2010届高考数学总复习：第三章 - 导数及其应用（共12

一、选择题

1.(2009年广东卷.文)函数f(x)?(x?3)ex的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) 答案 D

解析 f?(x)?(x?3)?ex?(x?3)ex

( )

????(x?2)ex,令f?(x)?0,解得x?2,故选D

2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2 答案 B

解:设切点P(x0,y0)，则y0?x0?1,y0?ln(x0?a),又?y'|x?x0?1?1

x0?a?x0?a?1?y0?0,x0??1?a?2.故答案 选B

3.（2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线

y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是

( )

A.y?2x?1 B.y?x C.y?3x?2 D.y??2x?3答案 A

解析 由f(x)?2f(2?x)?x?8x?8得几何f(2?x)?2f(x)?(2?x)?8(2?x)?8， 即2f(x)?f(2?x)?x?4x?4，∴f(x)?x∴f(x)?2x，∴切线方程y?1?2(x?1)，即

22/222x?y?1?0选A

234.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x和y?ax?15x?9都相切，则a等于 4( )

A．?1或-答案 A

25217257 B．?1或 C．?或- D．?或7

4464464解析 设过(1,0)的直线与y?x相切于点(x0,x03)，所以切线方程为

3y?x03?3x02(x?x0)

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3， 225152x?9相切可得a??， 当x0?0时，由y?0与y?ax?64432727152x?x?9相切可得a??1，所以选A. 当x0??时，由y?与y?ax?2444即y?3x02x?2x03，又(1,0)在切线上，则x0?0或x0??5.（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A．4 B．?答案 A

解析 由已知g?(1)?2，而f?(x)?g?(x)?2x，所以f?(1)?g?(1)?2?1?4故选A 力。

6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线y?

( )

11 C．2 D．? 42x在点?1,1?处的切线方程为2x?1( )

A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0 答案 B 解

2x?1?2x1y?|x?1?|x?1?[?]|??1, 22x?1(2x?1)(2x?1)故切线方程为y?1??(x?1),即x?y?2?0 故选B.

7.（2009湖南卷文）若函数y?f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数， ．．．则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是 y y y

y

( )

o a b x o a

o b x a

o b x a

b x

A ． B． C． D．

解析 因为函数y?f(x)的导函数即在区间[a,b]上各点处的斜率．．．y?f?(x)在区间[a,b]上是增函数，

k是递增的，由图易知选A. 注意C中y??k为常数噢.

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8.（2009辽宁卷理）若x1满足2x+2=5, x2满足2x+2log2(x－1)=5, x1+x2＝ A.

x( )

57 B.3 C. D.4 221答案 C

解析 由题意2x1?2x?5 ①

??1) 5 2x2?2lo2gx(② 2 所以2x?5?2x1,x1?log2(5?2x1)

1 即2x1?2log2(5?2x1)

令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1) ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2

9.（2009天津卷理）设函数f(x)?1x?lnx(x?0),则y?f(x) 3

( )

1e1B在区间(,1),(1,e)内均无零点。

e1C在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。

e1D在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。

eA在区间(,1),(1,e)内均有零点。

【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析 由题得f`(x)?11x?3??，令f`(x)?0得x?3；令f`(x)?0得0?x?3；3x3xf`(x)?0得x?3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,??)

为增函数，在点x?3处有极小值1?ln3?0；又

f(1)?1e11,f?e???1?0,f()??1?0，故选择D。 33e3e二、填空题

x2?a10.（2009辽宁卷文）若函数f(x)?在x?1处取极值，则a?

x?12x(x?1)?(x2?a)解析 f’(x)＝

(x?1)2 f’(1)＝答案 3

3?a＝0 ? a＝3 4

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11.若曲线f?x??ax2?Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 解析 解析 由题意该函数的定义域x?0，由f此时斜率为0，问题转化为x?0范围内导函数f???x??2ax?1。因为存在垂直于y轴的切线，故x?x??2ax?1存在零点。 x解法1 （图像法）再将之转化为g?x???2ax与h?x??1存在交点。当a?0不符合题意，当a?0时，x如图1，数形结合可得显然没有交点，当a?0如图2，此时正好有一个交点，故有a?0应填???,0? 或是?a|a?0?。

解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程2ax?1?0在?0,???内有解，显然可得xa??1????,0? 2x212.（2009江苏卷）函数f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。

f?(x)?3x2?30x?33?3(x?11)(x?1)，

由(x?11)(x?1)?0得单调减区间为(?1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。

13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。

3y??3x2?10?2?x??2，又点P在第二象限内，?x??2点P的坐标为（-2，15）

答案 : a?1 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.

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14.（2009福建卷理）若曲线f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________. 答案 (??,0)

解析 由题意可知f(x)?2ax?所以2ax?2'21，又因为存在垂直于y轴的切线， x11?0?a??3(x?0)?a?(??,0)。 x2x15.(2009陕西卷理)设曲线y?xn?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，则a1?a2???a99的值为 .

答案 -2

解析：点（1，1）在函数y?xn?1(n?N*)的图像上，?（1，1）为切点，y?xn?1的导函数为y'?(n?1)xn?y'|x?1?n?1?切线是：y?1?(n?1)(x?1)令y=0得切点的横坐标：xn?nn?11298991a1?a2?...?a99?lgx1x2...x99?lg??...???lg??22399100100

16.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)

②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；

③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）

答案 ①③④

解析 ①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是真命题

②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

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f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e

∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖， 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

17.（2009宁夏海南卷文）曲线y?xex?2x?1在点（0,1）处的切线方程为 。 答案 y?3x?1

解析 y'?ex?xex?2，斜率k＝e?0?2＝3，所以，y－1＝3x，即y?3x?1 三、解答题

18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．设函数f?x??x?3bx?3cx在两个极值点x1、x2，且x1?[?1，0],x2?[1,2].

320（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点?b,c?的区域； (II)证明：?10?f?x2???1 2分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。

f??x??3x2?6bx?3c由题意知方程f??x??0有两个根x1、x2

且x1?[?1，0],x2?[1,2].则有f???1??0，f??0??0，f??1??0，f??2??0故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点?b,c?的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标f?x2??x2?3bx2?3cx2中的b，（如果消 c会较繁琐）再利用x2的范围，并借

32助（I）中的约束条件得c?[?2,0]进而求解，有较强的技巧性。

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解析 由题意有f??x2??3x22?6bx2?3c?0．．．．．．．．．．．．① 又f?x2??x23?3bx22?3cx2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 消去b可得f?x2???133cx2?x2． 221 219.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R)． (2?)?又?x2?[1,2]，且c?[?2,0] ??10?fx （I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．

2解析 （Ⅰ）由题意得f?(x)?3x?2(1?a)x?a(a?2)

又?f(0)?b?0 ，解得b?0，a??3或a?1

?f(0)??a(a?2)??3?? （Ⅱ）函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于

导函数f?(x)在(?1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f?(x)在(?1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有

f?(?1)f?(1)?0， 即：[3?2(1?a)?a(a?2)][3?2(1?a)?a(a?2)]?0 整理得：(a?5)(a?1)(a?1)2?0，解得?5?a??1 20.（2009北京文）（本小题共14分）

设函数f(x)?x3?3ax?b(a?0).

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(2,f(x))处与直线y?8相切，求a,b的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点.

解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）f'?x??3x2?3a,

∵曲线y?f(x)在点(2,f(x))处与直线y?8相切，

'??3?4?a??0?a?4,?f?2??0?????∴?

b?24.8?6a?b?8f2?8???????'2（Ⅱ）∵f?x??3x?a???a?0?,

当a?0时，f'?x??0，函数f(x)在???,???上单调递增，

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此时函数f(x)没有极值点.

当a?0时，由f'?x??0?x??a，

??当x???a,a?时，f?x??0，函数f(x)单调递减， 当x??a,???时，f?x??0，函数f(x)单调递增，

当x???,?a时，f'?x??0，函数f(x)单调递增，

''∴此时x??a是f(x)的极大值点，x?21.（2009北京理）（本小题共13分） 设函数f(x)?xekx(k?0)

a是f(x)的极小值点.

