2010-2012高考数学分类汇总之数列（含答案） - 图文

数 列

二、大题

46、（12江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an?1?2???bbn?n??（1）设bn?1?1?，n?N，求证：数列?????是等差数列； aan??n????an?bnan2?bn2，n?N?．

（2）设bn?1?2?bn，n?N?，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an?b22?1?n?b??b?an 解：（1）∵?n?1???n????an?1??an??an?bn??a2?b2n?n （2）∵an?0，bn?0 ∴

?2?22???b??n??an?bn????aan?n?????22??b?2???n??1?n?N*? ??an??22?an?bn?2?an2?bn2??an?bn? ∴1?an?1?an?bnan?bn22?2 ∵{an}是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为q，则q?0 ①当q?1时， ∵an?0

∴数列?an?是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得an?1?2 ②当0?q?1时 ∵an?0

∴数列?an?是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得an?1?1

* 由①②得：q?1 ∴an?a1n?N

?? ∵1?an?1?an?bnan?bn22?2

得：a1?a1?bna?bn212，且1?a1?2

∴bn?a1?a122?a12a12?1 ∵bn?1?2?bn2?bn，n?N* ana1 ∴数列?bn?是公比为

22?1 的等比数列 ∵ 1?a1?2 ∴a1a1 ①当

2?1时, a1 数列?bn?是单调递增的数列，这与bn?a1?a122?a12a?121矛盾

②当

2?1时, a1 数列?bn?是常数数列，符合题意 ∴a1?2 ∴bn?2 ∴b1?2 2?xn?c(n?N*) 47、（12安徽）数列{xn}满足：x1?0,xn?1??xn （I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0

（II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。

解：（I）必要条件：当c?0时，xn?1??xn?xn?c?xn?数列{xn}是单调递减数列 充分条件：数列{xn}是单调递减数列?x1?x2??x1?x1?c?c?x1?0

得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0

（II）由（I）得：c≥0

①当c?0时，an?a1?0，不合题意

②当c?0时，x2?c?x1,x3??c?2c?x2?c?0?c?1 xn?1?xn?c?xn?0?xn?c?1?0?x1?xn?22222222c xn?2?xn?1??(xn?1?xn)?(xn?1?xn)??(xn?1?xn)(xn?1?xn?1)

当c?11时，xn?c??xn?xn?1?1?0?xn?2?xn?1与xn?1?xn同号， 42由x2?x1?c?0?xn?2?xn?0?xn?1?xn

limxn?1?lim(?xn?xn?c)?limxn?c n??n??n??2 当c?11时，存在N，使xN??xN?xN?1?1?xN?2?xN?1与xN?1?xN异号 42与数列{xn}是单调递减数列矛盾

得：当0?c?1时，数列{xn}是单调递增数列 448、（12广东）设数列?an?的前n项和为Sn，满足2Sn?an?1?2n?1?1,n?N?,且a1,a2?5,a3成等

差数列。(1)求a1的值；(2)求数列?an?的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有

1113??L??. a1a2an2

n?12解：（1）在2Sn?an?1?2?1中，令n?1得：2S1?a2?2?1令n?2得：2S2?a3?2?1

解得：a2?2a1?3，a3?6a1?13

3又2?a2?5??a1?a3 解得a1?1

（2）由2Sn?an?1?2n?1?1及2Sn?1?an?2?2n?2?1得an?2?3an?1?2n?1

又a1?1,a2?5也满足a2?3a1?21∴ an?1+2n?1?3an?2n所以an?1?3an?2n对n?N?成立。 ，

n?? ∴ a??2n?3n

∴ an?3n?2n

（3）（法一）∵an?3n?2n??3?2?3n?1?3n?2?2?3n?3?22?...?2n?1?3n?1

???1?n?1??1??????3??3111111111?? ∴ ?n?1 ∴???...?1??2?...?n?1??1an3a1a2a3an33321?3（法二）∵an?1?3n?1?2n?1?2?3n?2n?1?2an ∴

111?? an?12an当n?2时，

111111111??????……… a32a2 a42a3 a52a4111 ??an2an?11?1?累乘得： ???an?2?n?2?1a2

n?21111111?1???...?1????...???∴?a1a2a3an525?2?173??? 552x1?2,xn?1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))49、（12全国）函数f(x)?x2?2x?3，定义数列?xn?如下：

的直线PQn与x轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2≤xn?xn?1?3；（Ⅱ）求数列?xn?的通项公式。

解：

50、（12江西）已知数列{an}的前n项和Sn??n2?kn（其中k?N?），且Sn的最大值为8。

129?2a（1）确定常数k，并求an；（2）求数列{nn}的前n项和Tn。

2

B(n)?a2?a3?L?an?1，51、（12湖南）已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)?a1?a2?L?an，

C(n)?a3?a4?L?an?2，n?1,2,L.

（Ⅰ）若a1?1,a2?5，且对任意n?N*，三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列，求数列{an}

的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n?N*，三个

数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列。

解：（Ⅰ）对任意n?N,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，所以 B(n)?A(n)?C(n)?B(n),

即an?1?a1?an?2,亦即an?2?an?1?a2?a1?4.

故数列?an?是首项为１，公差为４的等差数列.于是an?1?(n?1)?4?4n?3. （Ⅱ）（１）必要性：若数列?an?是公比为ｑ的等比数列，则对任意n?N，有

??an?1?anq.由an?0知，A(n),B(n),C(n)均大于０，于是

B(n)a2?a3?...?an?1q(a1?a2?...?an)???q, A(n)a1?a2?...?ana1?a2?...?anC(n)a3?a4?...?an?2q(a2?a3?...?an?1)???q, B(n)a2?a3?...?an?1a2?a3?...?an?1

即

B(n)C(n)＝＝q，所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. A(n)B(n)?（２）充分性：若对于任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列，则

B(n)?qA(n),C(n)?qB(n)，

于是C(n)?B(n)?q?B(n)?A(n)?,得an?2?a2?q(an?1?a1),即an?2?qan?1?a2?a1. 由n?1有B(1)?qA(1),即a2?qa1，从而an?2?qan?1?0. 因为an?0，所以

an?2a2??q，故数列?an?是首项为a1，公比为q的等比数列， an?1a1综上所述，数列?an?是公比为q的等比数列的充分必要条件是： 对任意n∈N﹡，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

52、（12湖北）已知等差数列{an}前三项的和为?3，前三项的积为8。

（1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列?an?的前n项和。

解：

53、（12陕西）设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn，且a5,a3,a4成等差数列。

(Ⅰ)求数列{an}的公比；（Ⅱ）证明：对任意k?N?，Sk?2，Sk，Sk?1成等差数列.

解：（1）设数列?an?的公比为q（q?0，q?1）。

由a5，a3，a4成等差数列，得2a3?a5?a4，即2a1q?a1q?a1q。

由a1?0，q?0得q?q?2?0，解得q1??2，q2?1（舍去），所以q??2。 （2）证法一：对任意k?N?，Sk?2?Sk?1?2Sk??Sk?2?Sk???Sk?1?Sk?

?ak?1?ak?2?ak?1 ?2ak?1?ak?1???2??0，

所以，对任意k?N?，Sk?2,2243Sk,Sk?1成等差数列。 2a1?1?qk?1?q，

证法二：对任意k?N?，2Sk?Sk?2?Sk?1?

a1?1?qk?2?1?q?a1?1?qk?1?1?q?a1?2?qk?2?qk?1?1?q，

2Sk??Sk?2?Sk?1??2a1?1?qk?1?q?a1?2?qk?2?qk?1?1?q

?a1?2?1?qk???2?qk?2?qk?1??

