2019年上海高考数学第一轮复习 第42讲 排列组合

第42讲 排列与组合

[基础篇]

一、乘法原理和加法原理：

（1）乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1m2mn种不同的方法.

（2）加法原理：如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，

，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种

不同的方法. 【注意】 应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合 加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性. 二、排列组合：

（1）排列的概念：从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数叫做从

mn个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示.

Pn?n(n?1)(n?2)（2）排列数公式：

m(n?m?1)?n!0!?1. (m,n?N*,m?n)，规定：Pnn?n!，

(n?m)!（3）组合的概念：从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中

m取出m个元素的组合数，用符号Cn表示.

Pnmn(n?1)(n?2)(n?m?1)n!（4）组合数公式：C?m? ?Pmm!m!(n?m)!mnmn?mmm?1m（5）组合的两个性质：①Cn；②Cn?Cn?Cn?Cn?1

【注意】 1． 直接法与间接法是解排列与组合的常用方法；重复和遗漏是分析排列与组合问题时易犯的错误! 2．区分排列与组合问题的关键问题是搞清事件与元素的顺序有关还是无关；搞清解决问题的方法需分步还是 分类，是统计排列与组合问题总数的依据； 3．常用的解题策略有：先选后排、特殊元素优先安排、正难则反、等价转化法、捆绑法、插空法、构造模型等. 1

[技能篇]

例题1

(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？

(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？ (3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？

例题2 9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？ （1）排成一排；

（2）排成前排4人，后排5人；

（3）排成一排，其中A、B两人不相邻； （4）排成一排，其中C,D两人必须相邻；

（5）排成一排，其中E不在排头，F不在排尾； （6）排成一排，其中A必须站在B的右侧；

（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减； （8）排成一排，其中H,I之间必须间隔2个.

例题3 （1）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数的个数. （2）求用1,2,3,4四个数字组成四位数的个数.

（3）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字且比2000小的四位数的个数.

（4）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数.

（5）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中2在3的左边的个数.

x?2x3x?6例题4 (1)C12,求x. ?C12333333(2) C3?C4?C5?C6?C7?C8? . 17?n3n(3) C2 . ?Cn13?n?2

例题5 有15本不同的书，其中6本是数学书，问： （1）分给甲4本，且都不是数学书； （2）平均分给3人； （3）若平均分为3份；

（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本； （5）1人2本，1人7本，1人6本.

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例题6 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问: (1)从中任取4个球，红球的个数不少于白球的取法有多少种？

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？

例题7 设?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同?A的顶点共有10个点，以这些点为顶点，可以构成 个三角形。

例题8 某校准备参加2015年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.

例题9 将一四棱锥的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种。

例题10 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有_______种．

例题11 设有编号1、2、3、4、5的五个球和编号1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为

例题12 30030能被 个不同的偶数整除。

例题13 从小于50的自然数中，取两个不同的数，使两数之和恰好是3 的倍数，不同的取法有 种？

例题14 将5本不同的书分给4名同学，则有 种不同的分配方法。

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[技能篇]

一、填空题：

1、王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现 种不同的情形。

2、书架上有4本故事书，7本科普书，小华从书架上任取一本故事书和科普书，一共有 种不同的取法。

3、设a?N?，且a?27，则(27?a)(28?a)(34?a)等于

4、从6名运动员中选4人参加4?100米接力，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么共有 种不同的参赛方法。

5、编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上则至多有两人的编号与座位编号一致的坐法种数为

6、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一 共有 种不同的取法？

7、将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 种。

8、6个不同的小球放人三个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个，有 种方法。 9、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有

10、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

3 2 1 4 5

二、解答题：

11、用0,1,2，3,4,5这六个数字，问：

（1）可以组成多少个数字不重复的三位数； （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数；

（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数； （4）可以组成多少个数字不重复的小于10000的自然数；

（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数.

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