2017年华师大版八年级下册数学第17章反比例函数与三角形综合题专训含答案解析

华师大版八年级下册第１７章反比例函数与三角形综合题专训（含答案） 一、反比例函数与等腰三角形结合

试题１、（2015常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．

（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

【解答】解：（1）k=4，S△PAB=15．

提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1，

把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y=，得k=4．

解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），

则点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP， ∴S△PAB=2S△AOP．

设直线AP的解析式为y=mx+n，

把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC =OCAR+OCPS =×3×4+×3×1=

，

∴S△PAB=2S△AOP=15；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2． B（4，1），则反比例函数解析式为y=，

设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，

联立，解得直线PA的方程为y=x+﹣1，

联立，解得直线PB的方程为y=﹣x++1，

∴M（m﹣4，0），N（m+4，0）， ∴H（m，0），

∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4， ∴MH=NH，

∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ． 理由如下：

过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．

可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有

，

解得：，

∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1． 当y=0时， x+﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）．

同理可得E（c+4，0），

∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴DT=ET，

∴QT垂直平分DE， ∴QD=QE， ∴∠QDE=∠QED．

∵∠MDA=∠QDE， ∴∠MDA=∠QED．

∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．

∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED， ∴∠PAQ=∠PBQ．

试题２、（2016黄冈校级自主招生）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．

【解答】解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2． 设C1（x，2x），则得x2+（2x﹣2）2=22， 解得

，得C1（

），

若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2， 设C2（x′，2x′），则得x′2+（2x′）2=22，解得

=

，

∴C2（

），

），

），

又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（

若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（

），（

），

所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（（

），C4（

）．

试题３、（2011广西来宾，23，10分）已知反比例函数的图像与一次函数图像交于点A（1，4）和B（m, -2）.

(1)求这两个函数的关系式.

（2）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积。

（3）点P是X轴上的动点，△ＡＯＰ是等腰三角形，求点Ｐ的坐标。

二、反比例函数与等边三角形结合

试题１、如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 （﹣1，2） ．

解：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，

∴x=0时，得y=4，∴B（0，4）．

∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC， ∴C在线段OB的垂直平分线上， ∴C点纵坐标为2．

将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1．

故答案为：（﹣1，2）．

试题２、（2015黄冈校级自主招生）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线

（x＞0）上，则图中S△OBP=（ ）

A． B． C． D．4

【解答】解：∵△AOB和△ACD均为正三角形， ∴∠AOB=∠CAD=60°， ∴AD∥OB， ∴S△ABP=S△AOP， ∴S△OBP=S△AOB，

过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=S△AOB， ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴S△OBE=×4=2，

∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4． 故选D．

试题３、（2013黄冈模拟）如图，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数

的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（ ）

A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（

，0）

【解答】解：（1）根据等腰直角三角形的性质，可设点P1（a，a）， 又y=，

则a2=4，a=±2（负值舍去），

再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是（4，0）， 设点P2的坐标是（4+b，b），又y=，则b（4+b）=4， 即b2+4b﹣4=0， 又∵b＞0，∴b=2

﹣2，

再根据等腰三角形的三线合一， ∴4+2b=4+4

﹣4=4

， ，0）．

∴点A2的坐标是（4故选C．

三、反比例函数与直角三角形结合

试题１、（2015大连模拟）如图，以Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，C为AB的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与C重合，并绕点C旋转，直角边CM、CN与边OB、OA相交于E、F．

（1）如图1，当∠ABO=45°时，请直接写出线段CE与CF的数量关系： CE=CF ．

EC ．

（2）如图2，当∠ABO=30°时，请直接写出CE与CF的数量关系： FC=

（3）当∠ABO=α时，猜想CE与CF的数量关系（用含有α的式子表示），并结合图2证明你的猜想．

（4）若OA=6，OB=8，D为△AOB的内心，结合图3，判断D是否在双曲线y=上，说明理由．

【解答】解：（1）如图1，连接OC，

∵∠AOB=90°，∠MCN=90°， ∴四边形OFCE共圆，

∵∠ABO=45°，C为AB的中点， ∴∠EOC=∠FOC=45°， ∴CE=CF，

故答案为：CE=CF． （2）如图2，连接OC，

∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，

∴四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF， ∵∠ABO=30°，C为AB的中点， ∴∠BOC=30°，

∴∠FOC=60°，可得∠FGP=60°， ∴FC=2FP=

r，

EC．

同理可得EC=r， ∴FC=

EC．

故答案为：FC=

（3））如图2，连接OC， ∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，

∴四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF， ∵∠ABO=α，C为AB的中点， ∴∠BOC=α，

∴∠FOC=90°﹣α，可得∠FGP=90°﹣α， ∴FC=2FP=2rsin（90°﹣α）， 同理可得EC=2rsinα，

∴FC：EC=sin（90°﹣α）：sinα， ∴FC=（4）如图3，

EC．

∵OA=6，OB=8， ∴AB=

=

=10，

设OC为x，AC=6﹣x， ∵D为△AOB的内心， ∴OE=x，BE=8﹣x， ∴8﹣x+6﹣x=10， ∴x=2，

∴点D（2，2）．代入双曲线y=不成立， ∴D不在双曲线y=上，

四、反比例函数与等腰直角三角形结合

试题１、如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（ ）

A． C．

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