随机过程课后习题

习题一

1．设随机变量X服从几何分布，即：P(X?k)?pqk,k?0,1,2,...。求X的特征函数、EX及DX。其中0?p?1,q?1?p是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b）的?分布的特征函数，其概率密度函数为

?bpp?1?bxxe,x?0?p(x)???(p)?0,x?0?b?0,p?0（2）求其期望和方差；

（3）证明对具有相同的参数b的?分布，关于参数p具有可加性。 3．设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）Y?aF(X)?b,(a?0,b是常数)； （2）Z=lnF(X)，并求E(Zk)（k为自然数）。

4．设X1,X2,...,Xn相互独立，具有相同的几何分布，试求 X k的分布。

k?1?nejt(1?ejnt)5．试证函数 f (t ) ? jt 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

n(1?e)6．试证函数 f ( t ) ? 2 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N(a,?2)，试求n维随机向量率密度函数。

11?t1nX1,X2,...,Xn的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 X ? ? X i的概

ni?18．设X、Y相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为(p1,b),(p2,b)的?分布。求X+Y的分布。 9．已知随机向量（X, Y）的概率密度函数为

?122?[1?xy(x?y)],?1?x,y?1p(x,y)??4

??0,其他试求其特征函数。

（X1,X2,X3,X4）10．已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩

阵为B=(?kl)4?4，求E(X1,X2,X3,X4)。

11．设X1，X2 和X3相互独立，且都服从N(0,1)，试求随机变量Y1?X1?X2和

Y2?X1?X3组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。

12．设X1，X2 和X3相互独立，且都服从N(0,?2)，试求：

（1）随机向量(X1, X2, X3)的特征函数；

X3,S?1X?（2）设S1?X1,S求随机向量(S1, S2, S3)的特2?X1?22X?3X，

征函数；

（3）Y1?X2?X1和Y2?X3?X2组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。 13．设(X1, X2, X3)服从三维正太分布N(0,B)，其中协方差矩阵为B=(?ld)3?3，且

2?11??22??33??2。试求E[(X12??2)(X2??2)(X32??2)]。

14．设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N(0,?2)。试求

Yn?exp(??Xi2)的期望。

i?1n15．设X、Y是相互独立同分布的N(0,1)随机变量，讨论U?X2?Y2和 V ? 的独立性。

和 V ? 的独立性。

17．设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数分别如下，试求E(X|Y?y)。 16．设X、Y是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论U?X?YXYXX?Y?1?y?xy,x?0,y?0?e（1） p(x,y)??y? ?0,其他

??2e??x,0?y?x（2） p(x,y)???0,其他18．设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0, 1]上的均匀分布，Y服从参数为?的指数分布。求（1）X与X+Y的联合概率密度函数；（2）D(X|Y=y)。

0n???n19．设Xn，n=1，±1，±2，…是一列随机变量，且 X n ~ ? 1 2 1 ? ，

???K1?KK?nn?其中K是正常数。试求： ?n（1）当K>1时，Xn几乎肯定收敛于0； （2）当K>2时，Xn均方收敛于0； （3）当K>3时，Xn不均方收敛于0。

ppp?a,Yn???b，试证明Xn?Yn???a?b。 20．设Xn?? 习题二

??11?1．设X(i = 1, 2, 3,…)是独立随机变量列，且有相同的两点分布 ? 1 ? ，令 1?? ?22?nY(0)?0，Y (n X i，试求： ) ??i?1 （1）随机过程{Y(n), n = 0, 1, 2, …}的一个样本函数；

（2）P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值； （3）P[Y(n)=k]； （4）均值函数； （5）协方差函数。 2．设X(t)?Acos?t?Bsin?t，其中A、B是相互独立且有相同的N(0,?2)分布

的随机变量，?是常数，t?(??,?)，试求：

（1）X(t)的一个样本函数； （2）X(t)的一维概率密度函数； （3）均值函数和协方差函数。

3．设随机过程 X ( t ) ? ( Y k cos ? k t ? Z k sin ? ), t ? 0 。其中Y1,Y2,...,Yn， kt

k?1?nZ1,Z2,...,Zn是相互独立的随机变量，且Yk,Zk~N(0,?k2),k?1,2,...,n。

（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；

（2）证明{ X(t)}是正太过程。 4．设{Wt(),t0}?是参数?2的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：

1t?12（3）X(t)?cW(ct),t?0； （4）X(t)?W(t)?tW(t),0?t?1。

（1）X(t)?W2(t),t?0； （2）X ( t ) ? tW ( ), t ? 0 ；

5．设到达某商店的顾客组成强度为?的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{Y(t),t?0}是购买商品的顾客流，证明{Y(t),t?0}是强度为?p的Poisson流。

6．在题5中，进一步设{Z(t),t?0}是不购买商品的顾客流，试证明{Y(t),t?0}与{Z(t),t?0}是强度分别为?p和?(1?p)的相互独立的Poisson流。

7．设{N1(t),t?0}和{N2(t),t?0}分别是强度为?1和?2的独立Poisson流。试证明：

（1）{N1?N2(t),t?0}是强度为?1??2的Poisson流；

0}的任一到达时间间隔内，{N2(t),t?0}恰有k个时间发（2）在{N1(t),t?生的概率为

pk??1?1??2?(?2?1??2)k,k?0,1,2,...8．设{N(t),t?0}是Poisson过程，?n和Tn分别是{N(t),t?0}的第n个时间的到达时间和点间距距离。试证明：

