人教版数学九年级上册第22章【二次函数】基础提升专练(一)

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【二次函数】基础提升专练（一）

一．选择题

1．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（）

A．向右平移4个单位，向上平移11个单位

B．向左平移4个单位，向上平移11个单位

C．向左平移4个单位，向上平移5个单位

D．向右平移4个单位，向下平移5个单位

2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：

①abc＞0；

②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；

③a+2b＝c；

④y最大值＝c．

其中正确的有（）个．

A．4B．3C．2D．1

3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：

①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物

线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）

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A．1B．2C．3D．4

4．关于二次函数y＝（x+1）2，下列说法正确的是（）

A．当x＜1时，y值随x值的增大而增大

B．当x＜1时，y值随x值的增大而减小

C．当x＜﹣1时，y值随x值的增大而增大

D．当x＜﹣1时，y值随x值的增大而减小

5．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

A．B．

C．D．

6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）

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A ．y ＝﹣x 2+50x

B ．y ＝﹣x 2+24x

C ．y ＝﹣x 2+25x

D ．y ＝﹣x 2+26x

7．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系是y ＝﹣

，则此运动员把铅球推出多远（ ）

A ．12m

B ．10m

C ．3m

D ．4m

8．已知二次函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （其中a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝8；当x ＝8时，y ＝1，（ ）

A ．若h ＝4，则a ＞0

B ．若h ＝5，则a ＜0

C ．若h ＝6，则a ＞0

D ．若h ＝7，则a ＜0 9．二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m +1）（m 是常数），当﹣2≤x ≤0时，y ＞0，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜0 B ．m ＜1 C ．0＜m ＜1 D ．m ＞1

10．二次函数y ＝x 2+mx ﹣n 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣n ＝0在﹣1＜x ＜6的范围内有实数解，则n 的取值范围是（ ）

A ．﹣4≤n ＜5

B ．n ≥﹣4

C ．﹣4≤n ＜12

D ．5＜n ＜12 二．填空题

11．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝（x +1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2

个单位

word版初中数学长度，得到的抛物线的解析式是．

12．若﹣3≤a＜1，则满足a（a+b）＝b（a+1）﹣3a的整数b的值有个．

13．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1，则点火后s时，火箭能达到最大高度．

14．已知函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为

15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．

三．解答题

16．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416

每周的销售量y（本）500400300

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？

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17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．

（1）若b＝1，a＝﹣c，求证：二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；

（2）若a＜0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求4a+b2的取值范围；

（3）若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1?y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

18．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2．（1）求抛物线C2的函数关系式；

（2）点A（4，y1）和点B（m，y2）在抛物线C2上，若y2＜y1，结合图象求m的取值范围；

（3）若抛物线C2的顶点为C，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线C2于点Q．当线段PQ最长时，求点P的坐标．

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19．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”

（1）判断一元二次方程x2﹣6x+8＝0是否是“2倍根方程”，请你说明理由；

（2）若x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0是“2倍根方程”，求m的值．

（3）若方程ax2﹣3ax+c＝0（a≠0）是2倍根方程，抛物线y＝ax2﹣3ax+c与直线y＝ax﹣2有且只有一个交点，求该点坐标．

20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过A（1，0）、B（0，﹣3）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上，是否存在点M，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小？

如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．

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参考答案

一．选择题

1．解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），

∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．

故选：D．

2．解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，所以②正确；

∵当x＝﹣1时，y＝0，

∴a﹣b+c＝0，

而b＝﹣2a，

∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，

∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，

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word版初中数学即a+2b＝c，所以③正确；

∵当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，

∴函数有最大值y＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝c+c＝c，所以④正确；

故选：B．

3．解：①观察图象可知：

a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，

∴①正确；

②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，

∴②错误；

③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1

得b＝2a，

当x＝时，y＜0，

即a+b+c＜0，

即a+2b+4c＜0，

∴5a+4c＜0．

∴③正确；

④因为抛物线与x轴有两个交点，

所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0．

∴④错误；

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⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），

∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．

∴⑤正确．

故选：C．

4．解；如图，由图象可得：当x＜1时，y值随x值的增大先减少后增大，故A错误；

当x＜1时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误；

当x＜﹣1时，y值随x值的增大而减少，故C错误；

当x＜﹣1时，y值随x值的增大而减小，故D正确；

故选：D．

5．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；

②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函

数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．

故选：D．

6．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，

则y关于x的函数表达式是：y＝x?（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．

故选：D．

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word版初中数学7．解：令y＝﹣＝0

则：x2﹣8x﹣20＝0

∴（x+2）（x﹣10）＝0

∴x1＝﹣2（舍），x2＝10

由题意可知当x＝10时，符合题意

故选：B．

8．解：当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝﹣7，

整理得：a（9﹣2h）＝﹣1，

若h＝4，则a＝﹣1，故A错误；

若h＝5，则a＝1，故B错误；

若h＝6，则a＝，故C正确；

若h＝7，则a＝，故D错误；

故选：C．

9．解：∵二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m+1）（m是常数），

∴该函数的图象开口向上，与x轴的交点为（1，0），（m﹣1，0），

∵当﹣2≤x≤0时，y＞0，

∴当m﹣1≥1时，即m≥2或当0＜m﹣1＜1，得1＜m＜2，

由上可得，m的取值范围为m＞1，

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word版初中数学故选：D．

10．解：∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，

∴m＝﹣4，

则方程x2+mx﹣n＝0，即x2﹣4x﹣n＝0的解相当于y＝x2﹣4x与直线y＝n的交点的横坐标，∵方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，

∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，

当x＝6时，y＝36﹣24＝12，

又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，

∴当﹣4≤n＜12时，在﹣1＜x＜6的范围内有解．

∴n的取值范围是﹣4≤n＜12，

故选：C．

二．填空题

11．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．

故答案为：y＝（x﹣1）2+3．

12．解：∵a（a+b）＝b（a+1）﹣3a，

∴a2+ab＝ab+b﹣3a，

∴b＝a2+3a（﹣3≤a＜1）．

将二次函数化为顶点式得：

b＝（a+）2﹣（﹣3≤a＜1），

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word版初中数学则二次函数开口朝上，顶点为（﹣，﹣），

当a＜﹣时，b随a的增大而减小，

当a＞﹣时，b随a的增大而增大．

因此当a＝﹣时，b取得最小值﹣；

当a＝1时，b取得最大值4；

∴﹣≤b＜4，

∴满足a（a+b）＝b（a+1）﹣3a的整数b的值有﹣2，﹣1，0，1，2，3共6个．

故答案为：6．

13．解：∵h＝﹣t2+24t+1

＝﹣（t2﹣24t+144）+145

＝﹣（t﹣12）2+145

∵二次项系数为﹣1，

∴抛物线开口向下，当x＝12时，h取得最大值，即点火12s时，火箭能达到最大高度．故答案为：12．

14．解：∵函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，

∴或（m+3）＝0，

解得，m＝﹣1或m＝﹣3，

故答案为：m＝﹣1或m＝﹣3．

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word版初中数学15．解：抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），

即x＝﹣1或3时，函数值y＝0，

所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝3，x2＝﹣1．

故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．

三．解答题

16．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），

，得，

即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；

（2）由题意可得，

w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，

∵a＝﹣50＜0

∴w有最大值

∴当x＜16时，w随x的增大而增大，

∵12≤x≤15，x为整数，

∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，

答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．

17．解：（1）证明：∵y＝ax2+bx+c（a≠0），

∴令y＝0得：ax2+bx+c＝0

∵b＝1，a＝﹣c，

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word版初中数学∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4（﹣c）c＝1+2c2，

∵2c2≥0，

∴1+2c2＞0，即△＞0，

∴二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；

（2）∵a＜0，c＝0，

∴抛物线的解析式为y＝ax2+bx，其图象开口向下，

又∵对于任意的实数x，都有y≤1，

∴顶点纵坐标≤1，

∴﹣b2≥4a，

∴4a+b2≤0；

（3）由2a+3b+6c＝0，可得6c＝﹣（2a+3b），

∵函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1?y2＞0，

∴c（a+b+c）＞0，

∴6c（6a+6b+6c）＞0，

∴将6c＝﹣（2a+3b）代入上式得，﹣（2a+3b）（4a+3b）＞0，

∴（2a+3b）（4a+3b）＜0，

∵a≠0，则9a2＞0，

∴两边同除以9a2得，

（+）（+）＜0，

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word版初中数学∴或，

∴﹣＜＜﹣，

∴二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围是＜﹣＜．

18．解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，

∴抛物线C1的顶点为（﹣1，2），

∴把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2的顶点为（2，﹣1），

∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；

（2）点A坐标为（4，3），它关于直线x＝2对称的点为（0，3），

由图象知当y2＜y1时，0＜m＜4；

（3）点A的坐标为（4，3），点C的坐标为（2，﹣1），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，

解得，

所以直线AC的解析式为y＝2x﹣5．

设点P的坐标为（t，2t﹣5），则点Q的坐标为（t，t2﹣4t+3），

∴PQ＝﹣t2+6t﹣8．

∴当t＝时，PQ最长．

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word版初中数学当t＝3时，2t﹣5＝1，

∴点P的坐标为（3，1）．

19．解：（1）x2﹣6x+8＝0，解得：x＝2或4，

4＝2×2，该方程是“2倍根方程”；

（2）设方程的根分别为x，2x，

则3x＝2m+2，2x2＝m2+2m，

解得：m＝2或﹣4；

（3）设方程的根分别为x，2x，

则3x＝3，2x2＝，

解得：…①，

联立y＝ax2﹣3ax+c、y＝ax﹣2并整理得：

ax2﹣4ax+c+2＝0…②，

△＝16a2﹣4a（c+2）＝0…③，

联立①③并解得：a＝0或1（舍去0），

故a＝1，c＝2，

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word版初中数学将a、c值代入②式得：

x2﹣4x+4＝0，

解得：x＝2，

则该点的坐标为（2，0）．

20．解：（1）根据题意得：，

解得：，

则二次函数的解析式是y＝x2+2x﹣3；

（2）存在．

设抛物线与x轴的另一个交点是C，由抛物线的对称性得BC与对称轴的交点就是M．∵C点的坐标是（﹣3，0），

设直线BC的解析式是y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，

解得k＝﹣1，

∴直线BC的解析式是y＝﹣x﹣3．

当x＝﹣1时，y＝﹣2，

∴点M的坐标是（﹣1，﹣2）．

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