（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间(?1,1)内单调递增，求k的取值范围.

解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查

综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）f'?x???1?kx?ekx,f'?0??1,f?0??0,

曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x. （Ⅱ）由f'?x???1?kx?ekx?0，得x??k?k?0?，

??1?'?时，f?x??0，函数f?x?单调递减， k?1 若k?0，则当x????,?当x????1?,??,?时，f'?x??0，函数f?x?单调递增， ?k???1?'?时，f?x??0，函数f?x?单调递增， k? 若k?0，则当x????,? 当x????1?,??,?时，f'?x??0，函数f?x?单调递减， ?k?1??1， k（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k?0，则当且仅当?即k?1时，函数f?x???1,1?内单调递增，

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若k?0，则当且仅当?1?1， k即k??1时，函数f?x???1,1?内单调递增，

综上可知，函数f?x???1,1?内单调递增时，k的取值范围是??1,0???0,1?. 22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）

已知函数f(x)?13ax?bx2?x?3,其中a?0 3（1）当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?

（2）已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 解: (1)由已知得f'(x)?ax2?2bx?1,令f'(x)?0,得ax?2bx?1?0,

2f(x)要取得极值,方程ax2?2bx?1?0必须有解,

所以△?4b?4a?0,即b?a, 此时方程ax?2bx?1?0的根为

222?2b?4b2?4a?b?b2?a?2b?4b2?4a?b?b2?a,x2?, x1???2aa2aa所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2)

当a?0时,

x f’(x) f (x)

(-∞,x1) ＋ 增函数

x 1 0 极大值

(x1,x2) － 减函数

x2 0 极小值

(x2,+∞) ＋ 增函数

所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当a?0时,

x f’(x) f (x)

(-∞,x2) － 减函数

x 2 0 极小值

(x2,x1) ＋ 增函数

x1 0 极大值

(x1,+∞) － 减函数

所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b?a时, f(x)取得极值.

22(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f'(x)?ax?2bx?1?0在(0,1]上恒成立.

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ax1ax1?,x?(0,1]恒成立, 所以b?(??)max 22x22x1a(x2?)ax1a1a, ?设g(x)??,g'(x)???2?22x22x2x2即b??令g'(x)?0得x?11或x??(舍去),

aa当a?1时,0?1ax11?1,当x?(0,)时g'(x)?0,g(x)???单调增函数; a22xa当x?(ax11,1]时g'(x)?0,g(x)???单调减函数,

22xa所以当x?11)??a. 时,g(x)取得最大,最大值为g(aa所以b??a 当0?a?1时,ax11?1,此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)???在区间(0,1]上单调

22xaa?1a?1,所以b?? 22a?1综上,当a?1时, b??a; 当0?a?1时, b??

2递增,当x?1时g(x)最大,最大值为g(1)??【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22.设函数f(x)?13x?(1?a)x2?4ax?24a，其中常数a>1 3(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解析 （I）f?(x)?x?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)

2 由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数；

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当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数； 当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数。

综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。 （II）由（I）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。

1f(2a)?(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a

34??a3?4a2?24a

3f(0)?24a

由假设知

?a?1,?a?1?4??f(2a)?0, 即???a(a?3)(a?6)?0, 解得 1

23.（2009广东卷理）（本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值

m?1(m?0)．设f(x)?g(x)． x（1）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点．

2解析 （1）依题可设g(x)?a(x?1)?m?1 (a?0)，则g'(x)?2a(x?1)?2ax?2a；

又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1

g?x?m?x??2， ?g(x)?(x?1)?m?1?x?2x?m， f?x??xx222222设Pxo,yo，则|PQ|?x0?(y0?2)?x0?(x0???m2) x0m2?2x?2?2m?22m2?2m?22|m|?2m

x020

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m2当且仅当2x?2时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值2

x020当m?0时，(22?2)m?当m?0时，(?22?2)m?2 解得m?2?1 2 解得m??2?1

（2）由y?f?x??kx??1?k?x?m?2?0(x?0)，得?1?k?x2?2x?m?0 ?*? xmm当k?1时，方程?*?有一解x??，函数y?f?x??kx有一零点x??；

22当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0， 若m?0，k?1?1， m函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m(1?k)，即

2(1?k)x?1?1?m(1?k)；

k?11， m若m?0，k?1?1?1?m(1?k)?2?4?4m(1?k)函数y?f?x??kx有两个零点x?，即x?；

k?12(1?k)当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0, k?1?函数y?f?x??kx有一零点x?1, m1??m k?1m； 2综上，当k?1时, 函数y?f?x??kx有一零点x??当k?1?11(m?0)，或k?1?（m?0）时， mm函数y?f?x??kx有两个零点x?当k?1?1?1?m(1?k)；

k?111??m. 时，函数y?f?x??kx有一零点x?mk?12?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性. x24.（2009安徽卷理）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算

求解的能力。本小题满分12分。

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2ax2?ax?2. 解析 f(x)的定义域是(0,+?),f?(x)?1?2??xxx2设g(x)?x2?ax?2,二次方程g(x)?0的判别式??a?8.

当??a?8?0，即0?a?22时，对一切x?0都有f?(x)?0,此时f(x)在(0,??)上是增函数。 ①当??a?8?0,即a?22时，仅对x?2222有f?(x)?0,对其余的x?0都有

f?(x)?0,此时f(x)在(0,??)上也是增函数。

① 当??a?8?0，即a?22时，

2a?a2?8a?a2?8方程g(x)?0有两个不同的实根x1?,x2?,0?x1?x2.

22x

f?(x)f(x)(0,x1)

+ 单调递增

x1

0 极大

(x1,x2)

_ 单调递减?

x2

0 极小

(x2,??)+ 单调递增

?

a?a2?8a?a2?8a?a2?8此时f(x)在(0,)上单调递增, 在(,)是上单调递减, 在

222a?a2?8(,??)上单调递增.

225.（2009安徽卷文）（本小题满分14分）

已知函数（Ⅰ）讨论

的单调性；

在区间{1，

，a＞0，

（Ⅱ）设a=3，求}上值域。期中e=2.71828?是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据

2?1,e第一问中所涉及到的单调性来求函数f(x)在???上的值域。

解析 (1)由于f(x)?1?令t?2a? 2xx1得y?2t2?at?1(t?0) x

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①当??a?8?0,即0?a?22时, f(x)?0恒成立.

2?f(x)在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.

②当??a?8?0,即a?22时

2a?a2?8a?a2?8由2t?at?1?0得t?或t?

442a?a2?8a?a2?8或x?0或x? ?0?x?44a?a2?8a?a2?8a?a2?8a?a2?8又由2t?at??0得 ?t???x?44222综上①当0?a?22时, f(x)在(??,0)及(0,??)上都是增函数.

a?a2?8a?a2?8②当a?22时, f(x)在(,)上是减函数,

22a?a2?8a?a2?8在(??,0)(0,)及(,??)上都是增函数.

22(2)当a?3时,由(1)知f(x)在?1,2?上是减函数.

2在??2,e??上是增函数.

