概率论与数理统计第三章习题解答

第三章 多维随机变量及其分布

1、在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

,??0,若第一次取出的是正品X??

??1,若第一次取出的是次品?,??0,若第二次取出的是正品Y??

??1,若第二次取出的是次品?试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)

101025P (X=0, Y=0 )= ??1212361025P (X=0, Y=1 )= ??1212362105P (X=1, Y=0 )= ??121236221P (X=1, Y=1 )= ??121236或写成

X 0 1 Y 2550 3636511 3636（2）不放回抽样的情况 10945P {X=0, Y=0 }= ??12116610210P {X=0, Y=1 }= ??12116621010P {X=1, Y=0 }= ??121166211P {X=1, Y=1 }= ??121166或写成

X 0 1 Y 45100 66661011 66662、盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到

1

黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

X 0 1 2 3 Y 320 0 0 353561221 0 3535351632 0 353535解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

22C2C21?P {X=0, Y=2 }= 435C7P {X=1, Y=1 }=P {X=1, Y=2 }=P {X=2, Y=0 }=P {X=2, Y=1 }=P {X=2, Y=2 }=P {X=3, Y=0 }=P {X=3, Y=1 }=

112C3C2C24C7121C3C2C24C722C3C24C7??6 356 35?3 35?12 35211C3C2C24C722C3C24C731C3C24C731C3C24C7???3 352 352 35P {X=3, Y=2 }=0

??k(6?x?y),0?x?2,2?y?43、设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??

?0,其它?（1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3} （3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=

??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其

GG?Do?0?x?2,???中Do??(x,y)?

2?y?4????解：（1）∵1?

??????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?1 82

（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?3 8（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)?4、解：

?1.50dx?127 (6?x?y)dy?28324?20dx?4?x012(6?x?y)dy? 83y

（1）、因X,Y都是非负的连续型随机变量，故?X,Y?的概率密度为

?fX(x)fY(y) x?0,y?0f(x,y)??

?0 其它其中fX(x)为X的概率密度即所以

?x0fX(t)dt?FX(x)

P?X?Y??? =? =? ??0??0?y0yf(x,y)dxdyfX(x)fY(y)dxdyfX(x)dxfY(y)dy??0??0?0y????0?

??0FX(y)fY(y)dy??xxFX(x)fY(x)dy（2）、因X,Y是相互独立的且是非负的连续型随机变量，故可以用（1）的结论

x?0时FX(x)??fX(t)dt???1e??1tdt?1?e??1x

00P?X?Y?????0??0?1?e??e??1x2????2xdxd??1??2?x

???2e??2xdx??0??1??2??2e???1??2?x??2?2?1????x???e??2x?e?12???1????1??2???1??2???1??2???05、解：设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

?.?4.8y(2?x)0?x?1,0?y?x求边缘概率密度 f(x,y)???其它?0解：fX(x)???????????x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它

fY(y)??

??1???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)0?y?1 f(x,y)dx??y?其它?03

6、解： 解法（1）： 将试验的样本空间及X，Y取值的情况列表如下： 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 2 1 1 1 1 0 0 X取值 2 2 2 2 1 1 1 0 Y取值 3 X所有可能取的值为0，1，2；Y所有可能取的值为0，1，2，3 由于试验属于等可能概型，容易得到?X,Y?取?i,j?，i=0,1,2;j=0,1,2,3的概率和边缘分布律如下表：

Y X 0 1 2 3 解法（2）：X~1B2/,()0 1 0 1/4 1/4 0 1/2 2 0 0 1/8 1/8 1/4 P?Y?j? 1/8 3/8 3/8 1/8 1 1/8 1/8 0 0 P?X?i? 1/4 ，Y所有可能的取值为0，1，2，3.而当X?i?i?0,1,2?时Y取i的概率为1/2,Y取i?1的概率也为1/2，而取i,i?1以外的值是不可能的。知

?2?1P?X?i????,i?0,1,2

?i?4故知

P?X?0,Y?0??P?Y?0|X?0?P?X?0??P?XP?XP?XP?XP?X11P?X?0?? 2811?0,Y?1??P?Y?1|X?0?P?X?0??P?X?0??

2811?1,Y?1??P?Y?1|X?1?P?X?1??P?X?1??

2411?1,Y?2??P?Y?2|X?1?P?X?1??P?X?1??

2411?2,Y?2??P?Y?2|X?2?P?X?2??P?X?2??

2811?2,Y?3??P?Y?3|X?2?P?X?2??P?X?2??

28其他情况的概率为0，所得的联合分布律与解法（1）相同，即为上表所表示。

7、解：

?X,Y?的概率密度f(x,y)在区域G:0?x?1,0?y?x外取零值。

有

fX(x)??

????x?（2?x)x2,0?x?1??04.8y(2?x)dy,0?x?1?2.4 f(x,y)dy?????0 ,其它??0 ,其它4

fY(y)???????14.8y(2?x)dx,0?y?1?2.4（3?4y?y2),0?y?1??yf(x,y)dx?????0 ,其它??0 ,其它y x=y 8、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?y?e?,0?x?y求边缘概率密度。 f(x,y)????0,其它.???e?ydy?e?x,x?0???解:fX(x)? f(x,y)dy??x???x?0?0,?ye?ydx?ye?y,y?0,??? fY(y)? f(x,y)dx??0???0,y?0,?????o x 22??cxy,x?y?19、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??

?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。

解: l=

??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?3214y 5212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272?dydx?y0?y?1 ?Y~fY(y)???y42?0其它?10、解：

（1）、 （X，Y）关于X的边缘分布律为

o y=x2 x P?X?i???P?X?i,Y?j?,i?51,52,53,54,55

j?5155将表中X?i那一行的数字相加，就得到概率P?X?i?，可得（X，Y）关于X的边缘分布律为

X 51 52 53 54 55 Pk 0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 同理可以得到（X，Y）关于Y的边缘分布律为 Y 51 52 53 54 55 Pk 0.28 0、28 0.22 0.09 0.13 （2）、所求的条件分布律为： X=i 11、解：

5

51 52 53 54 55 P?X?i|Y?51? 6/28 7/28 5/28 5/28 5/28

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