2020年高考数学满分技巧：概率与统计热点问题(专项训练)

2020年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍

专题12 概率与统计热点问题（专项训练）

1.(2019·淮北一模)如图为2018届淮北师范大学数学与应用数学专业N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人.

(1)求该专业毕业总人数N 和90～95分数段内的人数n ；

(2)现欲将90～95分数段内的n 名毕业生随机地分配往A ，B ，C 三所学校，每所学校至少分配两名毕业生. ①若这n 名毕业生中甲、乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？

②若这n 名毕业生中恰有两名女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往B 学校的两名毕业生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望.

解 (1)80～90分数段的频率p 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，

此分数段的学员总数为21人，

∴毕业生的总人数N ＝210.35

＝60， 90～95分数段的频率p 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1.

∴90～95分数段内的人数n ＝60×0.1＝6.

(2)①将90～95分数段内的6名毕业生随机地分配往A ，B ，C 三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，

且甲、乙两人必须进同一所学校，则共有C 24C 22A 22

·A 33＝18种不同的分配方法. ②ξ的所有可能取值为0，1，2，

P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝615，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815

， P (ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115

， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2

所以随机变量ξ的数学期望为E (ξ)＝0×615＋1×815＋2×115＝23

. 2.(2019·济南调研)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一

道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12

，乙队每人答对的概率都是23

，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；

(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.

解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，

故P (ξ＝2)＝34×23×????1－12＋34×?

???1－23×12＋????1－34×23×12＝1124. (2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ???

?3，23. P (ξ＝1)＝34×????1－23×?

???1－12＋????1－34×23×????1－12＋????1－34×????1－23×12＝14， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14

， P (η＝1)＝C 13·23·????132

＝29

， P (η＝2)＝C 23·????232·13＝49， P (η＝3)＝C 33????233＝827

， ∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1)

＝14×827＋1124×49＋14×29＝13

， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118

， ∴所求概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）

＝1

1813

＝16. 3.(2019·北京海淀区一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x 分布在[50，100)内，且销售量x 的分布频率

f (x )＝?

??n 10－0.5，10n ≤x <10（n ＋1），n 为偶数，n 20－a ，10n ≤x <10（n ＋1），n 为奇数. (1)求a 的值并估计销售量的平均数；

(2)若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X 个组，求随机变量X 的分布列及数学期望(将频率视为概率).

解 (1)由题意知?

????10n ≥50，10（n ＋1）≤100，解得5≤n ≤9，n 可取5，6，7，8，9， 结合f (x )＝???n 10－0.5，10n ≤x <10（n ＋1），n 为偶数，

n 20－a ，10n ≤x <10（n ＋1），n 为奇数，

得????610－0.5＋????810－0.5＋????520－a ＋????720－a ＋???

?920－a ＝1，则a ＝0.15. 可知销售量分布在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，

∴销售量的平均数为55×0.1＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.3＝81.

(2)销售量分布在[70，80)，[80，90)，[90，100)内的频率之比为2∶3∶3，所以在各组抽取的天数分别为2，3，3，

X 的所有可能取值为1，2，3，

P (X ＝1)＝2C 38＝256＝128

， P (X ＝3)＝C 12C 13C 13C 38＝1856＝928， P (X ＝2)＝1－128－928＝914

. X 的分布列为

数学期望E (X )＝1×128＋2×914＋3×928＝167

. 4.中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分油井中的几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，

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