又f(1)?0,f(2)?2?3ln2?0f(e)?e?222?5?0 e22??22?1,e上的值域为 2?3ln2,e??5?函数f(x)在?2????e??26.（2009江西卷文）（本小题满分12分） 设函数f(x)?x?392x?6x?a． 2（1）对于任意实数x，f?(x)?m恒成立，求m的最大值； （2）若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

解析 (1) f(x)?3x?9x?6?3(x?1)(x?2),

因为x?(??,??),f(x)?m, 即 3x?9x?(6?m)?0恒成立,

'2'2

第14 页

所以 ??81?12(6?m)?0, 得m??33，即m的最大值为? 44 (2) 因为 当x?1时, f'(x)?0;当1?x?2时, f'(x)?0;当x?2时, f'(x)?0; 所以 当x?1时,f(x)取极大值 f(1)?5?a; 2 当x?2时,f(x)取极小值 f(2)?2?a;

故当f(2)?0 或f(1)?0时, 方程f(x)?0仅有一个实根. 解得 a?2或a?27.（2009江西卷理）（本小题满分12分）

5. 2ex设函数f(x)?

x(1)求函数f(x)的单调区间；

(1)若k?0，求不等式f'(x)?k(1?x)f(x)?0的解集． 解析 (1)f(x)??'1x1xx?1xe?e?2e, 由f'(x)?0,得 x?1. 2xxx因为 当x?0时,f'(x)?0； 当0?x?1时,f'(x)?0； 当x?1时,f'(x)?0；

(0,1]. 所以f(x)的单调增区间是:[1,??)； 单调减区间是: (??,0)，x?1?kx?kx2x(x?1)(?kx?1)xe?0, e?(2)由 f(x)?k(1?x)f(x)?22xx' 得：(x?1)(kx?1)?0.

故：当 0?k?1时, 解集是：{x1?x?}； 当 k?1时，解集是： ?； 当 k?1时, 解集是：{x1k1?x?1}.k28.（2009天津卷文）（本小题满分12分） 设函数f(x)??13x?x2?(m2?1)x,(x?R,)其中m?0 31，f（1））（Ⅰ）当m?1时，曲线y?f(x)在点（处的切线斜率

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1?x2。若对任意的

x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立，求m的取值范围。

第15 页

答案 （1）1（2）f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)内增函数。函数f(x)231m?m2? 332312函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)，且f(1?m)=?m?m?

33132/2'解析 解析 当m?1时，f(x)?x?x,f(x)?x?2x,故f(1)?1

3在x?1?m处取得极大值f(1?m)，且f(1?m)=所以曲线y?f(x)在点（处的切线斜率为1. 1，f（1））（2）解析 f'(x)??x2?2x?m2?1，令f'(x)?0，得到x?1?m,x?1?m 因为m?0,所以1?m?1?m

当x变化时，f(x),f'(x)的变化情况如下表：

x f'(x)

f(x)

(??,1?m)

+

1?m

0 极小值

(1?m,1?m)-

1?m

0 极大值

(1?m,??)

+

f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)内增函数。

231m?m2? 332312函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)，且f(1?m)=?m?m?

331212（3）解析 由题设， f(x)?x(?x?x?m?1)??x(x?x1)(x?x2)

3312422所以方程?x?x?m?1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1?x2?3，且??1?(m?1)?0，

3311解得m??(舍)，m?

223因为x1?x2,所以2x2?x1?x2?3,故x2??1

21若x1?1?x2,则f(1)??(1?x1)(1?x2)?0，而f(x1)?0，不合题意

3函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m)，且f(1?m)=若1?x1?x2,则对任意的x?[x1,x2]有x?x1?0,x?x2?0, 则f(x)???1x(x?x1)(x?x2)?0又f(x1)?0，所以函数f(x)在x?[x1,x2]的最小值为0，于32是对任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立的充要条件是f(1)?m?133?0,解得??m?333

第16 页

综上，m的取值范围是(,13) 23【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

30.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 在R上定义运算?:p?q??12。记f1??????2c，?p?c??q?b??4bc（b、c为实常数）

3f2??????2b，??R.令f????f1????f2???.

???如果函数f???在??1处有极什?3,试确定b、c的值； ????求曲线y?f???上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

4?????记g?x??解c恒成立，试示k的最大值。 f??x?|??1?x?1?的最大值为M.若M?k对任意的b、

当b?1时，函数y?f?(x)得对称轴x=b位于区间[?1,1]之外 此时M?max{g(?1),g(1),g(b)}

由f?(1)?f?(?1)?4b,有f?(b)?f?(?1)?(bm1)2?0

①若?1?b?0,则f?(1)?f?(-1)?f?(b),?g(-1)?max{g(?1),g(b)} 于是M?max{f?(?1),f?(b)}?111(f?(1)?f?(b))?(f?(1)?f?(b))?(b?1)2 222①若0?b?1，则f?(=1)?f?(1)?f?(b)，?g(1)?max{g(?1),g(b)} 于是

1111M?max{f?(?1),f?(b)}?(f?(?1)?f?(b))?(f?(?1)?f?(b))?(b?1)2?

22221综上，对任意的b、c都有M?

2而当，b?0,c?1112时，g(x)??x?在区间[?1,1]上的最大值M? 222故M?K对任意的b，c恒成立的k的最大值为31.（2009四川卷文）（本小题满分12分）

12

已知函数f(x)?x?2bx?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 （I）求函数f(x)的解析式；

32

第17 页

（II）设函数g(x)?f(x)?时对应的自变量x的值.

1mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值3解析 （I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即4b?c?3?0??① 又f?(x)?3x2?4bx?c，由已知f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??② 联立①②，解得b??1,c?1.

所以函数的解析式为f(x)?x3?2x2?x?2 ?????????????4分 （II）因为g(x)?x?2x?x?2?令g?(x)?3x?4x?1?2321mx 31m?0 31m?0有实数解，32当函数有极值时，则??0，方程3x?4x?1?

由??4(1?m)?0，得m?1. ①当m?1时，g?(x)?0有实数x?22，在x?左右两侧均有g?(x)?0，故函数g(x)无极值 33②当m?1时，g?(x)?0有两个实数根

11x1?(2?1?m),x2?(2?1?m),g?(x),g(x)情况如下表：

33x g?(x) g(x) (??,x1) + ↗ x1 0 极大值 (x1,x2) - ↘ x2 0 极小值 (x2??) + ↗ 所以在m?(??,1)时，函数g(x)有极值； 当x?11(2?1?m)时，g(x)有极大值；当x?(2?1?m)时，g(x)有极小值； 33 ?????????????12分

32.（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)

设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2

2（I）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性； （II）证明：f?x2??1?2In24

第18 页

a2x2?2x?a?(x??1) 解: （I）f??x??2x?1?x1?x 令g(x)?2x2?2x?a，其对称轴为x??1。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个均大于?1的不2???4?8a?01相等的实根，其充要条件为?，得0?a?

2?g(?1)?a?0⑴当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数；

⑵当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数； ⑶当x?(x2,??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数； （II）由（I）g(0)?a?0,??1?x2?0，a??(2x22+2x2) 2?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?

设h?x??x?(2x?2x)ln?1?x?(x??)，

2212则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x? ⑴当x?(?11,0)时，h??x??0,?h(x)在[?,0)单调递增； 22⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。

111?2ln2?当x?(?,0)时,h?x??h(?)?

2241?2In2故f?x2??h(x2)?．

433.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?x?bx?cx的导函数的图象关于直线x=2对称. （Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若f(x)在x?t处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。

2解: （Ⅰ）f?(x)?3x?2bx?c.因为函数f?(x)的图象关于直线x=2对称，

32所以?2b?2，于是b??6. 6（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?x?6x?cx，f?(x)?3x?12x?c?3(x?2)?c?12. （ⅰ）当c ? 12时，f?(x)?0，此时f(x)无极值。

3222

第19 页

（ii）当c<12时，f?(x)?0有两个互异实根x1,x2.不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2. 当x＜x1时，f?(x)?0， f(x)在区间(??,x1)内为增函数；

当x1＜x＜x2时，f?(x)?0，f(x)在区间(x1,x2)内为减函数; 当x?x2时，f?(x)?0，f(x)在区间(x2,??)内为增函数.

所以f(x)在x?x1处取极大值，在x?x2处取极小值.

因此，当且仅当c?12时，函数f(x)在x?x2处存在唯一极小值，所以t?x2?2. 于是g(t)的定义域为(2,??).由 f?(t)?3t2?12t?c?0得c??3t?12t. 于是g(t)?f(t)?t3?6t2?ct??2t3?6t2,t?(2,??).

