高一数学必修1导学案

高一数学必修1导学案

高中数学组导学案编写计划一（必修①）

第一章 集合与函数概念 编者：高建彪 完成时间：8月20日 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 编者：高建彪 完成时间：9月1日 序号 1 2 3 4 课时计划 2.1.1 指数与指数幂的运算（1） 2.1.1 指数与指数幂的运算（2） 2.1.1 指数与指数幂的运算（3） 2.1.2 指数函数及其性质（1） 课时计划 1.1.1 集合的含义与表示① 1.1.1 集合的含义与表示② 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算--①交集与并集 1.1.3 集合的基本运算--②全集与补集 1.1 集合（练习） 1.2.1 函数的概念① 1.2.1 函数的概念② 1.2.2 函数的表示法① 1.2.2 函数的表示法② 1.3.1单调性与最大（小）值① 1.3.1单调性与最大（小）值② 1.3.2奇偶性 1.3 函数的基本性质（练习） 第一章 集合与函数概念（复习） 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2.1.2 指数函数及其性质（2） 2.2.1对数与对数运算（1） 2.2.1对数与对数运算（2） 2.2.1对数与对数运算（3） 2.2.2 对数函数及其性质（1） 2.2.2 对数函数及其性质（2） 2.2 对数函数（练习） 2.3 幂函数 第二章 基本初等函数Ⅰ（复习） 第三章 函数的应用 编者：高建彪 完成时间：9月10日 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

课时计划 3.1.1方程的根与函数的零点 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.1 函数与方程（练习） 3.2.1几类不同增长的函数模型（1） 3.2.1几类不同增长的函数模型（2） 3.2.2函数模型的应用实例（1） 3.2.2函数模型的应用实例（2） 第三章 函数的应用（复习） 必修一模块总复习 §1.1.1 集合的含义与表示（1）

学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P2~ P3，找出疑惑之处）

讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究

对象的总体.

集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.

二、新课导学

※ 探索新知

探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；

② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；

④ x2, 3x?2, 5y3?x, x2?y2； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程x2?3x?0的所有实数根；

⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：

各组对象分别是一些什么？有多少个对象？

新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.

试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？

探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？

新知2：集合元素的特征

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.

确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.

只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .

试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： ① 不等式x?3?0的解； ② 3的倍数；

③ 方程x2?2x?1?0的解； ④ a，b，c，x，y，z； ⑤ 最小的整数；

⑥ 周长为10 cm的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.

探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？

新知3：集合的字母表示

集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；

如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a?A.

试试3： 设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B， －1 B.

探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？

新知4：常见数集的表示 非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N； 正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+； 整数集：全体整数的集合，记作Z；

有理数集：全体有理数的集合，记作Q； 实数集：全体实数的集合，记作R.

试试4：填∈或?：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， ?3 Q，3?2 R.

探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？

新知5：列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法. 注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.

试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.

※ 典型例题

例1 用列举法表示下列集合： ① 15以内质数的集合；

② 方程x(x2?1)?0的所有实数根组成的集合；

③ 一次函数y?x与y?2x?1的图象的交点组成的集合.

变式：用列举法表示“一次函数y?x的图象与二次函数y?x2的图象的交点”组成的集合.

三、总结提升

※ 学习小结

①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.

※ 知识拓展

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列说法正确的是（ ）.

A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合

C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合 1361D．1,0.5,,,,这六个数能组成一个集合

22442. 给出下列关系：

1① ?R；② 2?Q；③?3?N?；④?3?Q.

2其中正确的个数为（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3. 直线y?2x?1与y轴的交点所组成的集合为（ ）. A. {0,1} B. {(0,1)}

11 C. {?,0} D. {(?,0)}

224. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则： 深圳 A； 广州 A. （填∈或?）

5. “方程x2?3x?0的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________. 课后作业 1. 用列举法表示下列集合：

（1）由小于10的所有质数组成的集合； （2）10的所有正约数组成的集合；

（3）方程x2?10x?0的所有实数根组成的集合.

2. 设x∈R，集合A?{3,x,x2?2x}. （1）求元素x所应满足的条件； （2）若?2?A，求实数x.

§1.1.1 集合的含义与表示（2）

学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P4~ P5，找出疑惑之处）

复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 . 集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 .

复习2：集合A?{x2?2x?1}的元素是 ，若1∈A，则x= .

