18版高中数学第一章三角函数1.2.3第2课时诱导公式（五～六）学案苏教版必修4

。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2课时 诱导公式(五～六)

学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．

知识点一 诱导公式五

ππ

思考1 角与角的三角函数值有什么关系？

63

π

思考2 角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？

2

梳理 诱导公式五

?π?sin?－α?＝cos α?2??π?cos?－α?＝sin α?2?

知识点二 诱导公式六

π

思考 能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？

2

1

π??sin?α＋?＝cos α，2??π??cos?α＋?＝－sin α.2??

梳理 诱导公式六

知识点三 诱导公式的推广与规律

33

1．sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，

2233

sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________.

222．诱导公式记忆规律：

公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． π

公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加

2上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．

π

六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．

2

π

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，

2当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．

类型一 利用诱导公式求值

1?π?例1 (1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos?＋α?的值； 2?2?

?π?1?5π

(2)已知cos?－α?＝，求cos?＋α

?6?3?6

?·sin?2π－α

??3??

?的值．

??

2

ππ

反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，

36πππππ2ππ3π

＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，36443344遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 3?π??π?跟踪训练1 已知sin?＋α?＝，求cos?－α?的值．

?6?3?3?

类型二 利用诱导公式证明三角恒等式 例2 求证：π－α

－2π－α

3π??3π??sin?α＋?cos?α＋?2??2??

π－α

＝－tan α.

反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．

(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．

3π?π???2sin?θ－?cos?θ＋?－12?2???

跟踪训练2 求证：＝2

1－2sin π＋θ

类型三 诱导公式在三角形中的应用 例3 在△ABC中，sin

π＋θπ＋θ

＋1. －1

A＋B－C2

＝sin

A－B＋C2

，试判断△ABC的形状．

3

反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，

A＋B＋Cπ

2

＝2

，结＝合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin

A＋B2

CA＋BCcos，cos＝sin. 222

跟踪训练3 在△ABC中，给出下列四个式子： ①sin(A＋B)＋sin C； ②cos(A＋B)＋cos C； ③sin(2A＋2B)＋sin 2C； ④cos(2A＋2B)＋cos 2C.

其中为常数的式子的序号是________． 类型四 诱导公式的综合应用

π－α

例4 已知f(α)＝(1)化简f(α)；

3

(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．

5

反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱． 跟踪训练4 已知sin α3??3?sin?－α－π?cos?π－α2??2??π??π?cos?－α?sin?＋α??2??2?

是方程5x－7x－6＝0的根，α

2

－α

π＋α

－α

π

＋α2

. 是第三象限角，求

???

·tan(π－α)的值．

2

4

π?1π???1．已知sin?α－?＝，则cos?α＋?的值为________． 6?33???2．若cos(2π－α)＝53π

，则sin(－α)＝________. 32

π

＋θ2π－θ2

－－

π－θ

＝________.

π－θ

3．已知tan θ＝2，则

π??π??4．已知cos?＋α?＝2sin?α－?， 2??2??求sin

π－α

?5π－α5cos?

?2

3

＋cosα＋π

的值．

?＋3sin?7π－α???2????

π1

＋α)＝，求值：233π＋α2

sin

ππ＋αcos－α22cosπ＋α

5．已知sinπ－α

cos(cos

＋

sinπ＋α

.

1．诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：

①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．

ππ

②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐

22角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．

5

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