?1?q?a1qk2 ??q?q?2??0，

1?q因此，对任意k?N?，Sk?2,Sk,Sk?1成等差数列。

54、（12重庆）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn?1?a2Sn?a1，其中a2?0。 （I）求证：{an}是首项为1的等比数列；

（II）若a2??1，求证：Sn≤(a1?a2)，并给出等号成立的充要条件。

解：（1）证明：由S2?a2S1?a1，得a1?a2?a1a2?a1，即a2?a2a1。 因a2?0，故a1?1，得

n2a2?a2， a1 又由题设条件知Sn?2?a2Sn?1?a1，Sn?1?a2Sn?a1 两式相减得Sn?2?Sn?1?a2?Sn?1?Sn?，即an?2?a2an?1， 由a2?0，知an?1?0，因此

an?2?a2 an?1 综上，

an?2?a2对所有n?N*成立，从而?an?是首项为1，公比为a2的等比数列。 an?1（2）当n?1或2时，显然Sn?n(a1?an)，等号成立。 2n?1 设n?3，a2??1且a2?0，由（1）知，a1?1，an?a2，所以要证的不等式化为：

1?a2?a22???a2n?1?即证：1?a2?a2???a2?2nn1?a2n?1??n?3? ?2n?11?a2n??n?2? ?2当a2?1时，上面不等式的等号成立。 当?1?a2?1时，a2?1与a2当a2?1时， a2?1与a2rrn?r?1，（r?3,21,1?n?）同为负； ?1，（r?3,21,1?n?）同为正；

n?r因此当a2??1且a2?1时，总有 （a2?1）（a22rn?r?1）>0,即a2r?a2n?r?1?a2n，（r?3。 ,21,1?n?）

n?r上面不等式对r从1到n?1求和得，2(a2?a2???a2由此得1?a2?a22???a2n?)?(n?1)?1?a2n?

n?11?a2n? ?2n综上，当a2??1且a2?0时，有Sn?(a1?an)，当且仅当n?1,2或a2?1时等号成立。

2L，xn}，其中0?x1?x2?L?xn，n?2，定义向量集55、（12上海）对于数集X?{?1，x1，x2，uruururuurrrY?{a|a?(s,t),s?X,t?X}，若对任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X具有性

质P．例如{?1,1,2}具有性质P．

（1）若x?2，且{?1,1,2,x}具有性质P，求x的值；

（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn?1时，x1?1；

L，xn的通项公式。 （3）若X具有性质P,且x1?1,x2?q（q为常数),求有穷数列x1，x2，解：（1）选取a1?(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(?1,b). ……2分

所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取a1?(x1,x1)?Y.设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0.

由(s?t)x1?0得s?t?0，所以s、t异号.

因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，

故1?X. ……7分 假设xk?1，其中1?k?n，则0?x1?1?xn.

选取a1?(x1,xn)?Y，并设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0，即sx1?txn?0， 则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1. 若s=-1，则2，矛盾；

若t=-1，则xn?sx1?s?xn，矛盾.

所以x1=1. ……10分

（3）[解法一]猜测xi?qi?1，i=1, 2, ?, n. ……12分

记Ak?{?1,1,x2,?,xk}，k=2, 3, ?, n. 先证明：若Ak?1具有性质P，则Ak也具有性质P.

任取a1?(s,t)，s、t?Ak.当s、t中出现-1时，显然有a2满足a1?a2?0； 当s??1且t??1时，s、t≥1.

因为Ak?1具有性质P，所以有a2?(s1,t1)，s1、t1?Ak?1，使得a1?a2?0，

从而s1和t1中有一个是-1，不妨设s1=-1.

假设t1?Ak?1且t1?Ak，则t1?xk?1.由(s,t)?(?1,xk?1)?0，得s?txk?1?xk?1，与

s?Ak矛盾.所以t1?Ak.从而Ak也具有性质P. ……15分

现用数学归纳法证明：xi?q当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，Ak?{?1,1,x2,?,xk}有性质P，则xi?q 也有性质P，所以Ak?1?{?1,1,q,?,q 若t??1，则1，不可能； 所以s??1，xk?1?qt?q?q 综上所述，xi?qi?1k?1i?1i?1，i=1, 2, ?, n.

，i=1, 2, ?, k；

当n=k+1时，若Ak?1?{?1,1,x2,?,xk,xk?1}有性质P，则Ak?{?1,1,x2,?,xk}

,xk?1}.

取a1?(xk?1,q)，并设a2?(s,t)满足a1?a2?0，即xk?1s?qt?0.由此可得s与t中有且只有一个为-1.

k?1?qk，又xk?1?qk?1，所以xk?1?qk.

xi?qi?1，i=1, 2, ?, n. ……18分

[解法二]设a1?(s1,t1)，a2?(s2,t2)，则a1?a2?0等价于

s1t1??s22t.

|s?X,t?X,|s|?|t|}，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. ……14分 记B?{st注意到-1是X中的唯一负数，B?(??,0)?{?x2,?x3,?,?xn}共有n-1个数， 所以B?(0,??)也只有n-1个数. 由于

xnxn?1?xnxn?2???xnx2?xnx1，已有n-1个数，对以下三角数阵

xnxn?1xn?1xn?2x2x1??xnxn?2xn?1xn?3??????xnx2xn?1x1?

xnx1

??

注意到

xnx1

x2x1?xn?1x1???，所以

xnxn?1?xn?1xn?2???x2x1，从而数列的通项公式为

2k?1?qk?1，k=1, 2, ?, n. ……18分 xk?x1(x1)x56、（12山东）在等差数列{an}中，a3?a4?a5?84,a9?73. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

m2m（Ⅱ）对任意m?N?，将数列{an}中落入区间?9,9?内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm。

解：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得3a4?84,a4?28,而a9=73，则5d?a9?a4?45,d?9，

a1?a4?3d?28?27?1，于是an?1?(n?1)?9?9n?8，即an?9n?8.

（Ⅱ）对任意m∈N﹡，9?9n?8?9即9m?1m2m，则9?8?9n?9m2m?8，

?88?n?92m?1?，而n?N*，由题意可知bm?92m?1?9m?1， 99132m?1于是Sm?b1?b2?L?bm?9?9?L?9?(90?91?L?9m?1)

9?92m?11?9m92m?1?99m?192m?1?10?9m?192m?1?19m???????， 21?9808808081?992m?1?19m?即Sm?. 808a4+b4=27，57、（12天津）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，?bn?是等比数列,且a1?b1=2，

S4?b4=10。 (Ⅰ)求数列{an}与?bn?的通项公式；

(Ⅱ)记Tn=anb1+an?1b2+L+anb1，n?N+，证明Tn+12=?2an+10bn(n?N+)。

58、（12四川）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an?S2?Sn对一切正整数n都成立。 （Ⅰ）求a1,a2的值； （Ⅱ）设a1?0,数列{lg10a1}的前n项和为Tn,当n为何值时,Tn最大？并求出Tn的最大值。 an本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力， 考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想

解：（I）取n?1，得a2a1?S2?S1?2a1?a2 ①

取n?2，得a2?2a1?2a2 ②

2

由②?①，得a2(a2?a1)?a2 ③ （1）若a2?0，由①知a1?0

（2）若a2?0，由③知a2?a1?1 ④ 由①、④解得，a1?2?1,a2?2?2；或a1?1?2,a2?2?2 2?1,a2?2?2；或a1?1?2,a2?2?2……5分

综上可得，a1?0,a2?0；或a1?（II）当a1?0时，由（I）知a1?2?1,a2?2?2

当n?2时，有(2?2)an?S2?Sn,(2?2)an?1?S2?Sn?1， 所以(1?2)an?(2?2)an?1，即an?所以an?a12令bn?lgn?12an?1(n?2)，

?(2?1)?(2)n?1

10a111100，则bn?1?lg(2)n?1?1?(n?1)lg2?lgn?1 an222所以数列{bn}是单调递减的等差数列（公差为?1，从而 lg2）

210?lg1?0 811001当n?8时，bn?b8?lg?lg1?0，

21282b1?b2?...?b7?lg故n?7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为

T7?7(b1?b7)7(1?1?3lg2)21??7?lg2……………………………………….12分 222nban?1(n?2)

an?1?2n?2.

