概率论与数理统计26 8.1 假设检验基本概念

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假设检验

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第七章 假设检验 实际工作中经常遇到这样的问题: 实际工作中经常遇到这样的问题: 1 有一批产品,规定次品率为2%,经过抽 有一批产品,规定次品率为2%,经过抽 2%, 样检查,如何判断这批产品是合格品? 样检查,如何判断这批产品是合格品? 2 对某生产工艺进行了改革,对工艺改革 对某生产工艺进行了改革, 前后的产品进行了抽样检查, 前后的产品进行了抽样检查,如何判断工 艺改革是否提高了产品的质量? 艺改革是否提高了产品的质量? 象这样一些问题需要假设检验方法来处 理.

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第一节 假设检验 一 基本思想 例 某厂有一批产品共200件.当次品率不 某厂有一批产品共200件 200 超过1% 认为合格方能出厂. 1%时 超过1%时,认为合格方能出厂.今在其中 任取5 发现这5件中含有次品, 任取5件,发现这5件中含有次品,问这批 产品能否出厂? 产品能否出厂? 解: 设p为次品率H0 : p ≤ 0.01 200件产品中最多有件次品 2 H1 : p > 0.01 200件产品中最少有件次品 2

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A=“取出的 件中有次品” 取出的5 设A= 取出的5件中有次品” 则 A =“取出的5件中不含有次品” 取出的5件中不含有次品” 取出的 H0 正确时, 正确时,

200件产品中不含次品 1 C5 199 199!5!195! 195 P( A) = 5 = 1 = 含 件次品 C200 5!194!200! 200 C5 198!5!195! 195 194 198 5 = = 含2件次品 C200 5!193!200! 200 199

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195 195 194 ,故有 P( A) ≥ 195 194 > 0.95 由于 1 > > 200 199 200 200 199

所以 P( A) = 1 P( A) ≤ 0.05 即在 H0 正确时,事件A发生的概率非常小, 正确时,事件A发生的概率非常小, 小概率事件在一次试验中一般是不会发 生的.现在,在一次试验中,小概率事件A 生的.现在,在一次试验中,小概率事件A 就发生了,这是一种不正常,不合理的现 就发生了,这是一种不正常, 不正确, 象,因此我们有理由认为 H0不正确,即认 为这批产品的次品率p>0.01 为这批产品的次品率p>0.01 用数理统计的语言:拒绝 H0,接受 H1 用数理统计的语言:

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例 某厂生产电池,电池的寿命服从正态 某厂生产电池, 分布, 分布,且标准差 σ = 5 ,规定要求平均寿 今对一批产品抽查了10 10个样 命 = 200 今对一批产品抽查了10个样 测得寿命的数据如下(小时) 品,测得寿命的数据如下(小时) 201 208 212 197 205 209 194 207 199 206 问这批干电池的平均寿命是否是200小时. 问这批干电池的平均寿命是否是200小时. 200小时

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解: 设电池的寿命为X,则 X ~ N(,52 ) 设电池的寿命为X, X,则 假设 H0 : = 200 H1 : ≠ 200 我们知道: X 是 的无偏估计,矩估计,极 的无偏估计,矩估计, 我们知道: 大似然估计,一致估计, 大似然估计,一致估计,因此 X 的观察值 的附近. 正确时, 应在 = 200 的附近.若 H0正确时, | X 200 | 一般不会太大, 一般不

会太大,太大了就有理由怀疑H0的 正确性.换句话说: 正确时, 正确性.换句话说:当 H0 正确时,| X 200 | 太大了,大到一定程度, 太大了,大到一定程度,应该是一个小概 率事件,这个程度用k 率事件,这个程度用k表示即 P{| X 200 |> k} = α

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若给定 α,k如何确定呢?在 H0正确时 ,k如何确定呢 如何确定呢?52 X ~ N(200,52 ), X ~ N(200, ), 10 X 200 ( X 200) 10 ~ N(0,1) = 5 5 / 10

P{| X 200 |> k} = α ( X 200) 10 10k } =α |> P{| 5 5

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uα t 2α

uα / 2 tα

( X 200) 10 P{| |> uα / 2 } = α 5 ( X 200) 10 |> uα / 2 }是一个小概率事件 {| 即 5

10k 10k 所以 = uα / 2 ,即 5

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小概率事件在一次试验中一般是不会发 生的. 生的.下面根据试验结果来看小概率事 件是否发生. 件是否发生. 取 α = 0.05, u0.025 = 1.96, ( X 200) 10{| 5 |≥ 1.96}

为一个小概率事件.计算得 为一个小概率事件. x = 203.8( x 200) 10 |= 2.4 ≥ 1.96 | 5

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即小概率事件{| ( X 200) 10 |≥ 1.96}5

在一次试验中就发生了,因此有理由认为 在一次试验中就发生了, H0 不正确,即拒绝 H0 .所谓拒绝 H0 即认 不正确, 200有显著性差异 有显著性差异。 为 与200有显著性差异。 假设检验的基本思想是:小概率事件在一 假设检验的基本思想是: 次试验中一般是不会发生的, 次试验中一般是不会发生的,

