二次函数面积和周长最值问题

二次函数面积和周长最值问题

15、[淮南市洞山中学第四次质量检测，21,12分]（本题12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、

B（5，0）、C（0，5）三点。 （1）求这个二次函数的解析式；

（2）过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E（4,m），请求出△CBE的面积S的值。

y

C O A F B E x 16、（2012深圳市龙城中学质量检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；(3分)

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(4分)

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边y形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.(3分)

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y=AOCxMBk相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣x2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（山东省临沂市）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． y

4 A O B x

-2 C

2. 如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=?2x?12的图象相交于点A，动点E从O点出发，沿OA方

向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S.

（1）求点A的坐标； （2）求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标； （3）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式； （4）在（3）的条件下，t为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时（2）中的 抛物线的顶点P是否在直线EF上，请说明理由.

-2

y C F M A N O

E B x

y C B

D 1 O

1

A

x

11.如图12-2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B． （1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2） 求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

（3） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P， 使S△PAB=

9S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 8图12-2

6.如图，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OA=4,AO=2OC，且抛物线对称轴为直线x??3

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)已知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取得最大值时，连接DF并延长至点M，使FM?22DF，求出此时点M的坐标。 5(3)若点Q是抛物线上一点，且横坐标为?4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得BPQ是直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

7.（一中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y??x?3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y?mx?nx?3经过点A和点（2，3），与x轴的另一交点为C.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点P是x轴下方的抛物线上一点，且△ACP的面积为10，求P点坐标； （3）若点D为抛物线上AB段上的一动点（点D不与A，B重合），过点D作DE⊥x轴交x轴于F，交线段AB于点E.是否存在点D，使得四边形BDEO为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点D的坐标；若不存在，请通过计算说明理由.

B

A

CO

2

yx

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），△AOB的面积是3.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2 : 3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8.（一中）如图，在Rt△ABO中，OB=8,tan∠OBA=

B O x B O x A A y y 3.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面42直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB＝4OC.若抛物线y?ax?bx?c经过点A、B、C .

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；

（3）有两动点M,N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点N以

每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动.设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S .

①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②判断在①的过程中,t为何值时，△OMN 的面积最大？

10.（一中）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－4，0），点N的坐标为（－3，－2）,直角梯形OMNH关于原点O的中心对称图形是直角梯形OABC，（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （1）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（2）在直角梯形OABC中，截取BE=AF=OG=m(m＞0)，且E，F，G分别在线段BA，AO，OC上，求四边形的面积．．．BEFG．．．．．．．S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若

不存在，请说明理由；

（3）在（2）的情况下，是否存在BG∥EF的情况，若存在，请求出相应m的值，若不存在，说明理由． y 11．（南开）如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线

y=-2x2+bx+c (a≠0)经过点A、C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;

（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为

等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由. y P C 3 2 1 A B ?2?10 1 2 3 (28题图) 4 x 12. （一中）矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示, A、C两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线y?与BC相交于D.

(1) 求点D的坐标;

(2) 若抛物线y?ax?bx经过D、A两点, 试确定此抛物线的解析式;

21x2(3) P为x轴上方(2)中抛物线上一点, 求?POA面积的最大值;

(4) 设(2)中抛物线的对称轴与OD交于点M, 点Q为对称轴上一动点, 以Q、O、M为顶点的三角形与?OCD相似,

求符合条件的Q点的坐标.

4、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线y??x?bx?c与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

14.（一中）如图，已知抛物线y?ax2?bx?c经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连接AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.

（1） 求这条抛物线的函数关系式.

（2） 两个动点P、Q分别从O、A同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着线段AB向B点运动. 设这两个动点运动的时间为t（秒) (0＜t≤2)，△PQA的面积记为S.

① 求S与t的函数关系式；

② 当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；

（3）是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.

26、已知二次函数y?(x?1)?4的图象如图所示.

（1）求抛物线与x轴交点A、B的坐标（点A在点B的左侧），及与y轴的交点C的坐标； （2）设抛物线的顶点为点D，求?BCD的面积S；

（3）在抛物线上是否存在点E，使以A、B、C、E为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点E的坐标，并说明

理由；若不存在，请说明理由。

22

2. （2010年广州中考数学模拟试题(四)）关于x的二次函数y＝－x2＋(k2－4)x＋2k－2以y轴为对称轴，且与y轴的

交点在x轴上方．

(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；

(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；

(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说

C2 C1 B1 D1 y A1 B2 x

D2 A2 第2题图

25．如图，抛物线y?12x?bx?c与直线l:y?kx?m交于A(4,2),B(0,?1)两点。 2(1)求抛物线与直线的解析式；

(2)若点D是直线，下方抛物线上的一动点，过点D作DE//y

轴交直线l于点E，求DE的最大值，并求出此时D点的坐标；

(3)在(2)的条件下，DE取最大值时，点P在直线AB上，平面内是否存在点Q，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形为菱形?若存在直接写出Q点坐标，若不存在说明理由．

25、如图，抛物线y?ax?bx?2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为??1,0?，抛物线的对称轴为直线x?1.5，

2点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y??x?n于点C。 （1）求直线AC及抛物线的解析式；

（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标； （3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使

S?ABQ?

2S?3AP，求点BQ的坐标。

26．已知如图1，抛物线y??323x?x?3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D84的坐标是（0，-1），连接BC、AC. （1）求出直线AD的解析式；

（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当?ADF的面积最大时，有一线段MN?5（点M在点

N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周

长最小时点N的横坐标；

（3）如图3，将?DBC绕点D逆时针旋转?（0???180），记旋转中的?DBC为?DB?C?，若直线B?C?与

???直线AC交于点P，直线B?C?与直线DC交于点Q，当?CPQ是等腰三角形时，求CP的值.

′

′

图1 图2

（第26题图）

图3

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线?x?2791x?与直线y?x?b交于A、B两点，其中点A在x轴上，点P222是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，连接PA、PB。

(1)求直线的解析式及A、B两点的坐标；

(2)过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，当线段PC最大时，求此时点C的坐标及PC的最大值：

(3)当∠PAB=90°时，求此时点P的坐标。

25． 如图，二次函数y?ax?bx?3的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y?mx?n的

2nt图象经过点B和二次函数图象上另一点A. 点A的坐标（4 ，3），a?ABC?1. 2（1）求二次函数函数和一次函数解析式；

y（2）若抛物线上的点P在第四象限内，求?ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标； y（3）若点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的求点M的坐标.

5倍， 2ABOCxx

25.如图，抛物线y=ax2+ bx+2与z轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1,0），抛物线的对称轴为直线x=

3，点M为线2段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y= -x+n于点C． (1)求直线AC及抛物线的解析式； (2)着PM=3，求PC的长；

(3)过P作PQ∥X轴交抛物线于点Q，过Q作QN垂直x轴子N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d， 求d的最大值．

26．如图l，抛物线y?ax?bx?3交x轴于B、C两点，且B的坐标为(-2，0)，直线y?mx?n过 点B和抛物线上另一点A(4，3)． (1)求抛物线和直线的解析式；

(2)若点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，过P作PQ∥x轴。且PQ=4(点Q在点P 右侧)，以PQ为一边作矩形PQEF，且点E在直线AB上。求矩形PQEF周长的最大值，并求 出此时点P的坐标；

(3)如图2，在(2)的结论下，连接AP、BP，设QE交x轴于点D，现将矩形PQEF沿射线DB

以每秒1个单位长度的速度平移，当点D到达点B时停止。记平移时间为t，平移后的矩形PQEF

2

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