2当t?2时，g?(t)??6t2?12t?6t(2?t)?0,所以函数g(t) 在区间(2,??)内是减函数，故g(t)的值域为(??,8).35.（2009福建卷理）（本小题满分14分） 已知函数f(x)?

13x?ax2?bx,且f'(?1)?0 3(1) 试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；

（2）令a??1,设函数f(x)在x1,x2(x1?x2)处取得极值，记点M (x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)),

x1?m?x2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m ?(x1, x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x ?n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程） 解法一:

(Ⅰ)依题意,得f'(x)?x2?2ax?b 由f'(?1)?1?2a?b?0得b?2a?1.

1从而f(x)?x3?ax2?(2a?1)x,故f'(x)?(x?1)(x?2a?1).

3令f'(x)?0,得x??1或x?1?2a.

第20 页

①当a>1时, 1?2a??1

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

x

(??,1?2a)

+ 单调递增

(1?2a,?1)

－ 单调递减

(?1,??)

+ 单调递增

f'(x) f(x)

由此得，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)。

②当a?1时，1?2a??1此时有f'(x)?0恒成立，且仅在x??1处f'(x)?0，故函数f(x)的单调增区间为R

③当a?1时，1?2a??1同理可得，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为(?1,1?2a)

综上：

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)； 当a?1时，函数f(x)的单调增区间为R；

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为(?1,1?2a). (Ⅱ)由a??1得f(x)?13x?x2?3x令f(x)?x2?2x?3?0得x1??1,x2?3 3由（1）得f(x)增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，所以函数f(x)在处x1??1,x2?3取得极值，故M（?1,5）N（3,?9）。 3观察f(x)的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp-f'(m)的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－f'(m)的m正负有着密切的关联；

③Kmp－f'(m)=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－f'(m)的m就是所求的t最小值，

2下面给出证明并确定的t最小值.曲线f(x)在点P(m,f(m))处的切线斜率f'(m)?m?2m?3；

第21 页

m2?4m?5线段MP的斜率Kmp?

3当Kmp－f'(m)=0时，解得m??1或m?2

m2?4m?5m2?4mx?) 直线MP的方程为y?(33m2?4m?5m2?4mx?) 令g(x)?f(x)?(33当m?2时，g'(x)?x2?2x在(?1,2)上只有一个零点x?0，可判断f(x)函数在(?1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又g(?1)?g(2)?0，所以g(x)在(?1,2)上没有零点，即线段MP与曲线f(x)没有异于M，P的公共点。

m2?4m?0.g(2)??(m?2)2?0 当m??2,3?时，g(0)??3所以存在m??0,2?使得g(?)?0

即当m??2,3?时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点

综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为?1,3? 解法二：

（1）同解法一.

（2）由a??1得f(x)??13x?x2?3x，令f'(x)?x2?2x?3?0，得x1??1,x2?3 3由（1）得的f(x)单调增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，所以函数在处取得极值。故M(?1,5).N(3,?9) 3m2?4m?5m2?4m (Ⅰ) 直线MP的方程为y?x?.

33?m2?4m?5m2?4my?x???33由?

1?y?x3?x2?3x?3?得x3?3x2?(m2?4m?4)x?m2?4m?0

线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 g(x)?x3?3x2?(m2?4m?4)x?m2?4m在(-1,m)上有零点.

第22 页

因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.

又g(?1)?g(m)?0.因此, g(x)在(?1,m)上有零点等价于g(x)在(?1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点,即g'(x)?3x2?6x?(m2?4m?4)?0在(1,m)内有两不相等的实数根. ???＝36?12（m2?4m?4）＞0等价于??3(?1)2?6?(m2?4m?4)?0? 即??1?m?5?3m2?6m?(m2?m?2或m??1,解得?4m?4)?02?m?5

???m?1?m?1又因为?1?m?3,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r的最小值为2. 36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）

设f(x)?ex(ax2?x?1)，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。 (2)求a的值，并讨论f（x）的单调性； (1)证明：当??[0,?2]时，f(cos?)?f(sin?)?2

解析 （Ⅰ）f'(x)?ex(ax2?x?1?2ax?1).有条件知，

f'(1)?0，故a?3?2a?0?a??1. ???2分f'(x)?ex?(x2?x?2)??exx(?2)(x?. 1)故当x?(??,?2)?(1,??)时，f'(x)＜0； 当x?(?2,1)时，f'(x)＞0.

从而f(x)在(??,?2)，(1,??)单调减少，在(?2,1)单调增加. ???6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0,1]单调增加，故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)?e， 最小值为f(0)?1.

从而对任意x1，x2?[0,1]，有f(x1)?f(x2)?e?1?2. ???10分 而当??[0,?2]时，cos?,sin??[0,1].

从而 f(cos?)?f(sin?)?2 ???12分 37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=

12x2－ax+(a－1)lnx，a?1。 （1）讨论函数f(x)的单调性；

第23 页

于是

（2）证明：若a?5，则对任意x1，x2?(0,??)，x1?x2，有解析 (1)f(x)的定义域为(0,??)。

f(x1)?f(x2)??1。

x1?x2a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a)f(x)?x?a???2分

xxx'（i）若a?1?1即a?2,则

(x?1)2f(x)?

x'故f(x)在(0,??)单调增加。

(ii)若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时，f'(x)?0; 当x?(0,a?1)及x?(1,??)时，f'(x)?0

故f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加。

(iii)若a?1?1,即a?2,同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调增加. (II)考虑函数 g(x)?f(x)?x

?12x?ax?(a?1)lnx?x 2则g?(x)?x?(a?1)?a?1a?1?2xg?(a?1)?1?(a?1?1)2 xx由于1

f(x1)?f(x2)?x1?x2?0f(x?)f2(?x1?x21，故

f(x1)?f(x2)??1x1?x2，当

0?x1?x2时，有

x)?2f(x)1f(x)??1·········12分

?x2x138.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?(x?3x?ax?b)e （1）如a?b??3，求f(x)的单调区间；

（1）若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在(?,2),(?,??)单调减少，证明

32?x

第24 页

???＜6.

（21）解析

（Ⅰ）当a?b??3时，f(x)?(x3?3x2?3x?3)e?x，故

f'(x)??(x3?3x2?3x?3)e?x?(3x2?6x?3)e?x ??e?x(x?3?9x) ??x(x?3)(x?3)e?x

当x??3或0?x?3时，f'(x)?0; 当?3?x?0或x?3时，f'(x)?0.

从而f(x)在(??,?3),(0,3)单调增加，在（?3，单调减少. 0），（3，??）(Ⅱ)f'(x)??(x3?3x2?ax?b)e?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3?(a?6)x?b?a]. 由条件得：f'(2)?0,即23?2(a?6)?b?a?0,故b?4?a,从而

f'(x)??e?x[x3?(a?6)x?4?2a].

因为f'(?)?f'(?)?0,所以

x3?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??) ?(x?2)(x2?(???)x???).

将右边展开，与左边比较系数得，?????2,???a?2.故

????(???)2?4???12?4a.

又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0.由此可得a??6.

于是????6.

39.（2009陕西卷文）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?3ax?1,a?0

3???求f(x)的单调区间；

直线y=my与y?????若f(x)在x??1处取得极值，

f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

第25 页

解析 （1）f'(x)?3x2?3a?3(x2?a), 当a?0时，对x?R，有f'(x)?0, 当a?0时，f(x)的单调增区间为(??,??) 当a?0时，由f'(x)?0解得x??a或x?由f'(x)?0解得?a?x?a；

a，

当a?0时，f(x)的单调增区间为(??,?a),(a,??)；f(x)的单调减区间为(?a,a)。 （2）因为f(x)在x??1处取得极大值， 所以f'(?1)?3?(?1)2?3a?0,?a?1. 所以f(x)?x3?3x?1,f'(x)?3x2?3, 由f(x)?0解得x1??1,x2?1。

由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x??1处取得极大值f(?1)?1， 在x?1处取得极小值f(1)??3。

因为直线y?m与函数y?f(x)的图象有三个不同的交点，又f(?3)??19??3，f(3)?17?1， 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(?3,1)。 40.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ln(ax?1)?'1?x,x?0，其中a?0 1?x???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； ????求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

a2ax2?a?2解（Ⅰ）f'(x)???, 22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a?12?a?2?0,解得a?1.

ax2?a?2（Ⅱ）f'(x)?, 2(ax?1)(1?x)

第26 页

∵x?0,a?0, ∴ax?1?0.

