→③AD＋BC＋FC＝AD＋DF＋FC＝AC.

→→→

(2)①首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b.如图所示．

→

②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，再作→→→→

向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．

→

法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，→

OB＝b，OC＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则OD＝OA＋OB＝a＋b.再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c即为所求．]

→→母题探究：1.在例1(1)条件下，求CB＋CF.

[解] 因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形， →→→所以CB＋CF＝CD.

→→→

2．在例1(1)图形中求作向量DA＋DF＋CF.

→

→→

→→→→

[解] 过A作AG∥DF交CF的延长线于点G， →→→→→→则DA＋DF＝DG作GH＝CF，连结DH， →→→→

则DH＝DA＋DF＋CF，如图所示． [规律方法] 1.向量求和的注意点： (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．

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