59、（11广东）设b?0,数列?an?满足a1?b，an?（1）求数列?an?的通项公式；

bn?1（2）证明：对于一切正整数n，an≤n?1?1.

2解：（１）法一：

anban?1nan?1?2(n?1)12n?1?????，得， nan?1?2(n?1)anban?1bban?1设

n21?bn，则bn??bn?1?(n?2)， anbb（ⅰ）当b?2时，?bn?是以

即bn?11为首项，为公差的等差数列， 22111?(n?1)??n，∴an?2 222（ⅱ）当b?2时，设bn???令?(?1)?知bn?222?(bn?1??)，则bn??bn?1??(?1)， bbb2b11121，得??，?bn???(bn?1?)(n?2)， b2?b2?bb2?b11121是等比数列，?bn??(b1?)?()n?1，又b1?， 2?b2?b2?bbb12n112n?bnnbn(2?b)，?an?． ?bn??()???nnn2?bb2?b2?bb2?b法二：（ⅰ）当b?2时，?bn?是以

即bn?11为首项，为公差的等差数列， 22111?(n?1)??n，∴an?2 2222b22b2(b?2)3b33b3(b?2)（ⅱ）当b?2时，a1?b，a2?，a2?2， ?2?323b?2b?2b?2b?4b?2nbn(b?2)猜想an?，下面用数学归纳法证明： nnb?2①当n?1时，猜想显然成立；

kbk(b?2)②假设当n?k时，ak?，则

bk?2kak?1(k?1)b?ak(k?1)b?kbk(b?2)(k?1)bk?1(b?2)???， ak?2(n?1)kbk(b?2)?2k?(bk?2k)bk?1?2k?1所以当n?k?1时，猜想成立，

nbn(b?2)由①②知，?n?N*，an?． nnb?2

60、（11福建）已知等比数列?an?的公比q?3，前3项和S3?（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

13． 3（Ⅱ）若函数f(x)?Asin(2x??)(A?0,0????)在x?处取得最大值，且最大值为a3，

6?求函数f?x?的解析式．

313a1?1?3?131?，解得a1?． 解：（Ⅰ）由q?3，S3?得

1?3333所以an?a1qn?1?（Ⅱ）由（Ⅰ），a3?31n?1?3?3n?2． 3?3，所以函数f?x?的最大值为3，于是A?3．

3?2又因为函数f?x?在x?则sin?2??6处取得最大值，

?????????1，因为0????，所以??． 66???函数f?x?的解析式为f(x)?3sin?2x????． 6?61、（11北京）若数列An:a1,a2,L,an（n?2）满足ak?1?ak?1(k?1,2,L,n?1)，则称An为E数

列，记S(An)?a1?a2?L?an。（Ⅰ）写出一个满足a1?a5?0，且S(A5)?0的E数列A5； （Ⅱ）若a1?12,n?2000，证明E数列An是递增数列的充要条件是an?2011；

（Ⅲ）对任意给定的整数n(n?2)，是否存在首项为0的E数列An，使得S(An)?0，如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）

L（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以ak?1?ak?1(k?1,2,所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.

所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.

充分性：由于a2000—a1000≤1，

a2000—a1000≤1

?? a2—a1≤1

所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999.

故an?1?an?1?0(k?1,2,L,1999),即An是递增数列. 综上，结论得证。

,1999).

L （Ⅲ）令ck?ak?1?ak?1?0(k?1,2,,n?1),则cA?? 1. 因为a2?a1?c1?a1?a1?c1?c2 ??

an?a1?c1?c2?L?cn?1,

n?1)c1?n(?2)c2?n(?所以S(An)?na1?(c3)?K?cn? 31?n(n?1)?[(1?c1)(n?1)?(1?c2)(n?2)?L?(1?cn?1)]. 2?ck为偶数k(?1,Ln,?1).因为ck??1,所以1

所以*1?c1)(n?1)?(1?c2)(n?2)?L?(1?cn)为偶数,

所以要使

S(An)?0,必须使n(n?1)2为偶数,

即4整除n(n?1),亦即n?4m或n?4m?1(m?N*). 当

n?4m?1(m?N*)时,E数列An的项满足a4k?1?a4k?1?0,a4k?2??1,a4k?1

(k?1,2,L,m)时，有

a1?0,S(An)?0;

a4k?1(k?1,2,?,m),a4k?1?0时,有a1?0,S(An)?0;当

n?4m?1(m?N*)时,E数列An的项满足，

a4k?1?a3k?3?0,a4k?2??1,

当n?4m?2或n?4m?3(m?N)时,n(m?1)不能被4整除，此时不存在E数列An，

使得

a1?0,S(An)?0.

62、（11安徽）在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个实数构成递增的等比数列，

将这n?2个数的乘积记作Tn，再令an?lgTn (n?1)。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?tanangtanan?1，求数列{bn}的前n项和Sn.

本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。

解：（Ⅰ）设t1,t2,K,tn?2构成等比数列，其中t1?1,tn?2?100，则

Tn?t1?t?2Ktn?1?tn?2 Tn?tn?2?t?n?1Kt2?t1

① ②

222(n?2)①×②并利用ti?tn?3?i?t1?tn?2?10,(1?i?n?2)，得Tn?10

?an?lgTn?n?2,n?1.

（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知bn?tan(n?2)?tan(n?3),n?1

另一方面，利用tan1?tan((k?1)?k)?tan(k?1)?tank

1?tan(k?1)?tank得tan(k?1)?tank?所以

tan(k?1)?tank?1

tan1Sn??bi??tan(k?1)?tanki?1i?3nn?2tan(k?1)?tank?1)tan1i?3tan(n?3)?tan3??ntan1??(n?2

63、（11江苏）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn，已

知对任意整数k属于M，当n?k时，Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立。

（1）设M??1?，a2?2，求a5的值；（2）设M??3,4?，求数列{an}的通项公式。

解：（1）Qk?1,??n?1,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1),?Sn?2?Sn?2(Sn?1?S1)即：an?2?an?2an?1。

所以，n>1时，?an?成等差，而a2?2，S2?3,S3?2(S2?S1)?S1?7,?a3?4,?a5?8; （2）由题意：?n?3,Sn?3?Sn?3?2(Sn?S3),(1);，

?n?4,Sn?4?Sn?4?2(Sn?S4),(2) ?n?4,Sn?4?Sn?2?2(Sn?1?S3),(3); ?n?5,Sn?5?Sn?3?2(Sn?1?S4),(4);

当n?5时，由（1）（2）得：an?4?an?3?2a4,(5)

由（3）（4）得： an?5?an?2?2a4,(6) 由（1）（3）得：an?4?an?2?2an?1,(7); 由（2）（4）得：an?5?an?3?2an?1,(8);

由（7）（8）知：an?4,an?1,an?2,成等差，an?5,an?1,an?3,成等差；设公差分别为：d1,d2, 由（5）（6）得：an?5?an?3?2d2?an?4?2a4?2d2,(9);

an?4?an?2?2d1?an?5?2a4?2d1,(10);

由（9）（10）得：an?5?an?4?d2?d1,2a4?d1?d2,an?2?an?3?d2?d1;

??an?(n?2)成等差，设公差为d,

在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2?15d?2(2a1?5a2?5d),即4a2?5d??2;

2a1?8a2?28d?2(2a1?7a2?9d),即3a2?5d??1 ?a2?3,d?2,?an?2n?1.

64、（11全国）设数列?an?满足a1?0, （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?1?an?1n11??1。 1?an?11?an，记Sn??bk，证明：Sn?1。

k?1n?1?111??1得：数列??1 解：（Ⅰ）由?是等差数列，首项为

1?a1?a1?an?11?ann??1故

11?1??n?1??1?n，从而an?1? 1?ann （Ⅱ）bn?1?an?1nn1?1??1n?1?n?1?n?1?1 nnn?1nn?1所以Sn??bk?1?k?1111111???????1??1 223nn?1n?165、（11辽宁）已知等差数列?an?满足a2?0,a6?a8??10。 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

?an?n?1?（Ⅱ）求数列??2?的前n项和。

?a1?d?0,?a1?1,解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得? 解得?