①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴f(x)的单调增区间为(0,??). ②当0?a?2时， 由f'(x)?0解得x?2?a2?a,由f'(x)?0解得x?, aa2-a2-a),单调增区间为（，??）. aa∴f(x)的单调减区间为（0，（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;

当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?a2?a处取得最小值f()?f(0)?1, aa综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??). 41.（2009四川卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 （I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)?f(x)?时对应的自变量x的值.

解析 （I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即4b?c?3?0??①

2又f?(x)?3x?4bx?c，由已知f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??②

1mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值3联立①②，解得b??1,c?1.

所以函数的解析式为f(x)?x?2x?x?2 ?????????????4分 （II）因为g(x)?x?2x?x?2?令g?(x)?3x?4x?1?232321mx 31m?0 31m?0有实数解，32当函数有极值时，则??0，方程3x?4x?1?

由??4(1?m)?0，得m?1. ①当m?1时，g?(x)?0有实数x?22，在x?左右两侧均有g?(x)?0，故函数g(x)无极值 33

第27 页

②当m?1时，g?(x)?0有两个实数根x1?表： 11(2?1?m),x2?(2?1?m),g?(x),g(x)情况如下33x g?(x) g(x) (??,x1) + ↗ x1 0 极大值 (x1,x2) - ↘ x2 0 极小值 (x2??) + ↗ 所以在m?(??,1)时，函数g(x)有极值； 当x?11(2?1?m)时，g(x)有极大值；当x?(2?1?m)时，g(x)有极小值； 33 ?????????????12分

42.（2009湖北卷文）（本小题满分14分） 已知关于x的函数f(x)＝

1x3＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣, 34，试确定b、c的值： 3记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M. (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-

（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:

(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）

2（I）解析 ?f'(x)??x?2bx?c，由f(x)在x?1处有极值?4 3?f'(1)??1?2b?c?0?可得?14

f(1)???b?c?bc???33?解得??b?1?b??1或 ,??c??1?c?322若b?1,c??1，则f'(x)??x?2x?1??(x?1)?0，此时f(x)没有极值；

2若b??1,c?3，则f'(x)??x?2x?3??(x?1)(x?1) 当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：

x (??,?3) ?3 (?3,1)

1

(1,??)

第28 页

f'(x) f(x)

?

0 极小值

+ 0 极大值

?

?

?12

?

?4 3?

4?当x?1时，f(x)有极大值?，故b??1，c?3即为所求。

3（Ⅱ）证法1：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)2?b2?c|

当|b|?1时，函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1.1]之外。

?f'(x)在[?1,1]上的最值在两端点处取得

故M应是g(?1)和g(1)中较大的一个

?2M?g(1)?g(?1)?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?|4b|?4,即M?2

证法2（反证法）：因为|b|?1，所以函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1,1]之外，

?f'(x)在[?1,1]上的最值在两端点处取得。

故M应是g(?1)和g(1)中较大的一个 假设M?2，则

g(?1)?|?1?2b?c|?2

g(1)?|?1?2b?c|?2将上述两式相加得：

4?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?4|b|?4，导致矛盾，?M?2

（Ⅲ）解法1：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)2?b2?c| （1）当|b|?1时，由（Ⅱ）可知M?2；

（2）当|b|?1时，函数y?f'(x）的对称轴x?b位于区间[?1,1]内，

此时M?max?g(?1),g(1),g(b)?

2由f'(1)?f'(?1)?4b,有f'(b)?f'(?1)?b(?1)?0

①若?1?b?0,则f'(1)?f'(?1)?f'(b),?g(?1)?max?g(1),g(b)?， 于是M?max?|f'(1),|f'(b)|??1111(|f'(1)|?f'(b)|)?|f'(1)?f'(b)|?(b?1)2? 2222

第29 页

②若0?b?1，则f'(?1)?f'(1)?f'(b),?g(1)?max?g(?1),g(b)? 于是M?max?|f'(?1)|,|f'(b)|??综上，对任意的b、c都有M?而当b?0,c?1111(|f'(?1)|?|f'(b)|)?|f'(?1)?f'(b)|?(b?1)2? 22221 2111时，g(x)??x2?在区间[?1,1]上的最大值M? 2221。 2故M?k对任意的b、c恒成立的k的最大值为解法2：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)2?b2?c| （1）当|b|?1时，由（Ⅱ）可知M?2；

（2）当|b|?1时，函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1,1]内， 此时M?max?g(?1),g(1),g(b)?

4M?g(?1)?g(1)?2g(h)?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?2|b2?c|

?|?1?2b?c?(?1?2b?c)?2(b2?c)|?|2b2?2|?2，即M?下同解法1

43.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x?3ax?9ax?a. (1) 设a?1，求函数f?x?的极值； (2) 若a?32231 21'，且当x??1,4a?时，f(x)?12a恒成立，试确定a的取值范围. 4请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

（21）解析

（Ⅰ）当a=1时，对函数f(x)求导数，得

f'(x)?3x2?6x?9.

令 f(x)?0,解得x1??1,x2?3.

'列表讨论f(x),f(x)的变化情况：

'

第30 页

x

f'(x)

(??,?1)

+

?1

0 极大值6

（-1，3） —

3 0 极小值-26

(3,??)

+

f(x)

? ? ?

所以，f(x)的极大值是f(?1)?6，极小值是f(3)??26.

（Ⅱ）f'(x)?3x2?6ax?9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称. 若

1?a?1,则f'(x)在[1,4a]上是增函数，从而 4f'(x)在[1,4a]上的最小值是f'(1)?3?6a?9a2,最大值是f'(4a)?15a2.

由|f'(x)|?12a,得?12a?3x2?6ax?9a2?12a,于是有

f'(1)?3?6a?9a2??12a,且f'(4a)?15a2?12a.

14?a?1,由f'(4a)?12a得0?a?. 3511414所以a?(,1]?[?,1]?[0,],即a?(,].

43545由f(1)??12a得?'若a>1,则|f(a)|?12a?12a.故当x?[1,4a]时|f(x)|?12a不恒成立.

'所以使|f(x)|?12a(x?[1,4a])恒成立的a的取值范围是(,].

'2'144544.（2009天津卷理）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?(x?ax?2a?3a)e(x?R),其中a?R (1)当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率；

22x(2)当a?2时，求函数f(x)的单调区间与极值。 3本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。

（I）解析 当a?0时，f(x)?xe，f'(x)?(x?2x)e，故f'(1)?3e.

2x2x所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.

（II）解：f'(x)?x?(a?2)x?2a?4ae.

?22?x令f'(x)?0，解得x??2a，或x?a?2.由a?2知，?2a?a?2. 3

第31 页

以下分两种情况讨论。 （1）若a＞

2，则?2a＜a?2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 3?2a

0 极大值

???，?2a?

+ ↗

??2a，a?2?— ↘

a?20 极

?a?2，???+ ↗

小值

所以f(x)在(??，?2a)，(a?2，??)内是增函数，在(?2a，a?2)内是减函数.

函数f(x)在x??2a处取得极大值f(?2a)，且f(?2a)?3ae?2a.

函数f(x)在x?a?2处取得极小值f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ea?2.

（2）若a＜

2，则?2a＞a?2，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 3a?20 极大值

???，a?2?

+ ↗

?a?2，?2a?— ↘

?2a

0 极

??2a，???+ ↗

小值

所以f(x)在(??，a?2)，(?2a，??)内是增函数，在(a?2，?2a)内是减函数。函数f(x)在x?a?2处取得极大值f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ea?2.

函数f(x)在x??2a处取得极小值f(?2a)，且f(?2a)?3ae?2a.