（1）E(?n)?nE(Tn),n?1,2,...； （2）D(?n)?nD(Tn),n?1,2,...。

9．设某电报局接收的电报数N(t)组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：

（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。

10．设{N1(t),t?0}和{N2(t),t?0}分别是强度为?1和?2的独立Poisson过程，令X(t)?N1(t)?N2(t),t?0，求{X(t),t?0}的均值函数与相关函数。 11．设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，T是服从参数为?的指数分布的随即变量，且与{N(t)}独立，求[0,T]内事件数N的分布律。

习题三

1. 证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。

2. 设Xn,n?1,2,...，是独立同分布的随机变量序列，均值为μ，方差为1，定

1n义Yn??Xi。证明limXn??。

n??ni?13. 研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

（1）X(t)?At?B，其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为s1、s2；

（2）X(t)?At2?Bt?C，其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为s1、s2、s3； （3）{N(t),t?0}是Poisson过程； （4）{W(t),t?0}是Wiener过程.

4. 试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值

函数和相关函数。

5. 求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。 （1）X(t)?cos(?t??)，其中?是常数，?服从[0,2π]上的均匀分布； （2）X(t)?tW??,t?0, 其中W(t)是参数为1的Wiener过程； （3）X(t)?W222222?1??t??t?,t?0，其中W(t)是参数为s2的Wiener过程。

2?0.5(t?s)6. 均值函数为mx(t)?5sint、相关函数为Rx(s,t)?3e的随机过程

输入微分电路，该电路输出随机过程Y(t)?X?(t)，试求Y(t)的均值函数、相关函数、X(t)与Y(t)的互相关函数。 7. 试求第3题中可积过程的如下积分：

1t1t?LY(t)??X(u)du，Z(t)??X(u)du

t0Lt的均值函数和相关函数。

8. 设随机过程X(t)?Ve3tcos2t，其中V是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程Y(t)??T0 X(s)ds的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。

9. 设{W(t),t?0}是参数为s2的Wiener过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。 （1）X(t)?（2）X(t)?（3）X(t)?t?W(s)ds,t?0；

0t?sW(s)ds,t?0；

0?t?lt[W(s)?W(t)]ds,t?0。

?X?(t)?aX(t)?0,t?0(a?0) ?X(0)?X0?10. 求一阶线性随机微分方程

的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中X0是均值为0、方差为s2的正态随机变量。

11. 求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。

?Y?(t)?X(t),t?[a,b](a?0) (1) ?Y(a)?Y0?其中X(t)是一已知的二阶均方连续过程,Y0是与X(t)独立的均值为m、方差为

s2的随机变量。

?Y?(t)?aY(t)?X(t),t?0(a?0) (2) ?Y(0)?Y0?其中X(t)是一已知的均值函数为mx(t)?sint、相关函数为

RX(s,t)?e??t?s(??0)的二阶均方连续过程。

14．设某更新过程的更新密度是f(t)??2te??t,t?0，试证明其更新函数是

11m(t)??t?(1?e?2?t)

2415．考虑一个系统，由于使用时间过长后会失效，而且一般失效时所造成的损失

较大，因此经常是在失效前就用一个新的同类系统更换之。考虑这样一种策略：对固定的T>0，当系统在T时还未失效时就更换（称事前更换）；若在T之前已经失效，则在失效时就更换（称事后更换）。设c1是事前更换的费用，c2是事后更换的费用。试求使长期运行单位费用达到最小的T。

16．设有一马氏更新过程(X,T)，其状态空间为S={a,b}，半马氏核为

?0.6(1?e?5t)Q(t)???3t?5t?0.5?0.2e?0.3e0.4?0.4e?2t0.5?0.5e?2t? ?2t??te?（1）试求嵌入马氏链X的转移概率矩阵；

（2）对任意的状态i、j，试计算给定现在的状态为i而下一步的状态为j的条件下，在状态i的逗留时间的分布函数。

17．对题16中的(X,T)，设X0?a,X1?a,X2?b,X3?b，试求以下条件概率：

（1）P{T1?x,T2?T1?y,T3?T2?z|X0,X1,X2,X3}； （2）P{T3?x|X0,X1,X2,X3}。

18．某机器由两个部件组成，它们的寿命分别是参数为0.01和0.04的指数分布。当有一个部件失效时，机器就失效，两个部件失效时的修理时间分别服从分布函数F和G，定义随机过程Y(t)?0,1,2分别表示机器在t时工作，部件1在修理，部件2在修理。试证明Y是一个马氏更新过程，其核为

?0?Q(t)??0?0.2H?000.8HF(t)??G(t)? 0??其中H(t)?1?e?0.05t。进而，试计算P0{Y(t)?j},j?0,1,2,3。

19．进一步考虑题18。假定部件1和2的平均修理时间分别是2和1，而修理部

件1和2的单位时间修理费用分别是18元和4元，机器在单位时间中运行的获利为10元。试计算长期运行下单位时间中的纯获利（即计算lim和期望折扣总获利（设连续折扣因子??1）。

20．考虑一个齐次马氏链，设T是非常返状态集，对i?T，记Mi表示从初始状态i出发到达某一个常返状态的首达时间，试证明

1tg(Y(t))dt）

t??t?0Mi?1??pijMj,i?T

j?T21．举例说明一个正常返（或零常返）的马氏更新过程，其嵌入马氏链是零常返的（或正常返的）。

22．对一个连续时间马氏过程，试证明

mjj?t?jj?1?1?jjj?pk?0?jk(t)?kj

23．对一个生灭过程，试证明从状态0出发首次到达状态n+1的期望时间是

?Pj?j?0i?0?1?iPi

其中Pj是由(6.7.14)式给出的极限概率。

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