复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？

二、新课导学

※ 学习探究 思考：

① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？

② 你能用列举法表示不等式x?1?3的解集吗？

探究：比较如下表示法 ① {方程x2?1?0的根}； ② {?1,1}；

③ {x?R|x2?1?0}.

新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{x?A|P}，其中x代表元素，P是确定条件.

试试：方程x2?3?0的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .

※ 典型例题

例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程x(x2?1)?0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.

练习：用描述法表示下列集合.

（1）方程x3?4x?0的所有实数根组成的集合； （2）所有奇数组成的集合.

小结：

用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x?R、x?Z明确时可省略，例如 {x|x?2k?1,k?Z},{x|x?0}.

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）抛物线y?x2?1上的所有点组成的集合； ?3x?2y?2（2）方程组?解集.

2x?3y?27?

变式：以下三个集合有什么区别. （1）{(x,y)|y?x2?1}；

（2）{y|y?x2?1}；

（3）{x|y?x2?1}. 反思与小结：

① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如{(x,y)|y?x2?1}与{y|y?x2?1}不同. ② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{x|x?1}，{x|x?3k,k?Z}.

③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.

④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.

※ 动手试试

练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.

练2. 已知集合A?{x|?3?x?3,x?Z}，集合B?{(x,y)|y?x2?1,x?A}. 试用列举法分别表示集合A、B.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）； 2. 会用适当的方法表示集合；

※ 知识拓展

1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：

（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{x|x是直角三角形}，也可以写成：{直角三角形}；

（2）集合{(x,y)|y?x2?1}与集合{y|y?x2?1}是同一个集合吗？

2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设A?{x?N|1?x?6}，则下列正确的是（ ）. A. 6?A B. 0?A C. 3?A D. 3.5?A 2. 下列说法正确的是（ ）.

A.不等式2x?5?3的解集表示为{x?4} B.所有偶数的集合表示为{x|x?2k}

C.全体自然数的集合可表示为{自然数}

D. 方程x2?4?0实数根的集合表示为{(?2,2)}

3. 一次函数y?x?3与y??2x的图象的交点组成的集合是（ ）. A. {1,?2} B. {x?1,y??2}

?y?x?3 C. {(?2,1)} D. {(x,y)|?}

y??2x?4. 用列举法表示集合A?{x?Z|5?x?10}为

.

5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}， B?{x|x2?6x?5?0}，用∈或?填空： 4 A，4 B，5 A，5 B. 课后作业 1. （1）设集合A?{(x,y)|x?y?6,x?N,y?N} ，试用列举法表示集合A.

（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.

2. 若集合A?{?1,3}，集合B?{x|x2?ax?b?0}，且A?B，求实数a、b.

§1.1.2 集合间的基本关系

学习目标 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2. 理解子集、真子集的概念；

3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 4. 了解空集的含义. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P6~ P7，找出疑惑之处）

复习1：集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.

复习2：用适当的符号填空.

（1） 0 N；2 Q； -1.5 R.

（2）设集合A?{x|(x?1)2(x?3)?0}，B?{b}，则1 A；b B；{1,3} A.

思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

二、新课导学

※ 学习探究

探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： A?{3,6,9}与B?{x|x?3k,k?N*且k?333}； C?{东升高中学生}与D?{东升高中高一学生}； E?{x|x(x?1)(x?2)?0}与F?{0,1,2}.

新知：子集、相等、真子集、空集的概念.

① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：A?B(或B?A)，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A. 当集合A不包含于集合B时，记作A?B.

② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为： A?B(或B?A). A B

③ 集合相等：若A?B且B?A，则A?B中的元素是一样的，因此A?B.

④ 真子集：若集合A?B，存在元素x?B且x?A，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.

⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：?. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

试试：用适当的符号填空.

（1）{a,b} {a,b,c}，a {a,b,c}；

（2）? {x|x2?3?0}，? R； （3）N {0,1}，Q N； （4）{0} {x|x2?x?0}.

反思：思考下列问题.

（1）符号“a?A”与“{a}?A”有什么区别？试举例说明.

（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.

（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？ ① 若a?b,且b?a,则a?b； ② 若a?b,且b?c,则a?c.

※ 典型例题

例1 写出集合{a,b,c}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.

例2 判断下列集合间的关系：

（1）A?{x|x?3?2}与B?{x|2x?5?0}；

（2）设集合A={0,1}，集合B?{x|x?A}，则A与B的关系如何？

变式：若集合A?{x|x?a}，B?{x|2x?5?0}，且满足A?B，求实数a的取值范围.