45.（2009四川卷理）（本小题满分12分） 已知a?0,且a?1函数f(x)?loga(1?ax)。 （I）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；

af(n); （II）若n?N,求limnn???a?a*（III）当a?e（e为自然对数的底数）时，设h(x)?(1?e求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。

f(x))(x2?m?1)，若函数h(x)的极值存在，

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解析 （Ⅰ）由题意知1?a?0

x

第32 页

当0?a?1 时，f(x)的定义域是（0，??）；当a?1时，f(x)的定义域是（??，0）-axlnaaxf?(x)=glogae?x

1?axa?1当0?a?1时，x?(0,??).因为ax?1?0,ax?0,故f?(x)<0,所以f(x)是减函数 当a?1时，x?(??,0),因为ax?1?0,ax?0,故f?(x)?0,所以f(x)是减函数….（4分） （Ⅱ）因为f(n)?loga(1?an),所以af(n)?1?an 由函数定义域知1?a>0,因为n是正整数，故0

naf(n)1?an1?limn?所以limn

n??a?an??a?aa（Ⅲ）（hx)?ex(x2?m?1)(x?0),所以h?(x)?ex(x2?2x?m?1) 令h?(x)?0,即x2?2x?m?1?0,由题意应有??0，即m?0

① 当m=0时，h?(x)?0有实根x??1，在x??1点左右两侧均有h?(x)?0故无极值 ② 当0?m?1时，h?(x)?0有两个实根x1??1?m,x2??1?m 当x变化时，h?(x)、h(x)的变化情况如下表所示：

x

h?(x)

(??,x1)

+ ↗

x1

0 极大值

(x1,x2)

- ↘

mx2

0 极小值

(x2,0)

+ ↗

h(x)

?h(x)的极大值为2e?1?m(1?m)，h(x)的极小值为2e?1?(1?m)

③ 当m?1时，h?(x)?0在定义域内有一个实根，x??1?m 同上可得h(x)的极大值为2e?1?m(1?m)

（0，??）综上所述，m?时，函数h(x)有极值；

当0?m?1时h(x)的极大值为2e?1?当m?1时，h(x)的极大值为2e?1?mm(1?m)，h(x)的极小值为2e?1?m(1?m)

(1?m)

第33 页

46.（2009福建卷文）（本小题满分12分）

13x?ax2?bx,且f'(?1)?0 3（I）试用含a的代数式表示b；

已知函数f(x)?（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）令a??1，设函数f(x)在x1,x2(x1?x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点； 解法一：

（I）依题意，得f'(x)?x2?2ax?b 由f'(?1)?1?2a?b?0得b?2a?1 （Ⅱ）由（I）得f(x)?13x?ax2?(2a?1)x（ 3 故f'(x)?x2?2ax?2a?1?(x?1)(x?2a?1) 令f'*(x)?0，则x??1或x?1?2a ①当a?1时，1?2a??1

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

x

f'(x) f(x)

(??,1?2a)

+ 单调递增

(?2a,?1)

— 单调递减

(?1??)

+ 单调递增

由此得，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)

②由a?1时，1?2a??1，此时，f'(x)?0恒成立，且仅在x??1处f'(x)?0，故函数f(x)的单调区间为R

③当a?1时，1?2a??1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为(?1,1?2a) 综上：

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)； 当a?1时，函数f(x)的单调增区间为R；

第34 页

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为(?1,1?2a) （Ⅲ）当a??1时，得f(x)?13x?x2?3x 3 由f'(x)?x3?2x?3?0，得x1??1,x2?3

由（Ⅱ）得f(x)的单调增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3) 所以函数f(x)在x1??1.x2?3处取得极值。 故M(?1,).N(3,?9) 所以直线MN的方程为y??538x?1 312?2y?x?x?3x??332 由?得x?3x?x?3?0

?y??8x?1?3? 令F(x)?x3?3x2?x?3

易得F(0)?3?0,F(2)??3?0，而F(x)的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线， 故F(x)在(0,2)内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点 解法二：

（I）同解法一 （Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）当a??1时，得f(x)?13x?x2?3x，由f'(x)?x2?2x?3?0，得x1??1,x2?3 3x由（Ⅱ）得f(x)的单调增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，所以函数f(x)在

x1??1,x2?3处取得极值，

故M(?1,),N(3,?9) 所以直线MN的方程为y??538x?1 313?2y?x?x?3x??332由?得x?3x?x?3?0 ?y??8x?1?3?解得x1??1,x2?1.x3?3

第35 页

?x1??1?x2?1?x3?3?? ??5?11?y1?,?y2??,?y3??9?3?3?所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(1,?11) 347.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

48.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。 （1） ．．．．．．16分

49.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

设函数f(x)?ax2?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x?2y?1?0． （Ⅰ）求a,b的值；

ex（Ⅱ）若函数g(x)?，讨论g(x)的单调性．

f(x)解（Ⅰ）因f(x)?ax2?bx?k(k?0),故f?(x)?2ax?b 又f(x)在x=0处取得极限值，故f?(x)?0,从而b?0

由曲线y=f(x)在（1，f（1））处的切线与直线x?2y?1?0相互垂直可知 该切线斜率为2，即f?(1)?2,有2a=2,从而a=1

ex(k?0) （Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)?2x?kex(x2?2x?k)g?(x)?(k?0)

(x2?k)2令g?(x)?0,有x?2x?k?0

（1）当??4?4k?0,即当k>1时，g?(x)>0在R上恒成立，

2故函数g(x)在R上为增函数

ex(x?1)2（2）当??4?4k?0,即当k=1时，g?(x)?2?0(x?0) 2(x?k)

第36 页

K=1时，g（x）在R上为增函数

（3）??4?4k?0,即当0

2x1?1?1?k,x2?1?1?k

当x?(??,1?1?k)是g?(x)?0,故g(x)在（??,1?1?k)上为增函数

当x?时，g?(x)?0,故g(x)在（上为减函数 （1?1?k,1?1?k）1?1?k,1?1?k）时，g?(x)?0,故g(x)在（上为增函数 x?（1?1?k，+?）1?1?k，+?）50.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）

已知f(x)?x2?bx?c为偶函数，曲线y?f(x)过点(2,5)，g(x)?(x?a)f(x)． （Ⅰ）求曲线y?g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若当x??1时函数y?g(x)取得极值，确定y?g(x)的单调区间． 解: （Ⅰ）?f(x)?x2?bx?c为偶函数,故f(?x)?f(x)即有

(?x)2?b(?x)?c?x2?bx?c 解得b?0

又曲线y?f(x)过点(2,5),得22?c?5,有c?1

?g(x)?(x?a)f(x)?x3?ax2?x?a从而g'(x)?3x2?2ax?1,?曲线y?g(x)有斜率为0的

'切线，故有g(x)?0有实数解.即3x?2ax?1?0有实数解.此时有??4a?12≥0解得

22???a???,?3????3,?? 所以实数a的取值范围:a???,?3???3,??

'（Ⅱ）因x??1时函数y?g(x)取得极值,故有g(?1)?0即3?2a?1?0,解得a?2 '2'又g(x)?3x?4x?1?(3x?1)(x?1) 令g(x)?0,得x1??1,x2??

????13当x?(??,?1)时, g(x)?0,故g(x)在(??,?1)上为增函数

'当x?(?1,?)时, g(x)?0,故g(x)在(?1,?)上为减函数 '当x?(?,??)时, g(x)?0,故g(x)在(?,??)上为增函数

'13131313

第37 页

B组 ? 2005—2008年高考题

一、选择题

1.（2008年全国一7）设曲线

则a? A．2

B．

y?

x?12)处的切线与直线ax?y?1?0垂直， 在点(3，x?1

（ ）

C．?12

1 2D．?2

答案 D

2.（2008年 湖北卷7）若

范围是

1f(x)??x2?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数，则b的取值

2

（ ）

A. [?1,??) C. (??,?1] 答案 C

B. (?1,??) D. (??,?1)

3.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象

可能是

（ ）

答案 D

4.（2008年辽宁卷6）设P为曲线C：

y?x2?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾

（ ）

斜角的取值范围为

???0，?，则点P横坐标的取值范围为 ??4?

