武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考高二（文）数学试题（word含答案）

武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考

高二（文科）数学试卷

考试时间：2015年4月28日上午8：00—10：00 试卷满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．命题：?x?R，x＞0的否定为（ ） A. ?x?R，x≤0 C. ?x0?R，x0≤0

B. ?x0?R，x0＞0 D. ?x?R，x＜0

2. 若复数(m2?5m?6)?(m2?3m)i是纯虚数，则实数m的值为（ ） A. m=2

B. m=3

C. m=2或m=3

D. m=0

3. 如图是根据变量x，y的观测数据(xi,yi)(i=1，2，3，?，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（ ）

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ①④

22224. 若动点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式(x?5)?y?(x?5)?y?8，

则M的轨迹为（ ）

x2y2??1 A. 椭圆

2516

x2y2??1的右支 B. 双曲线

169x2y2x2y2??1的右支 D. 双曲线??1的左支 C. 双曲线

9161695. 执行如右图所示的程序框图，若输入x的值为1，则输出的n的值为（ ） A. 2 C. 4

B. 3 D. 5

[来源:Zxxk.Com]

6. 2014年国家加大对科技创新行业的支持力度，某研究机构对一新型行业的企业年投入x（单位：万元）与年盈利y（单位：万元）情况进行了统计分析，得下表数据：

x y

6 2 8 3 1

10 5 12 6

??bx?a中的b的值 根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y为0.7，若某企业计划年投资14万元，则该企业的年盈利约为（ ） A. 6.5

B. 7

C. 7.5

D. 8

7. 记集合A??x|??1?＜1?，B??x|(x?1)(x?a)＞0?，若x?A是x?B的充分不必x?1?要条件，则实数a的取值范围是（ ） A. (?2,?1]

B. [?2,?1]

C. ?

D. [?2,??)

8. 正项等比数列{an}中的a1，a9是函数f(x)?=（ ） A. -1

B. 0

13x?ax2?x?1的极值点，则lna5 3

D. 与a的值有关

C. 1

9. 已知点P（a，b）是抛物线x2?20y上一点，焦点为F，|PF|?25，则|ab|?（ ） A. 100

B. 200

C. 360

D. 400

10. 若曲线f(x)?sinx?2cosx的切线的倾斜角为?，则?的取值范围为（ ） Ａ. [0,?3]

B. [?2,?]

33C. [0,?2?2]?[?,?) D. [0,]?[?,?] 3333x2y2??1内有两点A11. 已知椭圆（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|?|PB|2516的最大值为（ ） A. 10

B. 15

C. 4

D. 5

12. 刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4:?，即V牟：V球=4:?.也导出了“牟合方盖”的式，即

正

1体积计算公8143V牟=r3-V方盖差，从而计算出V球=?r.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V83

，则（ ）

B. V方盖差=V正

D.以上三种情况都有可能

A. V方盖差＞V正 C. V方盖差＜V正

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. i为虚数单位，则

1?2i=___________. 2(1?i)14. 某校拔河比赛，三班、四班、五班在预赛中胜出，三个裁判估测冠军，裁判甲说：冠军不会是三班，也不会是四班；乙说：冠军不会是三班，一定是五班；丙说：冠军不会是五班，而是三班，比赛结果出来后，他们中有一个人的两个判断都对，一个人的两个判

2

断都错，还有一个人的判断一对一错，则冠军是_______班。 15. 已知a?b?c?2014，a,b,c?R?，则

20152015?的最小值为________. a?1b?cab2216. 若函数f(x)在定义域内的一个区间[a,b]（a＜b）上函数值的取值范围恰好是[,]，则称区间[a,b]（a＜b）是函数f(x)的一个减半压缩区间.若函数f(x)?一个减半压缩区间[a,b]（（b＞a≥1）. （1）当m?x?1?m存在

1时，函数f(x)的减半压缩区间为_________； 2（2）m的取值范围是__________.

三、解答题题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）

气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下： 日最高气温t 天数 t≤22℃ 6 22℃＜t≤28℃ 12 28℃＜t≤32℃ X t＞32℃ Y 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9. （1）若把频率看作概率，求X，Y的值；

（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由.

旺销 不旺销 合计 2高温天气 1 非高温天气 6 合计 n(ad?bc)2附：K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P(K2≥k) k 0.10 2.706 0.050 3.841[来源:Z&xx&k.Com]0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 18.（本小题满分12分）

x2y2??1表示椭圆；命题q：关于x的不等式|x?3|?|x?4|＜m命题p：方程

m?925?m有解. 若p?q为真命题，p?q为假命题，求实数m的取值范围.

19.（本小题满分12分）已知函数f(x)?2lnx?x. （1）求函数f(x)在x=1处的切线方程；

3

2

（2）求函数f(x)的单调区间和极值； （3）若函数f(x)与g(x)?x?a1(a?R)有相同极值点，且对于任意的x1,x2?[,e]，xe不等式f(x1)?g(x2)?m恒成立，求实数m的取值范围.

20.（本小题满分12分）如右图，一正方形钢板ABCD缺损一角（图中的阴影部分），边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分. 工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形. 若正方形的边长为2m，问：如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.

x2y221.（本小题满分12分）已知椭圆?:2?2?1(a＞b＞0)和直线l:y?bx?2，椭圆?的

ab离心率e?6，原点O到直线l的距离为2. 3（1）求椭圆?的方程；

（2）已知定点E（-1，0），若直线y?kx?2(k?0)与椭圆?相交于C，D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k值；若不存在，说明理由.