※ 动手试试

练1. 已知集合A?{x|x2?3x?2?0}，B＝{1,2}，C?{x|x?8,x?N}，用适当符号填空： A B，A C，{2} C，2 C.

练2. 已知集合A?{x|a?x?5}，B?{x|x?2}，且满足A?B，则实数a的取值范围为 .

三、总结提升

※ 学习小结

1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.

2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.

※ 知识拓展

如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n个，真子集有2n?1个.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列结论正确的是（ ）. A. ?A B. ??{0} C. {1,2}?Z D. {0}?{0,1}

2. 设A??xx?1?,B??xx?a?，且A?B，则实数a的取值范围为（ ）. A. a?1 B. a?1 C. a?1 D. a?1

3. 若{1,2}?{x|x2?bx?c?0}，则（ ）. A. b??3,c?2 B. b?3,c??2 C. b??2,c?3 D. b?2,c??3

4. 满足{a,b}?A?{a,b,c,d}的集合A有 个. 5. 设集合A?{四边形}B,?平行四边形{是 ，并用Venn图表示. }C,?矩形{，D?{正方形}，则它们之间的关系

课后作业 1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表

示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？

A?B,B?A,A?C,C?A 试用Venn图表示这三个集合的关系.

2. 已知A?{x|x2?px?q?0}，B?{x|x2?3x?2?0}且A?B，求实数p、q所满足的条件.

§1.1.3 集合的基本运算（1）

学习目标 1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；

2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题； 3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P8~ P9，找出疑惑之处） 复习1：用适当符号填空.

20 {0}； 0 ?；? {x|x＋1＝0,x∈R}； {0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5}.

复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且x?A}= .

思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？

二、新课导学

※ 学习探究

探究：设集合A?{4,5,6,8}，B?{3,5,7,8}.

（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；

（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？

新知：交集、并集. ① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即： A?B?{x|x?A,且x?B}.

Venn图如右表示. B A

② 类比说出并集的定义.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A?B，读作：A并B，用描述法表示是：

A?B?{x|x?A,或x?B}.

Venn图如右表示. B A

试试：

（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ；

（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ； （3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ ，A∩B＝ . （4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.

B A(B) A B A

A B B A

反思：

（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？

（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？

（3）A∩A＝ ；A∪A＝ . A∩?＝ ；A∪?＝ .

※ 典型例题

例1 设A?{x|?1?x?8}，B?{x|x?4或x??5}，求A∩B、A∪B.

变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，B?{x|x?4或x??5}，则A∩B= ；A∪B= .

小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.

例2 设A?{(x,y)|4x?y?6}，B?{(x,y)|3x?2y?7}，求A∩B.

变式：

（1）若A?{(x,y)|4x?y?6}，B?{(x,y)|4x?y?3}，则A?B? ； （2）若A?{(x,y)|4x?y?6}，B?{(x,y)|8x?2y?12}，则A?B? .

反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？

※ 动手试试

练1. 设集合A?{x|?2?x?3},B?{x|1?x?2}.求A∩B、A∪B.

练2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A?B与B?C的含义.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质； 2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.

※ 知识拓展

A?（B?C）（?A?B）（?A?C）， A?（B?C）（?A?B）（?A?C）， （A?B）?C?A?（B?C）， （A?B）?C?A?（B?C）， A?（A?B）?A，A?（A?B）?A.

你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？ 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 设A??x?Zx?5?,B??x?Zx?1?,那么A?B等于（ ）. A．{1,2,3,4,5} C．{2,3,4}

B．{2,3,4,5} D．?x1?x?5?

2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（ ）.

A. x=3, y=－1 B. (3，－1) C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝

3. 设A??0,1,2,3,4,5?,B?{1,3,6,9},C?{3,7,8}，则(A?B)?C等于（ ）. A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}

4. 设A?{x|x?a}，B?{x|0?x?3}，若A?B??，求实数a的取值范围是 . 5. 设A?xx2?2x?3?0,B?xx2?5x?6?0，则A?B= . ???? 课后作业 1. 设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试分别说明下面三种情况时直线l1与直线l2的位置关系？ （1）L1?L2?{点P}； （2）L1?L2??； （3）L1?L2?L1?L2.

12. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={?}，求A?B.

3

§1.1.3 集合的基本运算（2）

学习目标 1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

2. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P10~ P11，找出疑惑之处） 复习1：集合相关概念及运算.

① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的 ，记作 . 若集合A?B，存在元素x?B且x?A，则称集合A是集合B的 ，记作 . 若A?B且B?A，则 .

② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为： A?B? ；

A?B? .

复习2：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B、R有何关系？

二、新课导学

※ 学习探究

探究：设U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？

新知：全集、补集.

① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U.

② 补集：已知集合U, 集合A?U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集（complementary set），记作：CUA，读作：“A在U中补集”，即CUA?{x|x?U,且x?A}. 补集的Venn图表示如右：

说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试：

（1）U={2,3,4}，A={4,3}，B=?，则CUA= ，CUB= ；

（2）设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则CUA＝ ； （3）设集合A?{x|3?x?8}，则eRA= ；

（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则CUA＝ .

反思：

（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？ （2）Q的补集如何表示？意为什么？

※ 典型例题

例1 设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求CUA、CUB.

例2 设U=R，A＝{x|－1

变式：分别求CU(A?B)、(CUA)?(CUB).

※ 动手试试

练1. 已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足(CIA)?(CIB)?{1,9}，(CIA)?B?{4,6,8}，A?B?{2}. 求集合A、B.

练2. 分别用集合A、B、C表示下图的阴影部分.

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） .

反思：

结合Venn图分析，如何得到性质：

（1）A?(CUA)? ，A?(CUA)? ； （2）CU(CUA)? .

三、总结提升

※ 学习小结

1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号. 2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn图.

※ 知识拓展

试结合Venn图分析，探索如下等式是否成立？ （1）CU(A?B)?(CUA)?(CUB)； （2）CU(A?B)?(CUA)?(CUB). 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 设全集U=R，集合A?{x|x2?1}，则CUA=（ ） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {?1,1}

2. 已知集合U={x|x?0}，CUA?{x|0?x?2}，那么集合A?（ ）. A. {x|x?0或x?2} B. {x|x?0或x?2} C. {x|x?2} D. {x|x?2} 3. 设全集I??0,?1,?2,?3,?4?,集合M??0,?1,?2?, N??0,?3,?4?，则?eIM??N?（ ）.

A．｛０｝ C．??1,?2?

B．??3,?4? D．?

4. 已知U={x∈N|x≤10}，A={小于11的质数}，则CUA= . 5. 定义A—B={x|x∈A，且x?B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,4,8}，则N—M= . 课后作业 1. 已知全集I={2,3,a2?2a?3}，若A?{b,2}，CIA?{5}，求实数a,b.

2. 已知全集U=R，集合A=xx2?px?2?0，B?xx2?5x?q?0, 若(CUA)?B??2?，试用列举法表示集合A

????§1.1 集合（复习）

学习目标 1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有

关术语和符号；

2. 能使用数轴分析、Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习过程 一、课前准备

（复习教材P2~ P14，找出疑惑之处）

复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？ A?B? ； A?B? ； CUA? .

复习2：交、并、补有如下性质.

A∩A＝ ；A∩?＝ ； A∪A＝ ；A∪?＝ ；

A?(CUA)? ；A?(CUA)? ； CU(CUA)? .

你还能写出一些吗？

二、新课导学

※ 典型例题

例1 设U=R，A?{x|?5?x?5}，B?{x|0?x?7}.求A∩B、A∪B、CUA 、CUB、(CUA)∩(CUB)、(CUA)∪(CUB)、CU(A∪B)、CU(A∩B).

小结：

（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点； （2）由以上结果，你能得出什么结论吗？

例2已知全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?U，A?B??，A?(CUB)?{1,2}，求集合A、B.

小结：

列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法.

例3 若A?xx2?4x?3?0,B?xx2?ax?a?1?0，C?xx2?mx?1?0且A?B?A,A?C?C，

??????求实数a、m的值或取值范围．

变式：设A?{x|x2?8x?15?0}，B?{x|ax?1?0}，若B?A，求实数a组成的集合、.

※ 动手试试

练1. 设A?{x|x2?ax?6?0}，B?{x|x2?x?c?0}，且A∩B＝{2}，求A∪B.

练2. 已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围。

练3. 设A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝． （1）若A＝B，求a的值；

（2）若?A∩B，A∩C＝?，求a的值．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 集合的交、并、补运算. 2. Venn图示、数轴分析.

※ 知识拓展

集合中元素的个数的研究：

有限集合A中元素的个数记为n(A)，

则n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B). 你能结合Venn图分析这个结论吗？ 能再研究出n(A?B?C)吗？ 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（ ）. A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定

2. 集合A={x|x=2n，n∈Z}，B={y|y=4k，k∈Z}，则A与B的关系为（ ）.