B．

A．

1?? ?1，???2??，??10?

C．

，?01?

D．

?1?，1? ??2?答案 A

5.（2007年福建理11文）已知对任意实数x，有

时，

f(?x)??f(x)，g(?x)?g(x)，且x?0

（ ）

f?(x)?0，g?(x)?0，则x?0时

第38 页

A．C．

f?(x)?0，g?(x)?0 f?(x)?0，g?(x)?0

B． D．

f?(x)?0，g?(x)?0 f?(x)?0，g?(x)?0

答案 B

6.（2007年海南理10）曲线为 A．

y?e

1x2在点(4，e

22)处的切线与坐标轴所围三角形的面积

2

（ ）

Ｄ．e

292e 2Ｂ．4e Ｃ．2e

答案 D

7.（2007年江苏9）已知二次函数

f(x)?ax2?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有f(x)?0，

（ ）

则

f(1)的最小值为 f'(0)

A．3 答案 C 8.（2007年江西理9）设

B．

52

C．2

D．

32

??)内单调递增，q:m≥?5，则p是q的 p:f(x)?ex?lnx?2x2?mx?1在(0，

（ ）

B．必要不充分条件

A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 B

9.（2007年辽宁理12）已知

当x

D．既不充分也不必要条件

f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅

（ ）

?0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是 ．．．

A．0是B．0是C．0是D．0是

f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 f(x)的极小值，但不是g(x)的极值

答案 C

10.（2006年天津卷）函数

f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象

第39 页

如图所示，则函数

f(x)在开区间(a,b)内有极小值点

y （ ）

y?f?(x)

A．1个 B．2个 答案 A 解析 函数函数

b aO xC．3个 D． 4个

f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，

f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值

为由负到正的点，只有1个，选A. 二、填空题

11.（2008年全国二14）设曲线

答案 2

12.（2008年江苏卷8）直线

答案 ln2－1．

1)处的切线与直线x?2y?1?0垂直，则a? ． y?eax在点(0，y?1x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线，则实数b＝ ． 2y 14.（2008年北京卷12）如图，函数

其中

f(x)的图象是折线段ABC，

A，B，C的坐标分别为(0，，，，，4)(20)(64)，则

f(1??x)?f(1)? ．f(f(0))?2；lim（用数字作答）

?x?0?x

答案 －2

14.（2007年广东文12）函数

B O 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 A C x f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是＿＿＿＿．

答案

?1?,??? ??e?15.（2007年江苏13）已知函数

为M,m，则M答案 32

f(x)?x3?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别

?m? ．

16.（2007年湖北文13）已知函数

y?f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是

y?1x?2，则f(1)?f?(1)? ． 2答案 3

第40 页

17.（2007年湖南理13）函数答案 ?16

3]上的最小值是 ． f(x)?12x?x3在区间[?3，

18.（2007年浙江文15）曲线答案 5x??3)处的切线方程是 ． y?x3?2x2?4x?2在点(1，y?2?0

2

19.（2006年湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)＝?r,周长C(r)=2?r，若将r看作(0，

＋∞)上的变量，则(?r2)?＝2?r ①，

①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

1的式子： 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○ ②

②式可以用语言叙述为： 。 答案 V球＝

4442式可填?＝4?R2 故○?＝4?R2，用语言叙述为“球的体积函数的（?R3）（?R3）?R3，又

3333

导数等于球的表面积函数。”

20.(2005年重庆卷)曲线y=x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为__________。

答案 8/3 三、解答题

21.（2008年全国一19）已知函数（Ⅰ）讨论函数

f(x)?x3?ax2?x?1，a?R．

f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数

?21?f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围．

?33?解析 （1）当a2f(x)?x3?ax2?x?1求导：f?(x)?3x2?2ax?1

≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增 ?3，

?a?a2?3f?(x)?0求得两根为x?

3当a2即

???a?a2?3?a?a2?3??a?a2?3?，f(x)在???，?递增，??递减，

????333??????a?a2?3?，???递增 ???3??

第41 页

??a???（2）???a???a2?32≤?33a2?31≥?33，且a2?3解得：a≥7 422.（2008年北京卷18）已知函数

f(x)?2x?b(x?1)2，求导函数

f?(x)，并确定f(x)的单调

区间．

2(x?1)2?(2x?b)?2(x?1)解析 f?(x)?

(x?1)4??2x?2b?2

(x?1)32[x?(b?1)]． 3(x?1)??令

f?(x)?0，得x?b?1．

?2时，f?(x)的变化情况如下表：

当b?1?1，即bx

f?(x)当b?1?1，即b(??，b?1)b?10

(b?11)，(1，??)?

?

?

?2时，f?(x)的变化情况如下表：

x

f?(x)所以，当b(??，1)(1，b?1)b?10

(b?1，??)?

?

?

?2时，函数f(x)在(??，b?1)上单调递减，在(b?11)，上单调递增，

，??)上单调递减． 在(1当b?2时，函数f(x)在(??，1)上单调递减，在(1，b?1)上单调递增，在(b?1，??) 上

单调递减． 当b?1?1，即b?2时，f(x)?21)上单调递减，在(1，??)上单调递减． ，所以函数f(x)在(??，x?123.（2008年天津卷21）（本小题满分14分）

已知函数

，其中a,b?R． f(x)?x4?ax3?2x2?b（x?R）

第42 页

（Ⅰ）当a??10时，讨论函数f(x)的单调性； 3（Ⅱ）若函数

f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的a?[?2,2]，不等式

f?x??1在[?1,1]上恒成立，求b的取值范围．

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解析 当a令

f?(x)?4x3?3ax2?4x?x(4x2?3ax?4)．

102时，f?(x)?x(4x?10x?4)?2x(2x?1)(x?2)． 31f?(x)?0，解得x1?0，x2?，x3?2．

2??当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表： (??,0)

－

0

x

f?(x)f(x)所以

1(0,)

2＋

12

1(,2) 2

－

2

(2,??)

＋

0 极

0 极大

0 极小

↘

小值

↗

值

↘

值

↗

11

f(x)在(0,)，(2,??)内是增函数，在(??,0)，(,2)内是减函数．

22

（Ⅱ）解析

f?(x)?x(4x2?3ax?4)，显然x?0不是方程4x2?3ax?4?0的根．

24.（2005年安徽卷）设函数

函数。

（Ⅰ）求b、c的值。

f?x??x3?bx2?cx(x?R)，已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇

（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。 解 （Ⅰ）∵

f?x??x3?bx2?cx，∴f??x??3x2?2bx?c.从而

g(x)?f(x)?f?(x)?x3?bx2?cx?(3x2?2bx?c)＝x3?(b?3)x2?(c?2b)x?c

是一个奇函数，所以g(0)?0得c?0，由奇函数定义得b?3；

32（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)?x?6x，从而g?(x)?3x?6，由此可知，

(??,?2)和(2,??)是函数g(x)是单调递增区间；

(?2,2)是函数g(x)是单调递减区间；

g(x)在x??2时，取得极大值，极大值为42，g(x)在x?2时，取得极小值，极小值为?42。

25.( 2005年全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角

分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

解 设容器的高为x，容器的体积为V，1分 则V=(90-2x)(48-2x)x,(0

第43 页

=4x-276x+4320x

∵V′=12x-552x+4320??

