最新高一下学期第三次月考数学（文）试题

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.下列命题正确的是( )． A. 若C. 若

，则，则

B. 若 D. 若

，则

，则与不是共线向量

【答案】C 【解析】 【分析】

根据共线向量，向量的模等概念及它们的联系与区别逐个分析四个选项即可 【详解】，向量无法比较大小，故错误

，如果两向量的模相等但不平行时，则两向量不是相等向量，故错误 ，相等向量模相等且共线，故正确 ，故选

【点睛】本题主要考查平面向量的基本概念，属于基础题，向量的模是用向量的长度来定义的，共线向量是用向量的方向来定义的，相等向量是用向量的方向和长度来定义的，要弄清这三个概念的联系与区别。 2.P是△ABC所在平面内一点，若A. △ABC内部 B. AC边所在直线上 C. AB边所在直线上 D. BC边所在直线上 【答案】B 【解析】 试题分析：因为线，即点一定在

，所以

边所在直线上；故选B．

，即

，所以

三点共

，其中

则点P一定在（ ）

不相等时可能共线，故错误

考点：平面向量的线性运算．

视频 3.

的值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

.

故选：D

4.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A. 6 B. 8 C. 2+3 D. 2+2 【答案】B 【解析】

由题意可得原图形为如图所示的平行四边形，其中

，故原图形的周长为8．选B．

点睛：

，所以

（1）斜二测画法的规则：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的．

（2）对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积与其直观图面积之间的关系

，并能进行相关问题的计算．

，为了测量它的高度，在地面上选一长度为

的基线

，若在点

5.如图，有一建筑物

处测得点的仰角为，在点处的仰角为，且 ，则建筑物的高度为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】 设高

，则

，，解得

6.已知sin（+α）+sinα=A. ﹣

B.

，在

．故选D．

中，由余弦定理得

，则sin（α+）的值是（ ）

C. D. ﹣

【答案】D 【解析】

试题分析:因为

，

所

以

，所以

，

，所以应选．

考点：1、两角的正弦公式；2、三角函数的诱导公式． 7.已知函数

图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数

的图象（ ）

即

，

，即所

以

的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数A. 关于点C. 关于直线【答案】A 【解析】 由题意得

,因为函数

对称 B. 关于点对称 D. 关于直线

对称

对称

的图象向左平移个单位后，得到的图象关

于轴对称，所以所以

关于点

关于轴对称，即对称，选A.

，

8.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）。

A. B. 【答案】B 【解析】 【分析】

C. D.

由题目中的正视图和俯视图，结合三棱柱推得左视图 【详解】由正视图可知面

为正面，

故左视图为长为，宽为的长方形 面积为故选

【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据题目中的条件来求解，较为基础 9.已知（ ）

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】

根据平面向量数量积的定义公式求出向量夹角的余弦值即可 【详解】

是夹角为的单位向量，

是夹角为的单位向量，若

，

，则向量与夹角的余弦值为

向量与夹角的余弦值为

故选

【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，按照公式代入求解，属于基础题。 10.在

中，

分别为角

的对边，

，则

的形状为( )

A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】

利用二倍角公式和余弦定理可得三角形的边的关系，即可得到三角形的形状 【详解】

，

即

，则

故三角形为直角三角形 故选

【点睛】本题主要考查了二倍角公式和余弦定理以及利用勾股定理判断三角形的形状，属于基础题。 11.已知点为

的重心，过点作直线与，则

（ ）

，

两边分别交于

两点，且

，

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】

【分析】 由为共线，得到【详解】

的重心，可得

，结合

，

，根据

三点

的关系式，整理后即可得到答案 为

的重心， ，

与共线

存在实数使得即

由向量相等的定义可得

消去可得

两边同时除以整理可得故选

【点睛】本题主要考查的知识点是向量的线性性质以及几何意义，向量的共线定理以及三角形的重心，属于中档题。

12.已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则A. [，0） B. [【答案】A 【解析】

的取值范围是（ ）

，0] C. [，1） D. [，1]

建立如图所示的坐标系，

，则

的取值范围是

到直线的距离

，故选A.

，

【 方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及单位圆的性质、向量的夹角以及平面向量数量积，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

13.圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积为________. ．．．【答案】 【解析】 【分析】

由已知条件代入公式求解结果 【详解】

，

故答案为

【点睛】本题主要考查的是圆台侧面积的计算，只需代入公式即可算出答案，较为基础 14.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为_____ 【答案】【解析】

【分析】 可得所求为【详解】

，

，代入已知数据，计算即可得到答案

由题意可得在方向上的投影为：

故答案为

【点睛】本题考查的是向量的投影问题和数量积的运算，本题解题的关键是正确利用投影公式，写出投影的大小，主要分清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于基础题。 15.用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体

3积是_______cm.