?A．A??B B．A?B C．A=B D．A?B

3. 设全集U?{1,2,3,4,5,6,7}，集合A?{1,3,5}，集合B?{3,5}，则（ ）. A．U?A?B B． U?(CUA)?B

C．U?A?(CUB) D．U?(CUA)?(CUB)

4. 满足条件{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 .

??5. 设集合M?{y|y?3?x2}，N?{y|y?2x2?1}，则M?N? . 课后作业 1. 设全集U?{x|x?5,且x?N*}，集合

A?{x|x2?5x?q?0}，B?{x|x2?px?12?0}，且(CUA)?B?{1,2,3,4,5}，求实数p、q的值.

2. 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.

§1.2.1 函数的概念（1）

学习目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2. 了解构成函数的要素；

3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P15~ P17，找出疑惑之处）

复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：函数模型思想及函数概念 问题：研究下面三个实例：

A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2.

B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.

年份 恩格尔系数% 1991 1992 1993 1994 1995 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 … … 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:A?B.

新知：函数定义.

设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y?f(x),x?A.

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域（range）.

试试：

（1）已知f(x)?x2?2x?3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(?1)的值.

（2）函数y?x2?2x?3,x?{?1,0,1,2}值域是 .

反思：

（1）值域与B的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 . （2）常见函数的定义域与值域. 函数 一次函数 二次函数 反比例函数 解析式 定义域 值域 y?ax?b(a?0) y?ax2?bx?c， 其中a?0 ky?(k?0) x 探究任务二：区间及写法

新知：设a、b是两个实数，且a

{x|a?x?b}?[a,b)，{x|a?x?b}?(a,b]都叫半开半闭区间. 实数集R用区间(??,??)表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.

试试：用区间表示.

（1）{x|x≥a}= 、{x|x>a}= 、

{x|x≤b}= 、{x|x

※ 典型例题

例1已知函数f(x)?x?1. （1）求f(3)的值；

（2）求函数的定义域（用区间表示）； （3）求f(a2?1)的值.

1变式：已知函数f(x)?.

x?1（1）求f(3)的值；

（2）求函数的定义域（用区间表示）；

（3）求f(a2?1)的值.

※ 动手试试

练1. 已知函数f(x)?3x2?5x?2，求f(3)、f(?2)、f(a?1)的值.

1练2. 求函数f(x)?的定义域.

4x?3

三、总结提升

※ 学习小结

①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数的值域；④区间表示. ※ 知识拓展

求函数定义域的规则：

① 分式：y?f(x)，则g(x)?0； g(x)② 偶次根式：y?2nf(x)(n?N*)，则f(x)?0； ③ 零次幂式：y?[f(x)]0，则f(x)?0.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知函数g(t)?2t2?1，则g(1)?（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2

2. 函数f(x)?1?2x的定义域是（ ）.

11 A. [,??) B. (,??)

2211 C. (??,] D. (??,)

223. 已知函数f(x)?2x?3，若f(a)?1，则a=（ ）. A. －2 B. －1 C. 1 D. 2

4. 函数y?x2,x?{?2,?1,0,1,2}的值域是 .

25. 函数y??的定义域是 ，值域是 .（用区间表示）

x 课后作业 1. 求函数y?1的定义域与值域. x?1

2. 已知y?f(t)?t?2，t(x)?x2?2x?3. （1）求t(0)的值；

（2）求f(t)的定义域； （3）试用x表示y.

§1.2.1 函数的概念（2）

学习目标 1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；

2. 掌握判别两个函数是否相同的方法. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P18~ P19，找出疑惑之处）

3x2复习1：函数的三要素是 、 、 .函数y?与y＝3x是不是同一个函数？为

x何？

k复习2：用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝的定义域与值域，其中k?0，a?0.

x

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：函数相同的判别

x3讨论：函数y=x、y=(x)、y=2、y=4x4、y=x2有何关系？

x

试试：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由？

2① f(x) = (x?1)0；g(x) = 1. ② f(x)= x； g(x) = ④ f(x)= | x | ；g(x)=

x2.

③ f(x)= x 2；g(x) = (x?1)2.

x2.