2a?12d??10,d??1.??1故数列{an}的通项公式为an?2?n. ??????5分

（II）设数列{anana2，即}的前n项和为SS?a??K?,故S1?1， nn1n?1n?1222Sna1a2a???K?n. 2242nSa?aaa?a1所以，当n?1时，n?a1?2 ?L?nn?1n?1?nn22221112?n?1?(??L?n?1)?n

2422 ?1?(1?12?nnn所以)?=.S?. nn?1nnn?12222 综上，数列{ann}的前n项和S?. ??????12分 nn?1n?122b1?a1?1，b3?a3?3. b2?a2?2，66、（11江西）已知两个等比数列?an?，满足a1?a(a?0)，?bn?，

（1）若a?1，求数列?an?的通项公式； （2）若数列?an?唯一，求a的值。

??an??,bn?为等比数列，不妨设?an?公比为q1，由等比 解：（1）当a=1时，b1?1?a?2,b2?2?a2,b3?3?a3，又

数列性质知： b2?b1b3?(2?a2)?2?3?a3?，同时又有a2?a1q1,a3?a1q1??2?a1q1??23?a1q12222?2? ??2?a2?a1q1,a3?a1q1?2?a1q1??23?a1q1??2?q1??23?q1?q1?2?2

22222????所以：an?2?2??n?1,n?1

2（2）?an?要唯一，?当公比q1?0时，由b1?1?a?2,b2?2?a2,b3?3?a3且b2?b1b3?

?2?aq1?2??1?a??3?aq12??aq12?4aq1?3a?1?0，

?a?0，?aq1?4aq1?3a?1?0最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）

??4a??4a?3a?1??0?4a?a?1??0，此时满足条件的a有无数多个，不符合。

22当公比q1?0时，等比数列?an?首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由

?2?aq1?2??1?a??3?aq12??aq12?4aq1?3a?1?0，可推得3a?1?0,a?1符合

3综上：a?1。 3a1?a?a?0?,an?1?rSn?n?N*,r?R,r??1? 67、（11湖北）已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足：

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式

（Ⅱ）若存在k?N*，使得Sk?1,Sk,Sk?2成等差数列，试判断：对于任意的m?N*，且m?2，

am?1,am,am?2是否成等差数列，并证明你的结论。

解：（Ⅰ）由已知an?1?rSn可得an?2?rSn?1，两式相减可得an?2?an?1?r?Sn?1?Sn??ran?1，即an?2??r?1?an?1，

又a2?ra1?ra，所以当r=0时，数列?an?为a,0,0??,0，??；

当r?0,r??1时，由已知a?0，所以an?0,n?N于是由an?2?an?1?ran?1，可得

?2?,

an?2?r?1，所以a2,a3,K,an,K成等比数列， an?1当n?2时，an?r?r?1?n?2a。

n?1??a,综上，数列?an?的通项公式为：an?? n?2??r?r?1?a,n?2（Ⅱ）对于任意的m?N，且m?2，am?1,am,am?2是否成等差数列，证明如下：

当r=0时，由（Ⅰ），知an??**?a,n?1，

0,n?2?故对于任意的m?N，且m?2，am?1,am,am?2成等差数列；

当r?0,r??1时，因为Sk?2?Sk?ak?1?ak?2，有因为Sk?1?Sk?ak?1。

*若存在k?N，使得Sk?1,Sk,Sk?2成等差数列，则Sk?1?Sk?2?2Sk，

?2Sk?2ak?1?ak?2?2Sk，即ak?2??2ak?1，

由（Ⅰ），知a2,a3,K,an,K的公比r?1??2，

*于是对于任意的m?N，且m?2，am?1??2am，从而am?2?4am，

?am?1?am?2?2am，即am?1,am,am?2是否成等差数列。

综上，对于任意的m?N，且m?2，am?1,am,am?2成等差数列。

*68、（11浙江）已知公差不为0的等差数列?an?的首项a1为a（a?R），设数列的前n项和

为Sn，

111，，成等比数列。（Ⅰ）求数列?an?的通项公式及Sn； a1a2a411111111+++…+，Bn＝+++… +，当n≥2时，试比较An与

a2n?1S1S2S3Sna1a2a22（Ⅱ）记An＝

Bn的大小。

解：（Ⅰ）设公差为d，则(a?d)?a(a?3d) ，d?0解得：d?a

2an?na，Sn?（Ⅱ）

na?an 212121111121?? ?An?(1????K??)?（?1?）Snan(n?1)a223nn?1an?11a2n?1?12n?1aa2n?1?2n?1a??Bn?21(1?n) a2?当a?0时An?Bn；当a?0时An?Bn

69、（11新课标）等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6.求数列?an?的通项

公式；设bn?log3a1?log3a2?K?log3an,求数列??的前n项和.

解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3?9a2a6得a3?9a4所以q2??1??bn?11。有条件可知a>0,故q?。 9311由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?。故数列{an}的通项式为an=n。

33232（Ⅱ）bn?log1a1?log1a1?...?log1a1

??(1?2?...?n)??n(n?1)2

故

1211????2(?) bnn(n?1)nn?1111111112n ??...???2((1?)?(?)?...?(?))??b1b2bn223nn?1n?1所以数列{12n。 }的前n项和为?bnn?170、（11天津）已知数列{an}与{bn}满足bnan?an?1?bn?1an?2（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；

3?(?1)n?0,bn?,n?N*,且a1?2,a2?4．

2（Ⅱ）设cn?a2n?1?a2n?1,n?N*，证明：?cn?是等比数列； （III）设Sk?a2?a4?????a2k,k?N,证明：?*Sk7?(n?N*)． 6k?1ak4n本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的

能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

?1,n为奇数3?(?1)n*,n?N,可得bn??（I）解：由bn? 22,n为偶数?又bnan?an?1?bn?1an?2?0,

当n?1时,a1?a2?2a3?0,由a1?2,a2?4,可得a3??3;当n?2时,2a2?a3?a4?0,可得a4??5;当n?3时,a3?a4?2a5?0,可得a5?4.（II）证明：对任意n?N, a2n?1?a2n?2a2n?1?0,

*

① ② ③ ④

2a2n?a2n?1?a2n?2?0, a2n?1?a2n?2?2a2n?3?0,

②—③，得 a2n?a2n?3.

将④代入①，可得a2n?1?a2n?3??(a2n?1?a2n?1)，即cn?1??cn(n?N) 又c1?a1?a3??1,故cn?0,因此

*cn?1??1,所以{cn}是等比数列. cnk*（III）证明：由（II）可得a2k?1?a2k?1?(?1)，于是，对任意k?N且k?2，有

a1?a3??1,?(a3?a5)??1,a5?a7??1,M(?1)k(a2k?3?a2k?1)??1.将以上各式相加，得a1?(?1)a2k?1??(k?1), 即a2k?1?(?1)k?1

k(k?1)，

k?1此式当k=1时也成立.由④式得a2k?(?1)(k?3).

从而S2k?(a2?a4)?(a6?a8)?K?(a4k?2?a4k)??k,

S2k?1?S2k?a4k?k?3.

nSkSSSS??(4m?3?4m?2?4m?1?4m) 所以，对任意n?N,n?2，?a4m?2a4m?1a4mk?1akm?1a4m?3*n4n??(m?1n2m?22m?12m?32m???) 2m2m?22m?12m?323?)

2m(2m?1)(2m?2)(2m?2)??(m?1n253 ????2?3m?22m(2m?1)(2n?2)(2n?3)1n53 ????3m?2(2m?1)(2m?1)(2n?2)(2n?3)151111113???[(?)?(?)???(?)]? 3235572n?12n?1(2n?2)(2n?3)15513?????3622n?1(2n?2)(2n?3)

7?.6对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意n?N,

*

SSS1S2??K?2n?1?2n a1a2a2n?1a2n?(SSSSS1S2?)?(3?4)???(2n?1?2n) a1a2a3a4a2n?1a2n11121n?(1??)?(1?2?2)???(1??)

