初中数学沪科版八年级下册19.2 第2课时 平行四边形的对角线的性
更新时间:2023-04-26 09:52:01 阅读量: 高中教育 文档下载
19.2平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线的性质
教学目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质;(重点)
2.利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题.
教学过程
一、情境导入
如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 为对角线,BC =6,BC 边上的高为4,你能算出图中阴影部分的面积吗?
二、合作探究
探究点一:平行四边形的对角线互相平分
【类型一】 利用平行四边形对角线互相平分求线段长
已知:?ABCD 的周长为60 cm ,对角线AC 、BD 相交于点O ,△AOB 的周长比△DOA 的周长长5 cm ,求这个平行四边形各边的长.
解析:平行四边形周长为60 cm ,即相邻两边之和为30cm ,△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ,而AO 为共用,OB =OD ,所以由题意可知AB 比AD 长5cm ,进一步解答即可.
解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB =OD ,AB =CD ,AD =BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5 cm ,∴AB -AD =5cm.又∵?ABCD 的周长为60 cm ,∴AB +AD =30 cm ,
则AB =CD =352 cm ,AD =BC =252
cm. 方法总结:平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.
【类型二】 利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等
如图,?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证:OE =OF .
解析:根据平行四边形的性质得出OD =OB ,DC ∥AB ,推出∠FDO =∠EBO ,证出△DFO ≌△BEO 即可.
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OD =OB ,DC ∥AB ,∴∠FDO =∠EBO .在△
DFO 和△BEO 中,?????∠FDO =∠EBO ,OD =OB ,∠FOD =∠EOB ,
∴△DFO ≌△BEO (ASA ),∴OE =OF .
方法总结:利用平行四边形的性质解决线段的问题时,要注意运用平行四边形的对边相等,对角线互相平分的性质.
【类型三】 判断直线的位置关系
如图平行四边形ABCD 中,AC 、BD 交于O 点,点E 、F 分别是AO 、CO 的中点,试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论.
解析:根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA =OC ,OB =OD ,利用中点的意义得出OE =OF ,再利用三角形全等得对应边、角相等,最后根据平行线判定得出BE =DF ,BE ∥DF .
解:BE =DF ,BE ∥DF .理由如下:
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD .∵E ,F 分别是OA ,OC 的中点,∴
OE =OF .在△EOB 和△FOD 中???OE =OF ,
∠DOF =∠BOE ,OB =OD ,
∴△EOB ≌△FOD ,
∴BE =DF ,∠FDB =∠EBD ,∴BE ∥DF .∴BE =DF ,BE ∥DF .
方法总结:在解决平行四边形的问题时,如果有对角线的条件时,则首选对角线互相平分的方法解决问题.
探究点二:平行四边形的面积
在?ABCD 中,
(1)如图①,O 为对角线BD 、AC 的交点.求证:S △ABO =S △CBO ;
(2)如图②,设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合),S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗?若相等,请证明;若不相等,请说明理由.
解析:根据平行四边形的对角线互相平分可得AO =CO ,再根据等底等高的三角形的面积相等解答.
(1)证明:在?ABCD 中,AO =CO ,设点B 到AC 的距离为h ,则S △ABO =12
AO ·h ,S △CBO =12
CO ·h ,∴S △ABO =S △CBO ; (2)解:仍然相等.证明如下:连接AC 交BD 于点O .在?ABCD 中,AO =OC ,由(1)可得S △ABO =S △BCO ,S △APO =S △CPO ,∴S △ABO -S △APO =S △BCO -S △CPO ,∴S △ABP =S △CBP .
方法总结:平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形.另外,等底等高的三角形的面积相等.
三、板书设计
教学反思
本节课是在学习了平行四边形的边角性质之后的内容,与前面章节的知识联系紧密.课堂上要加强解题步骤严密性和规范性的训练,在观察、操作、推理、归纳等过程中,培养学生数学说理的习惯,发展学生的数学思维能力.
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