[来源:Zxxk.Com]22.（本小题满分10分）已知函数f(x)?|x?3|?|x?1|. （1）解不等式f(x)＞1；

（2）若f(x)?|x?a|的解集包含[?2,?1]，求实数a的取值范围.

4

武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考

高二（文科）数学试卷答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 B 6 C 7 A 8 B 9 D 10 C 11 B 12 A 二、填空题 13. ?1?1i 2 14. 三 15. 4

16. [1,5]；(0,]

12三、解答题 17.（1）由条件知：

6?12?x?0.9 解得x?9????????????（2分）

30从而有y?30?6?12?9?3?????????????????????（4分） （2）

[来源:学科网]

旺销 不旺销 合计 高温天气 1 2 3

非高温天气 21 6 27

合计 22 8 30 ?????????（7分）

2

n(ad?bc)230(1?6?2?21)2K???2.7272＜3.841??（10分）

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)3?27?22?8所以没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关?????（12分）

x2y2??1表示椭圆则为 18.解：命题p：若方程

m?925?m?m?9＞0??m??m|9＜m＜25且m?17?????????????（3分） ?25?m＞0?m?9?25?m?命题q：若x的不等式|x?3|?|x?4|＜m有解

∵|x?3|?|x?4|?7 ∴只要m＞7即可???????????????（6分） 若p?q为真，p?q为假，

则命题p，q中必有一真一假。????????????????????（8分） 若p真，q假：{m|9＜m＜25且m≠17}∩{m|m≤7}=?

若p假，q真，{m|m≤9或m≥25或m=17}∩{m|m＞7}={m|7＜m≤9或m=17或m≥25}

5

因此，所求m的范围是{m|7＜m≤9或m=17或m≥25}???????????（12分） 19.解：（1）∵f?(x)??2x?22(x?1)(x?1)?? xx∴f?(1)?0，所求的切线斜率为0 又切点为（1，-1）

故所求切线方程为y??1??????????????????????（2分） （2）∵f?(x)??2(x?1)(x?1)且x＞0

x令f?(x)＞0得0＜x＜1，令f?(x)＜0得x＞1.

从而函数f(x)的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）

显然函数只有极大值，且极大值为f(1)??1??????????????（6分） （3）由（2）知，x=1是函数y?f(x)的极值点，且函数f(x)在[,e]上的最大值为

1ef(1)??1，若y?g(x)与y?f(x)有相同的极值点

∴x=1也是y?g(x)的极值点，又g?(x)?1?∴g?(1)?1?a?0，得a=1，即g(x)?x?当x?[,e]时，g(x)?x?a x21??????????????（8分） x1e1?2 x1e当且仅当x?1时取等号，∴函数y?g(x)在[,e]上的最小值为2?????（10分） 要对于任意x1，x2?[,e]，不等式f(x1)?g(x2)?m恒成立， 只要m?f(x)max?g(x)min，x?[,e]，即得m??1?2

故实数m的取值范围是[?3,??)????????????????????（12分） 20.解：以A为坐标原点，直线AB、AD分别为x轴，y轴建立如右图所示的直角坐标系. 则设边缘线OC的方程为y?ax?1(0≤x≤2) 又∵点C（2，2）在上 ∴4a?1?2得a?∴y?21e1e1 412x?1(0≤x≤2) ????????（4分） 4要使梯形ABEF的面积最大，则直线EF必与边缘线OC相

6

切，设切点为P(t,12t?1) 4（0＜t＜2），当t=0或2时，S=2.

111x， 直线EF的方程为 lEF:y?t2?1?t(x?t) 242112即y?tx?t?1

241212由此可求得E(2,t?t?1)，F(0,?t?1)???????????????（6分）

441212从而有|AF|?1?t， |BE|??t?t?1

44又∵y??[来源:Zxxk.Com]设梯形的面积为S（t）

1111|AB|(|AF|?|BE|)?(1?t2)?(?t2?t?1)??t2?t?2 24421552 ??(t?1)??

2225∴当t=1时，S(t)max?

237此时|AF|?，|BE|????????????????????????（10分）

44则S(t)?故当|AF|=0.75m；|BE|=1.75m时可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大面积为2.5m2

???????????????????????????????????（12分） 21.解（1）由原点O到直线l的距离为2，得2?2b?12，解得b?1①，

c2a2?b226?. ② 又e?，所以2?233aax2?y2?1.??????????（4分） 由①②可解得a?3，∴椭圆?的方程是32?y?kx?2,?22（2）联立?x2消去y得(1?3k)x?12kx?9?0. 2??y?1?3??144k2?4?9(1?3k2)?36k2?36＞0?k＞1或k＜-1.????????（6分）

设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1?x2??12k9xx?，，12221?3k1?3ky1?y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?4,

∵EC?(x1?1,y1)，ED?(x2?1,y2)，且以CD为直径的圆过定点E，

∴EC⊥ED，则(x1?1)(x2?1)?y1y2?0，即(1?k)x1x2?(2k?1)(x1?x2)?5?0，

7

2

??????????????????????????????????（10分）

79(1?k2)?12kk??(2k?1)?5?0∴，解得＞1，

61?3k21?3k2∴当k?7时，以CD为直径的圆过定点E.????????????????（12分） 6?4?22. 解（1）∴f(x)?|x?3|?|x?1|???2x?2??4?则不等式f(x)＞1的解集为{x|x＜（2）当-2≤x≤-1，

总有|x?a|?|x?3|?|x?1|?3?x?x?1?4 ∴?a?4?x??a?4 得?x＜?1?1?x?3 x＞31}??????????????（4分） 2??a?4??2

??a?4??1即有-2≤a≤5，故所求a的范围是[-2，5]?????????????????（10分）

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