41244?(42?1)4n(4n?1)11121n?n?(?)?(2?22)???(n?nn)

41244(4?1)44(4?1)111?n?(?)?n?.

412371、（11山东）等比数列?an?中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列.

第一行 第二行 第三行 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）若数列?bn?满足：bn?an?(?1)nlnan，求数列?bn?的前n项和Sn。

解：（1）当a1?3时，不合题意；

当a1?2时，当且仅当a2?6,a3?18时，符合题意； 当a1?10时，不合题意；

因此 a1?2,a2?6,a3?18，所以公比 q?3 ，故 an?2?3 （2）因为

n?1

bn?an?(?1)nlnan

=2?3n?1+(?1)nln（2?3n?1）=2?3+(?1)n?1n?ln2?(n?1)ln3?

=2?3n?1+(?1)n(ln2?ln3)?(?1)nnln3 所以

nSn?2(1?3?…+3n-1)????1?1?1?…+(?1)??(ln2?ln3)????1?2?3?…+(?1)n??ln3n

1?3nnn?ln3?3n?ln3?1 所以， 当n为偶数时，Sn?2?1?3221?3nn?1Sn?2??(ln2?ln3)?(?n)ln31?32 当n为奇数时， n?1?3n?ln3?ln2?12?nn3?ln3?1??2 综上所述， Sn???3n?n?1ln3?ln2?1??2n为偶数n为奇数

72、（11四川）设d为非零实数，an?[Cn1d?2Cn2d2?????(n?1)Cnn?1dn?1?nCnndn](n?N?)

(Ⅰ)写出a1,a2,a3,并判断?an?是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由； (Ⅱ)bn?ndan(n?N?),求数列?bn?的前n项和Sn。

解：（1）

1na1?da2?d(d?1) a3?d(d?1)201223n?1nn?1an?Cn?1d?Cn?1d?Cn?1d?K?Cn?1d?d(1?d)an?1?d(1?d)nan?1?d?1an

因为d为常数，所以{an}是以d为首项，d?1为公比的等比数列。 （2）

bn?nd2(1?d)n?1Sn?d2(1?d)0?2d2(1?d)1?3d2(1?d)2?LL?nd2(1?d)n?1?d2[(1?d)0?2(1?d)1?3(1?d)2?LL?n(1?d)n?1](1?d)Sn?d2[(1?d)1?2(1?d)2?3(1?d)3?LL?n(1?d)n]2

(1)(2)

1?(1?(1?d)n)?d2n(1?d)n?d?(d2n?d)(1?d)n （2）?（1）?dSn??d[1?(1?d)?Sn?1?(dn?1)(1?d)n

73、（11上海）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an?3n?6，bn?2n?7(n?N*)，将集合

{x|x?an,n?N*}U{x|x?bn,n?N*}中的元素从小到大依次排列构成数列c1,c2,c3,L,cn,L。

（1）求c1,c2,c3,c4；

L； （2）求证：在数列{cn}中．但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,L,a2n，（3）求数列{cn}的通项公式。

c3?12c4,?；1解：⑴ c1?9,c2?11, 3⑵ ① 任意n?N*，设a2n?1?3(2n?1)?6?6n?3?bk?2k?7，则k?3n?2，即a2n?1?b3n?2 ② 假设a2n?6n?6?bk?2k?7?k?3n?12?N*（矛盾）

，∴ a2n?{bn} ∴ 在数列{cn}中．但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,K,a2n,K。 ⑶ b3k?2?2(3k?2)?7?6k?3?a2k?1，

b3k?1?6k?5，a2k?6k?6，b3k?6k?7

∵ 6k?3?6k?5?6k?6?k6? 7∴ 当k?1时，依次有b1?a1?c1,b2?c2,a2?c3,b3?c4，??

??6k?3(n?4k?3)∴ c?6k?5(n?4k?2)n??k?1),k?N*。 ?6k?6(n?4??6k?7(n?4k)74、（11重庆）设实数数列{an}的前n项和Sn，满足Sn?1?an?1Sn(n?N*)

（I）若a1,S2，?2a2成等比数列，求S2和a3； （II）求证：对k≥3有0≤a4k?1≤ak≤3。

（I）解：由题意??S22??2a1a2,得S2?Sa2??2S2， 2?a2S1?1a2,由S2是等比中项知S2?0。因此S2??2. 由SS22?a3?S3?a3S2解得a3?S1??2?2?1?23. 2?

（II）证法一：由题设条件有Sn?an?1?an?1Sn,故Sn?1,an?1?1且an?1?SnS?1,S?an?1na, nn?1?1aak?1Sk?1?2从而对k?3有，ak?1k?S?ak?1?Sk?2a?ak?1?1?ak?12. k?1?1k?1?Sk?2?1a?ak?1ak?1?ak?1?a?1?11k?1k?1因a2123k?1?ak?1?1?(ak?1?2)?4?0且a2k?1?0，由①得ak?0 要证a4a2k?1k?3，由①只要证a2?a?4, k?1k?1?13即证3a22k?1?4(ak?1?a2k?1?1),即(ak?1?2)?0.此式明显成立.

① 因此ak?4(k?3). 32ak?2?ak, ak?ak?1最后证ak?1?ak.若不然ak?1又因ak?0,故ak2?1,即(a?1)?0.矛盾.因此ak?1?ak(k?3). k2ak?ak?1证法二：由题设知Sn?1?Sn?an?1?an?1Sn，

故方程x?Sn?1x?Sn?1?0有根Sn和an?1（可能相同）. 因此判别式??Sn?1?4Sn?1?0.

又由Sn?2?Sn?1?an?2?an?2Sn?1得an?2?1且Sn?1?22an?2.

an?2?12an4an?22?2??0,即3a因此n?2?4an?2?0， 2an?2?1(an?2?1)解得0?an?2?由ak?44.因此0?ak?(k?3). 33Sk?1?0(k?3)，得

Sk?1?1ak?1?ak?SkSk?1S?ak?ak(?1)?ak(2k?1?1)Sk?1akSk?1?1Sk?1?1Sk?1?1ak??2Sk?1?Sk?1?1ak?0.123(Sk?1?)?24

??因此ak?1?ak(k?3).

75、（10安徽）设数列a1,a2,L,an,L中的每一项都不为0。证明：?an?为等差数列的充分必

要条件是：对任何n?N?，都有

111n??K??。 a1a2a2a3anan?1a1an?1证：先证必要性.设数列{an}的公差为d.若d?0，则所述结论显然成立.

若d?0，则

a?a1111a?aa?a???????(21?32?????n?1n) a1a2a2a3anan?1da1a2a2a3anan?1?1111111[(?)?(?)?????(?)] da1a2a2a3anan?11111a?an(?)??n?11? da1an?1da1an?1a1an?1?再证充分性.证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n?N?都成立.首先，在等式

112 ① ??a1a2a2a3a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1?a3?2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2?a1?d. 假设ak?a1?(k?1)d，当n?k?1时，观察如下二等式

111k?1 ② ???????a1a2a2a3ak?1aka1ak1111k ③ ????????a1a2a2a3ak?1akakak?1a1ak?1将②代入③，得

k?11k， ??a1akakak?1a1ak?1在该式两端同乘a1akak?1，得(k?1)ak?1?a1?kak， 将ak?a1?(k?1)d代入其中，整理后，得ak?1?a1?kd.

由数学归纳当原理知，对一切n?N?都有an?a1?(n?1)d，所以{an}是公差为d的等差数列. 证法2：(直接证法)依题意有

111n ① ???????a1a2a2a3anan?1a1an?11111n?1???????? ② a1a2a2a3anan?1an?1an?2a1an?2②-①得

1n?1n ??an?1an?2a1an?2a1an?1在上式两端同乘a1an?1an?2，得a1?(n?1)an?1?nan?2 ③ 同理可得 a1?nan?(n?1)an?1 ④ ③-④得2nan?1?n(an?2?an)，

即an?2?an?1?an?1?an，所以{an}为等差数列.