小结：

① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

※ 典型例题

例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.

x?3（1）f(x)?2；

x?2（2）f(x)?2x?9；

1（3）f(x)?x?1?.

x?2

试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）.

x?2（1）f(x)???3x?4；

x?31（2）f(x)?9?x?.

x?4

小结：

（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；

（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）. 例2求下列函数的值域（用区间表示）： （1）y＝x2－3x＋4； （2）f(x)?x2?2x?4；

?5x?2（3）y＝； （4）f(x)?.

x?3x?3

ax?b变式：求函数y?(ac?0)的值域.

cx?d

小结：

求函数值域的常用方法有：

观察法、配方法、拆分法、基本函数法.

※ 动手试试

练1. 若f(x?1)?2x2?1，求f(x).

练2. 一次函数f(x)满足f[f(x)]?1?2x，求f(x).

三、总结提升

※ 学习小结

1. 定义域的求法及步骤； 2. 判断同一个函数的方法； 3. 求函数值域的常用方法.

※ 知识拓展

对于两个函数y?f(u)和u?g(x)，通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称它为函数

y?f(u)和u?g(x)的复合函数，记作y?f(g(x)). 例如y?x2?1由y?u与u?x2?1复合.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数f(x)?1?x?x?3?1的定义域是（ ）. A. [?3,1] B. (?3,1) C. R D. ?

2x?12. 函数y?的值域是（ ）.

3x?21122 A. (??,?)?(?,??) B. (??,)?(,??)

333311 C. (??,?)?(?,??) D. R

223. 下列各组函数f(x)与g(x)的图象相同的是（ ） A.f(x)?x,g(x)?(x)2 B.f(x)?x2,g(x)?(x?1)2 C.f(x)?1,g(x)?x0

?x(x?0)f(x)?|x|,g(x)?D. ???x(x?0)14. 函数f(x) = x?1+的定义域用区间表示是 .

2?x5. 若f(x?1)?x2?1，则f(x)= . 课后作业 1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.

2. 已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式.

§1.2.2 函数的表示法（1）

学习目标 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际

情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P19~ P21，找出疑惑之处） 复习1：

（1）函数的三要素是 、 、 .

110)? ，f()= ，f(x)的定义域为 . （2）已知函数f(x)?2，则f(x?1x（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.

复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：函数的三种表示方法

讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺

点.

小结：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.

※ 典型例题

例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y?f(x).

变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.

反思：

例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

例2 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0

变式： 某水果批发店，100 kg内单价1元／kg，500 kg内、100 kg及以上0.8元／kg，500 kg及以上0.6元／kg，试写出批发x千克应付的钱数y（元）的函数解析式.

试试：画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图象.

小结：

分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）. 在生活实例有哪些分段函数的实例？

※ 动手试试

?2x?3,x?(??,0)练1. 已知f(x)??2，求f(0)、f[f(?1)]的值.

?2x?1,x?[0,??)

练2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为x，面积为y，把y表示成x的函数.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 函数的三种表示方法及优点； 2. 分段函数概念；

3. 函数图象可以是一些点或线段.

※ 知识拓展

任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 如下图可作为函数y?f(x)的图象的是（ ）.

A. B. C. D. 2. 函数y?|x?1|的图象是（ ）.

A. B. C. D.

?x?2, (x≤?1)?3. 设f(x)??x2, (?1?x?2)，若f(x)?3，则x=（ ）

?2x, (x≥2)? A. 1 B. ?3 C.

3 D. 23 2??x＋2(x?2)4. 设函数f（x）＝?，则f(?1)＝ .

2x(x＜2)??5. 已知二次函数f(x)满足f(2?x)?f(2?x)，且图象在y轴上的截距为0，最小值为－1，则函数f(x)的解析式为 . 课后作业 1. 动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为自变量x，写出P点与A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象.

2. 根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式.

111（1）f(x?)?x2?2； （2）f(x)?2f()?3x.

xxx

§1.2.2 函数的表示法（2）

学习目标 1. 了解映射的概念及表示方法；

2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念； 3. 能解决简单函数应用问题. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P22~ P23，找出疑惑之处）

复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例： ① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的点P和它对应； ② 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的 和它对应；

③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应. 你还能说出一些对应的例子吗？

讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：映射概念

探究 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意. ① A?{1,4,9}, B?{?3,?2,?1,1,2,3}，对应法则：开平方； ② A?{?3,?2,?1,1,2,3}，B?{1,4,9}，对应法则：平方；

③ A?{30?,45?,60?}, B?{1,231,,}, 对应法则：求正弦. 222

新知：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:A?B” 关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.

试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？

反思：

① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？

② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.