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二 假设检验的有关概念 原假设, 1 H0 原假设,零假设 H1 备择假设 2 α 显著性水平 3 拒绝域、否定域：拒绝H0 成立的区域 拒绝域、否定域： 接受域： 接受域：拒绝域以外的区域 例子中, 例子中,拒绝域

( X 200) 10 |≥ 1.96 | 5

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4 拒绝域的大小与显著性水平有关。 拒绝域的大小与显著性水平有关。 取 α = 0.01, uα / 2 = 2.58,否定域为( X 200) 10 | |≥ 2.58 5

由于 | ( x 200) 10 |= 2.4 < 2.58 , 5 ( x 200) 10 {| |< 2.58} 故小概率事件 5 没有发生， 没有发生，因此没有理由拒绝 H0 ,即认 200无显著性差异 无显著性差异。 为 与200无显著性差异。

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5 两类错误 假设检验的依据是:小概率事件在一次 假设检验的依据是: 试验中一般是不会发生的。 试验中一般是不会发生的。但小概率事 件在一次试验中还是可能发生的。 件在一次试验中还是可能发生的。因而 假设检验所作出的结论有可能是错误的， 假设检验所作出的结论有可能是错误的， 其错误可以分为两类。 其错误可以分为两类。 第一类错误：如果原假设 H0 成立,而观 第一类错误： 成立, 察值落入否定域内, 察值落入否定域内,从而拒绝 H0 ,称为 第一类错误,又称“弃真” 第一类错误,又称“弃真”错误 犯第一类错误的概率为 α

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第二类错误：如果原假设 H0不成立，而 第二类错误： 不成立， 观察值落入接受域内， 观察值落入接受域内，从而接

受 H0 ,称 为第二类错误，又称“取伪”错误。 为第二类错误，又称“取伪”错误。

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第二节 一个正态总体的假设检验 一 方差σ 2 已知时，期望 的假设检验 已知时， X ~ N(,σ 2 ),σ 2已知，检验 H0 : = 0 1总体 已知， σ 2 ( X ) n X ~ N(,σ 2 ), X ~ N(, ), ~ N(0,1) n σ~ N(0,1) H0为真时， 为真时， σ 对于给定的显信水平 α ,有 ( X 0 ) n P{| |> uα } = α σ 2 ( X 0 ) n

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所以，拒绝域为 ( X 0 ) n 所以，|

σ

|> uα / 2

例 某百货商场的日销售额服从正态分布, 某百货商场的日销售额服从正态分布, 去年的日均销售额为53.6(万元), 53.6(万元),方差为 去年的日均销售额为53.6(万元),方差为 36,今年随机抽查了10个日销售额， 10个日销售额 36,今年随机抽查了10个日销售额，数 据如下： 据如下： 57.2 57.8 58.4 59.3 60.7 71.3 56.4 58.9 47.5 49.5 根据经验，方差没有变化，问今年的日 根据经验，方差没有变化， 均销售额与去年相比有无显著变化？ 均销售额与去年相比有无显著变化？

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α = 0.05解: H0 : = 53.6 σ = 62 2

否定域:

( X 0 ) n

σ

> uα2

α = 0.05,查表得: uα = 1.962

计算得: x = 57.7 (57.7 53.6) 10 = 2.16 6 Q 2.16 |> 1.96 | H 53.6有显著性差异 ∴拒绝 0 ,即认为 与

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2总体 已知， 已知，检验 H0 : ≤ 0 、 、 X 由于 是u的矩估计 极大似然估计 一

X ~ N(,σ 2 ),σ 2

、 。 , 致估计 无偏估计 因此 一般情况下X应在 的附近 在H0为真时 一般情况 u 。 , 下， X应比 0小， 但也有可能大于 0, 不 u u 性比较小 因此有 。 过这种情况发生的可能 P{X u0 > k} = α ( X 0 ) n k n } =α 即P{ > σ σ

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( X 0 ) n的分布不知道， 由于统计量 的分布不知道，故

σ σ 中的k 无法确定, 中的k 无法确定,因而小概率事件{ ( X 0 ) n > k n

P{

( X 0 ) n

σ

>

k n

} =α

σ 是否发生无法确定。 是否发生无法确定。 X ~ N(,σ 2 ) X ~ N(,

σ

}

σ2n

)

( X ) n

σ

~ N(0,1)

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当H0为真时

< 0 X > X 0( X 0 ) n k n ( X ) n k n 因此 > >即 { ( X 0 ) n

σ

σ

>

k n

σ>

( X ) n k n } { > }

σ

σ

σ

σ

σ

P 因此 { 令P{

( X 0 ) n

k n

σ

σ

} ≤ P{

( X ) n

σ

>

k n

σ

}

( X ) n

σ

>

k n

σ

k n } = α,则 = uα

σ

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