76、（10江苏）设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列?Sn?是

公差为d的等差数列。（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）；

（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk都成立，求证：c的最大值为。

92

77、（10湖北）数列{an}满足：a1＝，

123(1?an?1)2(1?an)＝，anan?1＜0．数列{bn}满足：1?an1?an?122bn＝an（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求证：数列{bn}中的任?1－an(n?1)．

意三项不可能成等差数列。

解：（1）由

3(1?an?1)2(1?an)22222)2(1?a)a?1(an?1)． ＝＝＝?3(1?an??1nn?11?an1?an?132∵a1?1??2an＝1?323222?1＝(a12?1)()n?1?an?1＝?·()n?1? ?0，∴an334432n?132n?11n?1·()，又anan?1＜0，a1＝＞0?an?(?1)?1?()．

433242 bn＝an?1－an＝[1? bn＝

232n32n?132n?12n·()]－[1?·()]＝·[()－()]?

343434312n?1·()． 43（2）用反证法证明。假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r

12，公比为的等比数列，于是有br>bs>bt，则只可能有2 bs=br+ bt成立。 43121212∴2·（）s-1=（）r-1+（）t-1，

434343由于数列{bn}是首项为

两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s。

由于r

注：考查数列的通项求解，需要利用构造新数列来求通项，计算量不大，但是需要知道数列之间的关系，容

易出错，第二问证明也就是利用数列性质来证明，较简单。

78、（10江西）证明以下命题：

（1）对任一正整数a，都存在正整数b,c(b?c)，使得a2,b2,c2成等差数列；

（2）存在无穷多个互不相似的三角形?n，其边长an,bn,cn为正整数且an2,bn2,cn2成等差数列。

证明：（1）易知1,5,7成等差数列，则a,(5a),(7a)也成等差数列，

所以对任一正整数a，都存在正整数b?5a,c?7a,(b?c)，使得a,b,c成等差数列． （2）若an,bn,cn成等差数列，则有bn?an?cn?bn，

即(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn) ……①

选取关于n的一个多项式，例如4n(n?1)，使得它可按两种方式分解因式，由于

222222222222222224n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n?2)(2n2?2n)

?an?n2?2n?1?an?bn?2n2?2n??cn?bn?2n2?2n??2,?因此令?，可得?bn?n?1(n?4)

??bn?an?2n?2??cn?bn?2n?2?2?cn?n?2n?1易验证an,bn,cn满足①，因此a,b,c成等差数列， 当n?4时，有an?bn?cn且an?bn?cn?n?4n?1?0

因此以an,bn,cn为边长可以构成三角形，将此三角形记为?n(n?4)．

其次，任取正整数m,n(m,n?4,且m?n)，假若三角形?m与?n相似，则有：

2222m2?2m?1m2?1m2?2m?1??

n2?2n?1n2?1n2?2n?1据此例性质有：

m2?1m2?2m?1m2?2m?1?(m2?1)m?1??2?n2?1n2?2n?1n?2n?1?(n2?1)n?1m?1m?2m?1m?2m?1?(m?1)m?1?2?2?22n?1n?2n?1n?2n?1?(n?1)n?1所以

2222

m?1m?1，由此可得m?n，与假设m?n矛盾， ?n?1n?1即任两个三角形?m与?n(m,n?4,m?n)互不相似，

所以存在无穷多个互不相似的三角形?n，其边长an,bn,cn为正整数且以an,bn,cn成等差数列．

22279、（10湖南）数列?an?(n?N*)中，a1?a,an?1是函数fn(x)?x3?(3an?n2)x2?3n2anx的极小

值点。 （Ⅰ）当a?0时，求通项an；

1312（Ⅱ）是否存在a，使数列?an?是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

80、（10全国Ⅰ）已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?（Ⅰ）设c?,bn?521。 an1，求数列?bn?的通项公式； an?2（Ⅱ）求使不等式an?an?1?3成立的c的取值范围。

解：（Ⅰ）an?1?2?a?251， ??2?n2an2an

2an14???2,即bn?1?4bn?2

an?1?2an?2an?2221?4(bn?),又a1?1,故b1???1 33a1?2 bn?1?2321n?1 bn????4

331n?12 bn???4?

33 所以{bn?}是首项为?1，公比为4的等比数列， 3 （Ⅱ）a1?1,a2?c?1,由a2?a1得c?2.

用数学归纳法证明：当c?2时an?an?1. （ⅰ）当n?1时，a2?c?1?a1，命题成立； a111?c??ak?1 ak?1ak （ⅱ）设当n=k时，ak?ak?1，则当n=k+1时，ak?2?c? 故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c>2时an?an?1

c?c2?411 当c>2时，令a?，由an??an?1??c得an?a

2anan 当2?c? 当c?10时,an?a?3 310时，a?3，且1?an?a 3111(a?an)?(a?an)，a?an?1?n(a?1) ana33 于是a?an?1? 当n?log3 因此c?a?1时，a?an?1?a?3,an?1?3 a?310不符合要求 310 所以c的取值范围是(2,]源

381、（10上海）已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N*

（1）证明：?an?1?是等比数列；

（2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。

5 解：(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以an?1?(an?1?1)，

6 又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列； ?5? (2) 由(1)知：an?1??15????6??5? 解不等式Sn

n?1?22，n?log5?1?14.9，当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 5625 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n?15时，Sn取得最小值．

82、（10陕西）已知?an?是公差不为零的等差数列，a1?1且a1,a3,a9成等比数列

（1）求数列?an?的通项公式； （2）求数列?2a?的前n项和Sn。

n 解：（1）由题设知公差d≠0

由a1?1且a1,a3,a9成等比数列得 解得d=1,d=0（舍去）

故?an?的通项an?1?(n?1)?1?n

（2）由（1）知2an1?2d1?8d ?11?2d2(1?2n)?2n?1?2. ?2，由等比数列前n项和公式得:Sn?2?2?2?...?2?1?2n23n

83、（10山东）已知等差数列{an}满足：a3?7,a5?a7?26.{an}的前n项和为Sn. （Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn?1*(n?N)，求数列{bn}的前n项和Tn. 2an?1 解:（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，所以有??a1?2d?7，解得a1?3,d?2，

?2a1?10d?262n?1)?2n?1；Sn=3n? 所以an?3?（ （Ⅱ）由（Ⅰ）知an?2n?1，所以bn=

n(n-1)?2=n2?2n。 21111111==???(?)， 22an?1（2n?1)?14n(n?1)4nn?1 所以Tn=

n11111111， ?(1???????)=?(1?)?4(n?1)4223nn?14n?1n。 4(n?1) 即数列?bn?的前n项和Tn=

84、（10全国Ⅱ）已知数列?an?的前n项和Sn?(n2?n)g3n．

（Ⅰ）求limn??an； Sn（Ⅱ）证明：

ana1a2??…?＞3n． 22212n?s1(n?1)?sn?sn?1(n?2)的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知

本试题主要考查数列基本公式an?? 识解决问题的能力.

85、（10新课标）设数列?an?满足a1?2,an?1?an?3g22n?1.

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）令bn?nan，求数列的前n项和Sn。

解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an?1?[(an?1?an)?(an?an?1)?K?(a2?a1)]?a1

?3(22n?1?22n?3?K?2)?2

?22(n?1)?1。 而 a1?2,所以数列{an}的通项公式为an?2 （Ⅱ）由bn?nan?n?22n?12n?1。

知

5n2??2??3?2K?n? Sn?1?2?2235732 1 ①

2n?1 从而2?Sn?1?2?2?2?3?2?K?n?2 ①-②得 (1?2)?Sn?2?2?2?K?2 即 Sn?235 ②

2n?1?n?22n?1 。

1[(3n?1)22n?1?2] 986、（10重庆）在数列{an}中，a1?1,an?1?can?cn?1(2n?1)(n?N?)，其中实数c?0.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若对一切k?N?有a2k?a2k?1，求c的取值范围.