※ 典型例题

例1 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ （1）A={P | P是数轴上的点}，B=R； （2）A={三角形}，B={圆}；

（3）A={ P | P是平面直角体系中的点}，

B?{(x,y)|x?R,y?R}；

（4） A={高一学生}，B= {高一班级}.

变式：如果是从B到A呢？

试试：下列对应是否是集合A到集合B的映射

（1）A?1,2,3,4?,B??2,4,6,8?，对应法则是“乘以2”；

?（2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”； （3）A??x|x?0?,B?R，对应法则是“求倒数”.

※ 动手试试

练1. 下列对应是否是集合A到集合B的映射？

（1）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x?2x?1；

（2）A?N*,B?{0,1}，对应法则f:x?x除以2得的余数； （3）A?N，B?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余数；

1111（4）设X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}f:x?；

234x（5）A?{x|x?2,x?N},B?N，f:x?小于x的最大质数.

练2. 已知集合A??a,b?,B???1,0,1?,从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少映射？

三、总结提升

※ 学习小结 1. 映射的概念；

2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必要有对应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．

※ 知识拓展

在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（千米／小时）的平方与车身长s（米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d关于v的函数关系式（其中s为常数）. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

,y)1. 在映射f:A?B中，A?B?{(x,y)|x,y?R}，且f:(x对应的B中的元素为（ ）. A.(?3,1) B.(1,3) C.(?1,?3) D.(3,1)

(?xyx?,y?)，则与A中的元素(?1,2)2.下列对应f:A?B：

① A?R,B??x?Rx?0?,f:x?x; ②A?N,B?N*,f:x?x?1; ③A??x?Rx?0?,B?R,f:x?x2.

不是从集合A到B映射的有（ ）.

A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③

?0(x?0)?3. 已知f(x)???(x?0)，则f{f[f(?1)]}=（ ）

?x?1(x?0)? A. 0 B. ? C. 1?? D.无法求

1x4. 若f()?， 则f(x)= .

x1?x5. 已知f(x)=x2?1，g(x)=x?1则f[g(x)] = . 课后作业 111. 若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)?f(x?)的定义域.

44

2. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式费用分别为y1,y2（元）.

（1）写出y1,y2与x之间的函数关系式？

（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

学习目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性； 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P27~ P29，找出疑惑之处）

引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

① 随x的增大，y的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数f(x)?x?2、f(x)?x2的图象.

小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：单调性相关概念 思考：根据f(x)?x?2、f(x)?x2(x?0)的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

反思：

① 图象如何表示单调增、单调减？

② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

③ 函数f(x)?x2的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.

※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.

1（1）f(x)??3x?2； （2）f(x)?.

x

k(k?0)的单调性. xk例2 物理学中的玻意耳定律p?（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，

V压强p如何变化？试用单调性定义证明.

小结：

① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号； ② 证明函数单调性的步骤：

第一步：设x1、x2∈给定区间，且x1

※ 动手试试

练1.求证f(x)?x?1的(0,1)上是减函数，在[1,??)是增函数. x

练2. 指出下列函数的单调区间及单调性. （1）f(x)?|x|； （2）f(x)?x3.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 增函数、减函数、单调区间的定义；

2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.

3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展

a函数f(x)?x?(a?0)的增区间有[a,??)、(??,?a]，减区间有(0,a]、[?a,0) .

x 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数f(x)?x2?2x的单调增区间是（ ） A. (??,1] B. [1,??) C. R D.不存在

2. 如果函数f(x)?kx?b在R上单调递减，则（ ） A. k?0 B. k?0 C. b?0 D. b?0 3. 在区间(??,0)上为增函数的是（ ）

2A．y??2x B．y?

xC．y?|x| D．y??x2

4. 函数y??x3?1的单调性是 .

5. 函数f(x)?|x?2|的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 课后作业 1. 讨论f(x)?1的单调性并证明. x?a

2. 讨论f(x)?ax2?bx?c(a?0)的单调性并证明.

§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

学习目标 1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P30~ P32，找出疑惑之处）

复习1：指出函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的单调区间及单调性，并进行证明.

复习2：函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的最小值为 ，f(x)?ax2?bx?c(a?0)的最大值为 .

复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：函数最大（小）值的概念 思考：先完成下表， 函数 最高点 f(x)??2x?3 f(x)??2x?3,x?[?1,2] f(x)?x2?2x?1 f(x)?x2?2x?1,x?[?2,2] 最低点 讨论体现了函数值的什么特征？

新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.

