湖北省六校联考2015届高三上学期1月调考数学（理）解析

2014-2015学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．设复数z满足 A．﹣2+i

，则 =( ) B．﹣2﹣i

C．2+i

，

D．2﹣i

解：设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，

∴z=2﹣i，=2+i， 故选C．

x2

2．设集合P={x|∫0（3t﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( ) A．2 B．3 C．7 D．8

x2

解：∵P={x|∫0（3t﹣10t+6）dt=0，x＞0}， ∴P={2，3}

2

因为集合A中有2个元素，所以集合A子集有2=4个，则集合A的非空子集的个数是4﹣1=3． 故选B．

3．下列结论正确的是( )

A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λ

B．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0” C．命题：若x=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x≠1

22

D．若命题P：?x∈R，x﹣x+1＜0，则￢P：?x∈R，x﹣x+1＞0 解：A．若向量∥，

，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；

2

2

B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；

C．命题：若x=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x≠1，正确；

22

D．命题P：?x∈R，x﹣x+1＜0，则￢P：?x∈R，x﹣x+1≥0，不正确． 故选：C．

4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )

2

2

A．36π

B．9π

C．π

D．

π

解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形， 故底面外接圆半径r=， 由主视图中棱锥的高h=1， 故棱锥的外接球半径R满足：R=故该几何体外接球的体积V=故选：C

5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．729

3

解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a2=27 即a2=3 因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）

所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3

5

所以，a6=1×3=243 故选C

6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣的周期是π，则以下结论正确的个数( ) （1）f（x）的图象过点（0，） （2）f（x）的一个对称中心是（（3）f（x）在[

]上是减函数

）

＜φ＜

）的图象关于直线x=

对称，它

=π，

=，

（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象． A．4 B．3 C．2 D．1 解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣∴ω=2，

又图象关于直线x=∵﹣

＜φ＜

， ．

）． 对称，则2×

φ=kπ+

，即φ=

，k∈Z．

＜φ＜

）的周期是π，

∴取k=1得φ=

∴f（x）=3sin（2x+

①∵f（0）=3sin=．

∴f（x）的图象过点（0，）错误； ②∵f（

）=3sin（2×

+

）=3sinπ=0．

）正确； ，得： ．

取k=0，得∵[∴f（x）在[④∵φ=

＞0，

）是把y=3sinωx

]?

．

，

]上是减函数正确；

∴f（x）的一个对称中心是（③由

∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+向左平移

个单位得到，

则f（x）的图象向右平移∴命题④错误．

个单位得到函数y=3sinωx的图象．

7．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则

a的取值范围是( ) A．（﹣4，2） B．（﹣1，2）

解：由题意作出其平面区域，

C．（﹣4，0） D．（﹣2，4）

将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距， 则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知， ﹣1＜﹣＜2， 则﹣4＜a＜2， 故选A．

8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=则下列结论中错误的个数是( ) （1）AC⊥BE．

（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为

．

，

（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．

（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．

（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．

A．0

B．1

C．2

D．3

解：对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确． 对于（2），∵AA1∥BB1，AA1?平面BB1DD1，BB1?平面BB1DD1， ∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，

又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1， A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离

，

，故（2）正确；

∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为对于（3），∵S△BEF=

=

，

设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=∴VA﹣BEF=

=

，故（3）正确；

，

对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，

则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条． 故（4）正确；

对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条． 并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确； 故答案为：A．

9．已知椭圆C1：

+

=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：

﹣

=1（a2＞0，b2＞0）

有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若

22

PF1⊥PF2，则4e1+e2的最小值为( ) A．

B．4

C．

D．9

解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2， 令P在双曲线的右支上，

由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，① 由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，② 又∵PF1⊥PF2， ∴

①+②，得将④代入③，得

2

2

=4c，③

=，

，④

2

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