（Ⅰ）解法一：由a1?1,a2?ca1?c?3?3c?c?(2?1)c?c，

a3?ca2?c?5?8c?c?(3?1)c?c， a4?ca3?c?7?15c?c?(4?1)c?c， 猜测an?(n?1)c?c 下用数学归纳法证明. 当n?1时，等式成立；

2nn?14432433332322222,n?N?.

假设当n?k时，等式成立，即ak?(k?1)c?c ak?1?cak?c

2k`?12kk?1，则当n?k?1时，

(2k?1)?c[(k2?1)ck?ck?1]?ck?1(2k?1)

k?1 ?(k?2k)c2?ck?[(k?1)2?1]ck?1?ck，

nn?1 综上， an?(n?1)c?c 解法二：由原式得

对任何n?N都成立.

?

an?1an?n?(2n?1). n?1cc

令bn?an1，则b?,bn?1?bn?(2n?1)，因此对n?2有 1ccn

bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)???(b2?b1)?b1 ?(2n?1)?(2n?3)???3? ?n?1?21 c21， cnn?1 因此an?(n?1)c?c 又当n?1时上式成立. 因此an?(n?1)c?c2n，n?2.

n?1,n?N?.

2k （Ⅱ）解法一：由a2k?a2k?1，得[(2k)?1]c

因c2k?22?c2k?1?[(2k?1)2?1]c2k?1?c2k?2，

?0，所以(4k2?1)c2?(4k2?4k?1)c?1?0.

? 解此不等式得：对一切k?N，有c?ck或c?ck?，其中 ck?

(4k2?4k?1)?(4k2?4k?1)2?4(4k2?1)2(4k2?1)，

2222(4k?4k?1)?(4k?4k?1)?4(4k?1) ck??. 2(4k2?1) 易知limck?1，

k??222 又由(4k?4k?1)?4(4k?1)?(4k2?1)2?4(4k2?1)?4?4k2?1，知

(4k2?4k?1)?4k2?18k2?4k??1， ck?2(4k2?1)8k2?2 因此由c?ck对一切k?N成立得c?1. 又ck???

?2(4k?4k?1)?(4k?4k?1)?4(4k?1)2222?0，易知ck?单调递增，故

ck??c1?对一切k?N?成立，因此由c?ck?对一切k?N?成立得c?c1???1?13. 6

从而c的取值范围为(??,?1?13)U[1,??). 6

解法二：由a2k?a2k?1，得 [(2k)?1]c 因c2k?222k?c2k?1?[(2k?1)2?1]c2k?1?c2k?2，

?0，所以4(c2?c)k2?4ck?c2?c?1?0对k?N?恒成立.

222 记f(x)?4(c?c)x?4cx?c?c?1，下分三种情况讨论. （ⅰ）当c2?c?0即c?0或c?1时，代入验证可知只有c?1满足要求.

（ⅱ）当c?c?0时，抛物线y?f(x)开口向下，因此当正整数k充分大时，f(x)?0 不符合题意，此时无解.

（ⅲ）当c?c?0即c?0或c?1时，抛物线y?f(x)开口向上，其对称轴

22

x?1必在直线x?1的左边. 因此，f(x)在[1,??)上是增函数.

2(1?c)?

所以要使f(k)?0对k?N恒成立，只需f(1)?0即可.

2

由f(1)?3c?c?1?0解得c??1?13?1?13或c?. 66

结合c?0或c?1得c??1?13或c?1. 61?13)U[1,??). 6

综合以上三种情况，c的取值范围为(??,?a2k，a2k?1成等差数列,其公差为dk。87、（10天津）在数列?an?中,a1?0且对任意k?N*.a2k?1，

（Ⅰ）若dk=2k，证明a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列（k?N*） （Ⅱ）若对任意k?N*，a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列，其公比为qk。 （ⅰ）若q1?1，证明??1??是等差数列。 q?1?k?n3k2 （ⅱ）若a2?2，证明：?2n??≤2?n≥2?.

2k?2ak 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运

算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

（Ⅰ）证明：由题设，可得a 所以a?a?4k,k?N*。 2k?12k?12k?1?a1?(a?a)?(a?a)?...?(a3?a1)

2k?12k?12k?12k?3 =4k?4(k?1)?...?4?1 =2k(k+1) 由a1=0，得a?2k(k?1),从而a?a?2k?2k2,a?2(k?1)2.

2k?12k2k?12k?2aaak?1a2k?2k?12k?12k?2 于是?,?,所以?2k?1。 akakaa2k2k?12k?12k 所以dk?2k时，对任意k?N,a （Ⅱ）证法一：（i）证明：由a*2k,a,a成等比数列。

2k?12k?2,a,a,a成等差数列，及a,a成等比数列， 2k?12k2k?12k2k?12k?2aa2k?1 得2a?a?a,2??2k?1?1?qk

2k2k?12k?1aaq2k2kk?1 当q1≠1时，可知qk≠1，k?N 从而

*1qk?1?2?11qk?1?1?1q?1k?1?1,即1qk?1?1q?1k?1?1(k?2)

??1?? 所以??是等差数列，公差为1。

q?1??k?? 证法二：（i）证明：由题设，可得dk?a2k?1?a2k?qka2k?a2k?a2k(qk?1), dk?1?a2k?2?a2k?1?qka2k?qka2k?a2kqk(qk?1),所以dk?1?qkdk qk?1?2a2k?3a2k?2?dk?1ddq?1??1?2k?1?1?k?1?k a2k?2a2k?2qka2kqka2kqkq11?k??1，

qk?1?1qk?1qk?1qk?11? 由q1?1可知qk?1,k?N*。可得

所以??1??是等差数列，公差为1。

?qk?1? （Ⅱ）（ⅱ）证明：a1?0，a2?2，可得a3?4，从而q1?4?2,1=1.由（Ⅰ）有 2q?11

1qk?1?1?k?1?k,得qk?k?1,k?N*

k

2aaa（） 所以2k?2?2k?1?k?1,从而2k?2?k?21,k?N*

aakak2k?12k2k222aaak(k?1)22k.2k?2....4.a? 因此，a2k?....2.2 222aaa(k?1)(k?2)12k?22k?42 ?2k.a2?a.k?1?2k(k?1),k?N*

2k?12kk 以下分两种情况进行讨论：

k2?2. (1)当n为偶数时，设n=2m(m?N),若m=1,则2n??k?2ak*nmmk2(2k)2m?1(2k?1)24k2??????2+ 若m≥2，则?aaak?2kk?1k?1k?12k2k2k?1nm?1m?1?4k2?4k?4k2?4k?11?1?11???2m???2m?2????????2k(k?1)2k(k?1)??2k(k?1)2?kk?1??k?1k?1?k?1???m?1

1131?2m?2(m?1)?(1?)?2n??2m2n.nk2313k2??,从而?2n???2,n?4,6,8... 所以2n??a2n2k?2kk?2akn (2)当n为奇数时，设n=2m+1（m?N）

*k22mk2(2m?1)31(2m?1)2????4m??? ?

a2m?122m2m(m?1)k?2akk?2akn2 ?4m?1131 ??2n??22(m?1)2n?1nk2313k2??,从而?2n???2,n?3,5,7· 所以2n??·· 2n?12k?2akk?2aknn3k2?2 综合（1）（2）可知，对任意n?2,n?N,有?2n??2ak?2k?88、（10四川）已知数列?an?满足a1?0,a2?2，且对任意m,n?N*都有a2m?1?a2n?1?2am?n?1

?2(m?n)2。

（Ⅰ）求a3,a5；

（Ⅱ）设bn?a2n?1?a2n?1????(n?N*)证明：?bn?是等差数列； （Ⅲ）设cn?(an?1?an???qn?1??(q?0,n?N*)，求数列?cn?的前n项和Sn.