试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．

反思：

一些什么方法可以求最大（小）值？

※ 典型例题

例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？

变式：经过多少秒后炮弹落地？

试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？

小结：

数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.

3例2求y?在区间[3，6]上的最大值和最小值.

x?2

3?x变式：求y?,x?[3,6]的最大值和最小值.

x?2

小结：

先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.

试试：函数y?(x?1)2?2,x?[0,1]的最小值为 ，最大值为 . 如果是x?[?2,1]呢？

※ 动手试试

练1. 用多种方法求函数y?2x?x?1最小值.

变式：求y?x?1?x的值域.

练2. 一个星级旅房价（元）经理得到 住房率（%） 馆有150个标准房，经过一段时间的经营，一些定价和住房率的数据如右： 160 55 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 140 65 120 75 100 85

三、总结提升

※ 学习小结

1. 函数最大（小）值定义；.

2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.

※ 知识拓展

求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例

aaam?n如求f(x)??x2?ax在区间[m,n]上的值域，则先求得对称轴x?，再分?m、m??、

2222m?naa??n、?n等四种情况,由图象观察得解. 222 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数f(x)?2x?x2的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数y?|x?1|?2的最小值是（ ）. A. 0 B. －1 C. 2 D. 3 3. 函数y?x?x?2的最小值是（ ）.

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4. 已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且在区间(??,0)上，当x??1时，f(x)有最小值3，则在区间(0,??)上，当x? 时，f(x)有最 值为 .

5. 函数y??x2?1,x?[?1,2]的最大值为 ，最小值为 . 课后作业 1. 作出函数y?x2?2x?3的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值． （1）?1?x?0； （2）0?x?3 ；（3）x?(??,??).

2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截

面面积最大？

§1.3.2 奇偶性

学习目标 1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；

2. 学会判断函数的奇偶性；

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P33~ P36，找出疑惑之处）

复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.

1（1）f(x)?x2?1； （2）f(x)?

x

复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x).

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：奇函数、偶函数的概念

思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：

1（1）f(x)?x、f(x)?、f(x)?x3；

x（2）f(x)?x2、f(x)?|x|.

观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？

新知：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么函数f(x)叫偶函数（even function）.

试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.

反思：

① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？

② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.

1试试：已知函数f(x)?2在y轴左边的图象如图所示，画出它右边的图

x象.

※ 典型例题

例1 判别下列函数的奇偶性：

（1）f(x)?3x4； （2）f(x)?4x3；

（3）f(x)??3x4?5x2； （4）f(x)?3x?1. 3x

小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算f(?x)，并与f(x)进行比较.

试试：判别下列函数的奇偶性：

1（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （2）f(x)＝x＋；

xx（3）f(x)＝； （4）f(x)＝x2, x∈[-2,3]. 21?x

例2 已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.

变式：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.

小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.

※ 动手试试

练习：若f(x)?ax3?bx?5，且f(?7)?17，求f(7).

三、总结提升

※ 学习小结

1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；

2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质. 3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.

※ 知识拓展

定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 对于定义域是R的任意奇函数f(x)有（ ）. A．f(x)?f(?x)?0 B．f(x)?f(?x)?0 C．f(x)?f(?x)?0 D．f(0)?0

2. 已知f(x)是定义(??,??)上的奇函数，且f(x)在?0,???上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）

A. f(5)?f(?5) B.f(4)?f(3) C. f(?2)?f(2) D.f(?8)?f(8) 3. 下列说法错误的是（ ）.

1 A. f(x)?x?是奇函数

x B. f(x)?|x?2|是偶函数

C. f(x)?0,x?[?6,6]既是奇函数，又是偶函数

x3?x2D.f(x)?既不是奇函数，又不是偶函数

x?14. 函数f(x)?|x?2|?|x?2|的奇偶性是 . 5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 . 课后作业 1. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)?g(x)?1，求f(x)、g(x). x?1

2. 设f(x)在R上是奇函数，当x>0时，f(x)?x(1?x)， 试问：当x<0时，f(x)的表达式是什么？

§1.3 函数的基本性质（练习）

学习目标 1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；

2. 能应用函数的基本性质解决一些问题； 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备

（复习教材P27~ P36，找出疑惑之处）

复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？

复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

二、新课导学

※ 典型例题

例1 作出函数y＝x2－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.

小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作. 变式：y＝|x2－2x－3| 的图象如何作？

反思：

如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？

例2已知f(x)是奇函数，在(0,??)是增函数，判断f(x)在(??,0)上的单调性，并进行证明.

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