福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学第四章 三角函数、解三角形4.6 正弦定理和余弦定理

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4.6 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于( )．

A．135° B．105° C．45° D．75°

232解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又sin Asin Csin Asin 60°2

由题知，BC＜AB，∴A＝45°.

答案 C

2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则

角C的大小为( )．

A．60° B．90° C．120° D．150°

解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，

∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，

1∴cos C＝－，∴C＝120°. 2

答案 C

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b3λ(λ>0)，BCAB

A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．无数个

解析：直接根据正弦定理可得a

sin A＝b

sin B，可得sin B＝bsin A＝a

3λsin 45°6＝，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. λ2

答案：A

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则

sin Acos A＋cos2B等于( )． 11A．－ B. C．－1 D．1 22

解析 根据正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sin2B，∴sin Acos

A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.

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答案 D

5. 在 ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若a2 b2 2c2，则cosC的

最小值为（ ）

A. 11 B. C. D. 2

222

a2 b2 c22c2 c21解析 cosC 2 ，故选C. 2ab2a b2

答案 C

6．在△ABC中，sin2 A≤sin2 B＋sin2 C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )．

π π π π A. 0， B. π C. 0， D. π 6 3 6 3

解析 由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－

12bccos A，于是可得b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥2

π △ABC中，0＜A＜π，故A∈ 0，. 3

答案 C

7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，

则ab的值为( )．

42A. B．8－3 C．1 D. 33

22 a＋b－c＝4解析 依题意得 222 a＋b－c＝2abcos 60°＝ab 4，两式相减得ab＝，选A. 3

答案 A

二、填空题

8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则

AD的长度等于________．

解析 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴cos C＝31，∴sin C22

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ADC中，由正弦定理得，

答案 2 ADsin CACsin∠ADC ∴AD＝21×2. sin 45°29. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csin A，角C＝________.

解析：根据正弦定理，

3a＝2csin A，得asin A＝csin C ， a

sin A＝c

3

2

3π∴sin C＝，而角C是锐角．∴角C＝23

π答案： 3

10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶

sinB∶sinC为______．

答案 6∶5∶4

11．若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值________．

解析 (数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝2BC， 得x＋12＋y2＝2 x－12＋y2，化简得(x－3)2＋y2＝8， 即C在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动， 1所以S△ABC＝·|AB|·|yC|＝|yC2，故答案为22. 2

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答案 2

batan C12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若6cos C，则abtan A

tan C＋的值是________． tan B

14222解析 法一 取a＝b＝1，则cos C＝，由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝，33

∴c＝3，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tan A＝tan B＝2，又sin C3

2tan Ctan C＝，tan C＝22，∴4. 3tan Atan B

baa2＋b2a2＋b2－c2

法二 由＋＝6cos C，得＝6· abab2ab

3tan Ctan C cos Acos B ＋＝ 即a2＋b2＝2，∴＋＝tan C 2tan Atan B sin Asin B sin2C2c2

＝4. cos Csin Asin Ba2＋b2－c2

答案 4

三、解答题

13．叙述并证明余弦定理．

解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C，

法一 如图(1)，

图(1)

a2＝→BC·→BC

＝(→AC－→AB)·(→AC－→AB)

＝→AC2－2→AC·→AB＋→AB2

＝→AC2－2|→AC|·|→AB|cos

A＋→AB2

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＝b2－2bccos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccos A.

同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.

法二

图(2)

已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，

∴a＝|BC|＝(bcos A－c)＋(bsin A)

＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A

＝b2＋c2－2bccos A.

同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B， 2222

c2＝a2＋b2－2abcos C.

14．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝

求a.

解析：由余弦定理b＝a＋c－2accos B

2π＝a＋c－2accos 3222222πb＝13，a＋c＝4，3

＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.

又∵a＋c＝4，b13，∴ac＝3.

a＋c＝4，联立 ac＝3，

解得a＝1或a＝3.

15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值

.

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cos A－2cos C2c－a16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝. cos Bb

sin C(1)求的值； sin A

1(2)若cos B＝ABC的周长为5，求b的长． 4

解析 (1)由正弦定理，设a

sin A＝b

sin B＝c

sin C＝k，

2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A则＝＝， bksin Bsin B

cos A－2cos C2sin C－sin A所以＝. cos Bsin B

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．

又A＋B＋C＝π，

sin C所以sin C＝2sin A，因此2. sin A

sin C(2)由＝2得c＝2a. sin A

1由余弦定理及cos B＝ 4

1b＝a＋c－2accos B＝a＋4a－4a×＝4a2. 4222222

所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.

文章来源：福州五佳教育网 http://www.77cn.com.cn/yikao/ (五佳教育艺考文化课集训，承诺保过本科线，打造福建省性价比最高的文化课集训)

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