22

32

7分

由V′=12x-552x+4320=0得x1=10，x2=36 ∵x<10 时，V′>0, 1036时，V′>0,

所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960???????????????????10分 又V(0)=0,V(24)=0, ??????????????????????????11分 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 ???????????????????12分

第44 页

第二部分 三年联考汇编

A组 ? 2009年联考题

一、选择题

1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x+ax+b的部分图象，则

函数g(x)?lnx?A．(C．( f'(x)的零点所在的区间是

B．(1,2)

（ ）

2

11,) 421,1) 2 D．(2,3)

答案 C

2.（2009天津重点学校二模）已知函数

y?f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(??,0)

时不等式

f(x)?xf'(x)?0成立， 若a?30.3f(30.3)，b?(log?3)f(log?3),

（ ） 11c?(log3)f(log3)，则a,b,c的大小关系是

99A．a?b?c

B．c?b?a C．c?a?b D．a?c?b

答案 C

3.（2009嘉兴一中一模）下列图像中有一个是函数

f(x)?13x?ax2?(a2?1)x?13

（ ）

(a?R,a?0)的导数f?(x) 的图像，则f(?1)?

A.

1 3

B.?1 3 C.

73

D.?15或33

y?x?4

－2 y2?2x

答案 B

4.（2009年乐陵一中）图中,阴影部分的面积是

A.16 C.20 答案 B 二、填空题

( ) B.18 D.22

5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,为f(x)的导函数，函数

f?(x)y?f?(x)的图象如右图所示，若两正数a，b满足f(2a?b)?1，则

b?3的取值范围是 ． a?3y －2

第45 页 O x

答案

?37??,? ?53?11f(x)?ax3?bx2?cx

336.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测文)设函数

(c＜0)单调递增区间是 .

答案 三、解答题

?1??3,1.? ??7.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）已知函数(Ⅰ) 若（Ⅱ）若

f?x??x3?3ax2?bx，其中a,b为实数.

f?x?在x?1处取得的极值为2，求a,b的值;

f?x?在区间??1,2?上为减函数，且b?9a，求a的取值范围.

解 (Ⅰ)由题设可知:

f??1??0且f?1??2， ?????? 2分

即??3?6a?b?04，解得a?,b??5. ?????? 4分

3?1?3a?b?2f??x??3x2?6ax?b?3x2?6ax?9a， ?????? 5分 f?x?在??1,2?上为减函数，

（Ⅱ）?又

?f??x??0对x???1,2?恒成立， ?????? 6分

即3x2?6ax?9a?0对x???1,2?恒成立.

?f???1??0且f?2??0， ?????? 10分 ?a?1?3?6a?9a?0?即???3?a?1， ?12?12a?9a?0?a?7??a的取值范围是a?1. ?????? 12分

13228.（2009厦门大同中学）设函数f(x)??x?2ax?3ax?1,0?a?1.

3（1）求函数（2）若x?f(x)的极大值；

， ?1?a,1?a?时，恒有?a?f?(x)?a成立（其中f??x?是函数f?x?的导函数）

试确定实数a的取值范围． 解 （1）∵当∴

f?(x)??x2?4ax?3a2，且0?a?1，????????????1分

f?(x)?0时，得a?x?3a；当f?(x)?0时，得x?a或x?3a； f(x)的单调递增区间为(a,3a)；

第46 页

f(x)的单调递减区间为(??,a)和(3a,??)．?????????????3分

故当x?3a时，f(x)有极大值，其极大值为f?3a??1． ???????4分

（2）∵当0?∴∴

f??x???x2?4ax?3a2???x?2a??a2，

2a?1时，1?a?2a， 3f?(x)在区间?1?a,1?a?内是单调递减．????????????????6分

?x）?x）?f（?max?f??1-a???8a2?6a?1,?f（?min?f??1+a??2a?1．

??8a2?6a?1?a,∵?a?f?(x)?a，∴?

2a?1??a.?此时，a??．????????????????????????????9分 当

1?a?1时，?f（?x）?f??2a??a2． ?max3??0?a?1,?a2?a,?1??∵?a?f?(x)?a，∴?2a?1??a,即?a?, ??11分

3??8a2?6a?1??a.???7?177?17?a?.?16?16此时，

17?17．???????????????????????13分 ?a?316?17?17?,?．????????????? 14分

16??3综上可知，实数a的取值范围为?

第47 页

B组 ? 2007—2008年联考题

一、选择题

1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x-3x-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别 是

（ ）w. A. 5,-15 答案 A

2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若limx?03

2

B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16

f(x)(x?1)存在，则f(x)不可 2x?x

（ ）

能为

2

A．x； 答案 B

Ｂ．|x|； Ｃ．x； Ｄ．?x；

3.(江西省五校2008届高三开学联考)设函数

f(x)?sin(?x??6)?1(??0)的导数f?(x)

( )

的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 A．xC．x???9

B．xD．x???6

?3

?2答案 C

4.(江西省五校2008届高三开学联考)已知

A．－4 答案 B

f?3??2,f??3???2,则lim

C．0

2x?3f?x? ( )

x?3x?3

D．不存在

B．8

5.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数 A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点 B．函数

y?f(x)的导函数y?f?(x)的图像如下，则

y （ ）

f(x)有2个极大值点，2个极小值点

C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点

答案 A

二、填空题

6.（2008年高考数学各校月考）定积分答案 3

7.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数

?3?20|sinx|dx? x的值是 . 1? x2 ? x3O? x4 x f(x)?x3?3mx2?nx?m2在 x＝－1时有极值0，则m＝_________；n＝_________； 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质0 答案 m＝2，n＝9. 解析

f?(x)＝3x2＋6mx＋n

y

-3o3x第48 页

由题意，

f?(?1)＝3－6m＋n＝0

f(－1)＝－1＋3m－n＋m2

＝0 解得??m?1或?m??n?3?2n?9

?但m＝1，n＝3时，

f?(x)＝3x2

＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立

即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去

8.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图为函数

f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象，

f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x?f'(x)?0的解集为______ ______．

答案 (??,?3)?(0,3)

三、解答题

8.(2007年江苏省淮安市)已知函数F(x)=|2x－t|－x3

+x+1（x∈R，t为常数，t∈R） （1）写出此函数F(x)在R上的单调区间； （2）若方程F(x)－m=0恰有两解，求实数m的值。

?解 （1）F(x)?|2x?t|?x3?x?1???x3?3x?1?t,x?t?2?2?3x?3,∴ F'(x)??????x3?x?1?tx?t2???3x2?1,由－3x2

+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2

－1<0恒成立 ∴ i) 当

t2<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数 在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 ii) 当1>t2≥－1时，F(x)在区间(－∞，t2)上是减函数 在区间(

t2，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 iii) 当t2≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数

（2）由（1）可知 i) 当

t2<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t， 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解， 此时m=－1－t或m=3－t

ii) 当－1≤t2<1，F(x)在x=tt32处取值为?8?t2?1， 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m=?t38?t2?1或m=3－t 9.(2008年四川省成都市一诊)已知函数

y?f(x)是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴

第49 页

x?t2x?t2

的上方，对任意的m、n?[0,??)，都有恒成立。

（Ⅰ）求f(0)、f(-1)的值；

4f(m?n)?[f(m)]n，且f(2)?，又当x?0时，其导函数f?(x)?0?kx?2?)??2，其中k?(?1,1). （Ⅱ）解关于x的不等式：?f(2?2x?4?解 (1)由f(m·n)＝[f(m)]得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)] ∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1

……………………………3分

…………………3分

n

0

2∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2

2(2)?f???kx?2???kx?2??kx?2??|kx?2|??2?f?2?2?f?f(?1)??????f?2??f(1) ?2222x?42x?4x?4???????x?4????0时，其导函数f'?x??0恒成立，∴y?f?x?在区间?0,???上为单调递增函数

又当x∴

kx?2x2?4?1?kx?2?x2?4??k2?1?x2?4kx?0

①当k?0时，x??0?；

②当?1?4k?4k??4k?k?0时，x?x?，∴； ?0??x?0x?,0?222??1?k?1?k??1?k?，∴x?③当0?4k?4k?k?1时，x?x??0?0?x?2?1?k2?1?k?4k?? 0,2??1?k??综上所述：当k?4k??0时，x??0?；当?1?k?0时，x??； ,02??1?k?当0?4k??k?1时，x??0,。 2?1?k??

第50 页

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