MM定理的严格推导

MM定理的严格推导

一基本模型

1. 未确定现金流的资本化率

假设公司只进行股权融资。

假设1：公司拥有的实物资产会带来一系列现金流（即收益），现金流是随机变量，不同个体对各现金流的预期期望值相同。

假设21：某一公司的股票收益与同一类别（这应该就是类别的定义吧）的另一公司的股票收益的比值为常数。也就是说，对同一类别的公司，

股票收益有完全相同的分布（不是独

股价立同分布，而是同一个分布）。

在上述假设下，每一类别的公司股票收益与其股价的比值的期望为常数。即，

Pj?Xj?k(1)

或

Xj??kPj(2)

是其股票收益的期望，?k为常数。

其中，Pj是第k类公司中、公司j的股价，

Xj?k具有三个含义：

a) 式(2)表示?k是1单位股份的期望收益。 b) 式(1)中，令Xj?1，则Pj?1?k，表示

1?k是为获得1单位收益所支付的成本。

c) 从终身年金的角度考虑，式(1)表示?k是未确定现金流的贴现率，即未确定现金流

的资本化率。

1

该假设过于严格，它保证了任何情况下MM定理的成立。该假设可放宽，比如，如果人们的投资决策只与

投资收益的分布有关，则只要假设同一类别公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相关。

2. 债务融资和其对股价的影响

可发债情况下，债务比例越高，公司的破产风险越大，股价波动也越大。公司有不同的“杠杠”，因此同一类别的公司的股票不是完全替代了，高杠杆公司的股票应该要求更高的收益率。

假设1：所有债券在单位时间内有确定的现金流。

假设2：债券市场完全竞争。即所有债券的收益与价格的比值相同，且是确定的。 命题?：在类别k中，设公司j的息前收益的期望为普通股的市场价值为Sj，公司价值为Vj表述1 对在类别k下的任一公司j，有

Xj，公司债务的市场价值为Dj，公司

?Dj?Sj，则

XjVj?Dj?Sj??k

即：同一类别下的各公司价值与资本结构无关，仅取决于公司的期望收益和无杠杠公司的资本化率。同一类别所有公司的价值都是其期望收益的常数倍。 表述2 对在类别k下的任一公司j，有

XjXj??k

Sj?DjVj即：同一类别下各公司的平均资本成本与资本结构无关，且等于无杠杆公司的资本化率。

证明：考虑同一类别下的两个公司。公司1全部用股权融资，公司2有杠杠。设两家公司的息前收益为X1,X2，根据前面的假设，

考虑如下两种资产组合：

组合1：用1元钱买公司2的股票。 组合2：用1元钱+借入的?X1?a为常数。 X2?V1??1?买公司1的股票。 ?aS2?组合1的收益为Y1

?

X2?rD2

，组合2的收益为 S2

Y2???V1?X1?V1?X2?V1?X1?V11??1?r?1??r?1??r?1????????。 V1?aS2aSaSaSSaS??2?2?2?2?2??V1D??1?2??0，得

S2??aS2组合1-组合2构成的新组合的成本为0，收益为Y1?Y2?r?V1D?1?2?V1?aV2 aS2S2

又a?X1X1X1VVX2X2X1X2，V1?，代入上式得V2?1?1。 ????kX2X2a?kX1X1?k证毕。

命题??：记ij为第k类别公司j的普通股收益率，?k为相应的资本化率，则

ij??k?(?k?r)DjSj

即：股票的期望收益率等于相应的资本化率+杠杠化的风险溢价

证明：该命题是命题?的推论。 由命题?，Vj?Sj?Dj?毕。

可以发现?k是加权平均资本成本，即

Xj?k?Sjij?Djr?k，即Sj?Dj?Sjij?Djr?k，化简即得。证

SjSj?Djij?DjSj?Djr??j。

ij还是每股份额的期望收益率，即ij入命题??。

?Xj?rDjSj。证明该式只需将Sj?Dj?Xj?k代

3. 一些评论和MM定理的数学解释

可以发现在推导命题1和2时，资本化率扮演了一个非常重要的角色，公司的价值由其期望收益和资本化率完全决定，与其资本结构无关。事实上，资本化率是风险中性测度下的贴现率，它将具有不同风险的现金流贴现到现期，从而得到公司价值。

有税情况下的MM定理本质与无税情况相同，这里不再讨论。

MM定理是无套利定价方法的一个特例。我们可以将不同资本结构的公司股权看成金融资产。由于MM定理只考虑了同一类别下不同资本结构公司的市场价值，这其实是假设了现实中其他金融资产与公司股权不相关，没有作为无套利定价的参考变量。那么，在这问题中所有的金融资产即为：不同资本结构的公司股票和无风险债券。仅利用这些金融工具，我们要考虑的问题就是：公司的股票价值要满足什么条件，才能保证无套利？

这相当于给金融衍生品定价，标的资产就是公司的收益。而衍生品定价的无套利方法非常直观明白易懂。这个问题比MM定理更简单明了，而且解决起来很简单，也更容易推广。

下面具体来解决问题。下面讨论的所有公司都处于同一类别。

设公司j发行一份合约Cj，该合约给持有人的收益为公司的净利润，即资本收益-债券利息，则该合约是一份衍生品（MM定理貌似没有考虑破产风险，这个合约不是看涨期权，即在资本收益小于债券利息的情况下持有人要蒙受损失），标的资产为公司的资本收益，其

价格为公司股权价值Sj，设债权价值为Dj，无风险收益率为r，公司的资本收益为Xj。如何给该合约定价是我们要考虑的问题。

由于公司的资本收益具有完全相关性，这里只需要两个不同的公司即可构造无风险组合。

对任意公司i,j，每期末合约的收益为Yi?Xi?rDi，Yj?Xj?rDj。设

Xi?a，消Xj去波动性，购买1份公司i的合约，卖出a份公司j的合约，则每期末收益为

Yi?aYj?arDj?rDi

其成本为

Si?aSj

这是一个无风险组合，具有无风险收益率，则

?S?aS??ijarDj?rDir，即成本=收益的现值。2（3）

若i公司为无杠杠公司，则

Si?Vi?又

Xi?,Di?0

a?代入（3）式即得

Xi XjXjVj?Sj?Dj?

?

实际上，由（3）式可直接得出公司价值与资本结构无关。化简（3）式得

ViXi ?a?VjXj即公司价值只与资本收益的均值相关，与资本结构无关。

4. 对?的进一步解释

既然公司的价值只与资本收益有关，则?不只是表示了无杠杠公司的资本报酬率，实际上它是对公司价值和资本收益的关系的一种测度。对于任意公司，以该公司的资本收益除

以公司价值，该值就是?，然后可以用?去计算同一类别的其他公司的价值。实际上?是该类别的特征价格。

2

MM定理构造了每期的无套利组合，这里构造了整个时期的无套利组合。

经过上面的讨论，有如下结论：

(1)公司的价值只取决于两个因素：a. 资本收益的均值；b. 公司类别的特征价格。公司价值为两者之商。

(2)公司类别的特征价格就是该类别中无杠杠公司的股权资本报酬率，也等于所有公司的加权平均资本率。也就是说，同一类别所有公司的加权平均资本率都相同，等于其特征价格。

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