【答案】【解析】

试题分析：设截面圆半径为，则所以

（

）

，，球半径为，则，，

考点：球的截面的性质，球体积公式． 16.如图，在四面体则四面体

中，

平面

，

是边长为

的等边三角形.若

，

的外接球的表面积为__________．

【答案】【解析】

取的中点，连结在四面体中，平面是边长为的等边三

交

的中垂

角形，线积为

于

为外接球的中心，，故答案为

.

是等腰三角形，

，

的中心为，作

，四面体

外接球的表面

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）

17.设向量（Ⅰ）若（Ⅱ）若

,求

，，求的值．

;(Ⅱ)

.

，为锐角． 的值；

【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】

根据向量的数量积可求得合为锐角，即可求得结果

法一：由向量平行可得

，然后由同角的基本关系式得，结

，即可求得结果

， ，∴ 又∵为锐角，∴

，然后求出结果 ．

．

法二：由同角三角函数关系求出【详解】（Ⅰ）∵∴

（Ⅱ）法一：∵∴法二 ∵∴

，∴

． 易得

，∴

．

， ，

．

【点睛】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角函数的求值运算问题，属于基础题。 18.已知一个几何体的三视图如右图所示.

(Ⅰ)求此几何体的表面积;

(Ⅱ)在如图的正视图中,如果点A为所在线段中点,点B为顶点,求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长. 【答案】(1)【解析】

试题分析：（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素的位置关系和数量关系；（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理；（3）圆锥、圆柱、圆台的侧面是曲面，计算侧面积或长度时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

试题解析：（Ⅰ）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

所以

（Ⅱ）沿点到点所在母线剪开圆柱侧面，如图： 则

，

． 12分 ． 6分

;(2)

.

所以从点到点在侧面上的最短路径的长为

考点：空间几何体的表面积.

19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（1）求

的值；

，求的值.

（2）若△ABC的面积为，且【答案】(1)【解析】 【分析】

;(2)

.

用正弦定理化简已知等式即可求得结果

由三角形面积公式列出关系式，求出的值，利用余弦定理列出关系式，将值代入即可求得结果 【详解】（1）∵即

，∴

，∴

.

，

和的

（2） ，

.

【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积的求解方法，熟练掌握公式的应用是解题的关键。

20.已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R. (1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值； (2)若a－tb与c共线，求实数t. 【答案】(1)t=【解析】

(1)a＋tb＝(2t－3,2＋t)，|a＋tb|2＝(2t－3)2＋(2＋t)2＝5t2－8t＋13＝5|a＋tb|取得最小值

.

2

此时最小值为;(2) .

＋，当t＝时，

(2)a－tb＝(－3－2t,2－t)，因为a－tb与c共线，所以3＋2t－6＋3t＝0，即t＝.

21.已知函数的部分图象如图所示．

（1）试确定函数（2）若

的解析式；

，求

的值．

【答案】(1) 【解析】

试题分析：（1）由图象根据再根据图象过点由（1）及条件

;(2) .

的最大值为，可知

，

，即有

，再由的解析式为

，可知，，

，从而可得，可知

；（2）

，

，由诱导公式

．

，经过

，∴

，又∵

，∴，即，∴

． ，

， ，

从而再由二倍角公式可得，试题解析：（1）由图可知，由图可知，∴∴

，∴

；（2）由（1）可得，∵

，∴

考点：1．三角函数的图象和性质；2．三角恒等变形．

22.如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且

（1）求（2）设，

的值；

，求时，

，四边形

的面积为

的最值及此时的值．

，当

时

【答案】(1)-10;(2)当【解析】 【分析】

由三角函数的定义可得案

的值，将原式化为关于的函数并代入的值即可求得答

利用向量的数量积的坐标运算可以求得利用正弦函数的单调性与最值即可求得

的最值和此时的值

，，

【详解】（1）依题意，tanα==﹣2，

∴===﹣10； =

+

，

=

，

（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），又

∴四边形OAQP为菱形， ∴S=2S△OAP=sinθ， ∵A（1，0），P（cosθ，sinθ）， ∴

=（1+cosθ，sinθ）， ∴

2

?=1+cosθ，

2

∴f（θ）=（1+cosθ﹣1）+sinθ﹣1 =cosθ+

，即θ=

sinθ﹣1 =﹣sinθ+

2

sinθ，

∵≤sinθ≤1， ∴当sinθ=当sinθ=1，即θ=

时，f（θ）max= ；

时，f（θ）min=﹣1 ．

【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，主要考查了三角函数的化简求值以及三角函数中的恒等变换应用和三角函数的最值，考查了逻辑推理能力，属于中档题。

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