本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意，令m?2,n?1可得a3?2a2?a1?2?6.

再令m?3,n?1可得a5?2a3?a1?8?20.??????（2分）

当n?N*时,由已知(以n?2代替m)可得 （Ⅱ）a2n?1?a2n?1?2a2n?1?8

于是[a2(n?1)?1?a2(n?1)?1]?(a2n?1?a2n?1)?8即 bn?1?bn?8.

所以，数列?bn?是公差为8的等差数列.??????（5分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知?bn?是首项b1?a3?a1?6,公差为8的等差数列.

一、小题

1、（12福建）等差数列{an}中，a1?a5?10,a4?7，则数列{an}的公差为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 2、（12福建）数列{an}的通项公式an?ncosn? ?1，前n项和为Sn，则S2012? ___________。

21?a33、（12北京）已知{an}等差数列sn为其前n项和。若a1?2,s2，则a2? ；sn? 。

4、（12辽宁）在等差数列{an}中，已知a4?a8?16，则该数列前11项和S11?

（A）58 （B）88 （C）143 （D）17

25、（12辽宁）已知等比数列{an}为递增数列，且a5?a10,2(an?an?2)?5an?1，则数列an的通

项公式an? 。

6、（12江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，?3为公比的等比数列，若从这

10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ 。

7、（12安徽）公比为32的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11?16,则log2a16?

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

8、（12全国）已知等差数列{an}的前n项和为sn，a5?5,s5?15，则数列{anan?1}的前100 项和为 (A)

1009999101 (B) (C) (D) 10110110010019、（12江西）设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1?b1?7,a3?b3?21,则a5?b5?___________。 10、（12湖北）定义在???,0?U?0,???上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，

?f(an)?仍是等比数列，则称的如下函数：①

f(x)?x2f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在???,0?U?0,???上

f(x)?2x；②；③

f(x)??x?；④f(x)?ln?x?。

则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 （ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④

2a?1,a?aan?____。 11、（12广东）已知递增的等差数列{an}满足132?4,则12、（12新课标）已知?an?为等比数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10?（ ）

(A)7 (B) 5 (C)?? (D)??

13、（12新课标）数列{an}满足an?1?(?1)nan?2n?1，则{an}的前60项和为 。 14、（12四川）设函数f(x)?2x?cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5?，

则[f(a3)]2?a1a5?（ ）

12131? C、?2 D、?2 1616815、（12四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]?2，[1.5]?1，[?0.3]??1。设a

?8A、0 B、

?a?xn????xn?,(n?N?)，现有下列命题： 为正整数，数列{xn}满足x1?a，xn?1?2[]①当a?5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2； ②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn?xk； ③当n≥1时，xn?a?1；

④对某个正整数k，若xk?1≥xk，则xk?[a]。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

16、（12上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记

L，Vn，则V1?V2?L?Vn? 。 为V1，V2，1217、（12重庆）在等差数列{an}中，a2?1,a4?5，则{an}的前5项和S5=

A.7 B.15 C.20 D.25 18、（12浙江）设Sn是公差为d(d?0)的无穷等差数列?an?的前n项和,则下列命题错误的是 ．． A．若d?0，则数列{Sn}有最大项； B．若数列{Sn}有最大项，则d?0；

C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n?N*，均有Sn?0； D．若对任意n?N*，均有Sn?0，则数列{Sn}是递增数列。

19、（12浙江）设公比为q(q?0)的等比数列?an?的前n项和为Sn。若S2?3a2?2，S4?3a4?2，

则q? 。

20、（11广东）等差数列?an?的前9项和等于前4项和，若a1?1,ak?a4?0，则k? 。 21、（11北京）在等比数列{an}中,若a1?,a4??4,则公比q? ；|a1|?|a2|?L?|an|? 。

1222、（11江苏）设1?a1?a2?L?a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差

为1的等差数列，则q的最小值是________。

23、（11全国）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2,Sk?2?Sk?24，则k??? (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 24、（11江西）已知数列?an?的前n项和sn满足：sn+sm=sn?m，且a1?1，那么a10=( )

A.1 B.9 C.10 D.55 25、（11湖南）设Sn是等差数列{an}(n?N?)，的前n项和，且a1?1,a4?7，则S5= 。 26、（11湖北）《九章算术》“竹九节”问题:现有1根9节的竹子,自上而下各节的容积成

等差数列,上面四节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。 27、（11天津）已知?an?为等差数列，其公差为?2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为?an?的

前n项和，n?N*，则S10的值为

A．?110 B．?90 C．90 D．110

{bn}为等差数列，28、（11四川）数列{an}的首项为3，且bn?an?1?an(n?N*)，若b3??2,b10?12，

则a8?

（A）0 （B）3 （C）8 （D）11 29、（11重庆）在等差数列{an}中，a3?a7?37，则a2?a4?a6?a8?_____。

30、（10安徽）设?an?是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,

则下列等式中恒成立的是

A、X?Z?2Y B、Y?Y?X??Z?Z?X? C、Y2?XZ D、Y?Y?X??X?Z?X? 31、（10广东）已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2?a3?2a1,且a4与2a7的等

差中项为,则S5=( )

A．35 B．33 C．3l D．29 32、（10福建）设等差数列?an?前n项和为Sn，若a1??11,a4?a6??6,则Sn当取最小值时，

n等于

A.6 B. 7 C.8 D.9

54

33、（10福建）在等比数列?an?中，若公比q?4，且前3项之和等于21，则该数列的通项

公式an? 。

Sn为其前n项和。34、（10辽宁）设?an?是有正数组成的等比数列，已知a2a4?1,S3?7,则S5?

15311733 (B) (C) (D) 2424a35、（10辽宁）已知数列?an?满足a1?33,an?1?an?2n,则n的最小值为__________。

n（A）

36、（10江西）等比数列?an?中，a1?2,a8?4，函数f(x)?x(x?a1)(x?a2)???(x?a8)，则f'(0)?

A．26 B．29 C．212 D．215 37、（10湖南）若数列?an?满足：对任意的n?N?，只有有限个正整数m使得am＜n成立，

记这样的m的个数为(an)?，则得到一个新数列?(an)??．例如，若数列?an?是1,2,3…，n,…,则数列?(an)??是0,1,2,…，n?1,…,已知对任意的n?N?,an?n2，则(a5)?? ，

((an)?)?? 。

38、（10全国Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列?an?，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6= (A)52 (B)7 (C)6 (D)42 39、（10北京）在等比数列?an?中，a1?1，公比?q???。若am?a1a2a3a4a5，则m?

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12 40、（10全国Ⅱ）如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7?

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 41、（10重庆）在等比数列{an}中，a2010?8a2007，则公比q的值为（ ）

A、2 B、3 C、4 D、8 42、（10浙江）设Sn为等比数列?an?的前n项和，8a2?a5?0，则

S5? S2（A）11 （B）5 （C）?8 （D）?11 43、（10浙江）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列?an?的前n项和为Sn，满足

S5S6?15?0，则d的取值范围是____。

44、（10天津）已知?an?是首项为1的等比数列，sn是?an?的前n项和，且9s3?s6，则数列

?1???的前5项和为 ?an?（A）

15313115或5 （B）或5 （C） （D） 816168an ? 。

Sn45、（10四川）已知数列?an?的首项a1?0,其前n项的和为Sn,且Sn?1?2Sn?a1,则f(n)?答案:1、B 2、3018 3、1;n2?n 4、B 5、2n 6、 7、B 8、A 9、35 10、C

1414358n?1311、2n?1 12、D 13、1830 14、D 15、①③④ 16、 17、B 18、C 19、 20、10 n?17?8221、?2;2n?1?12 22、33 23、D 24、A 25、25 26、6766 27、D 28、B 29、74 31、C 32、A 33、4n?1 34、B 35、212 36、C 37、2;n2 38、A 39、C 40、C

2n?141、A 42、D 43、d≤-22或d≥22 44、C 45、2n?1

30、D

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