最新人教八年级三角形教学案

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

与三角形有关的线段

知识点1：三角形的边

三角形的概念:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类

顶角 （1） 按角分类 锐角三角形 三角形 直角三角形 腰 腰 钝角三角形 （2）按边分类 底角 底角 不等边三角形 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 底边 等腰三角形 等边三角形 考点1：认识三角形 1.如图7.1.1-1的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是__________， 顶点A、B、C所对的边分别是___________，用小写字母分别表示为 __________. 图7.1.1-1 图7.1.1-2

2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形. 3.如图7.1.1-2所示，以AB为一边的三角形有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

考点2：三角形三边关系

4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，10

5.（2008·福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm

6.如果线段a、b、c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ） A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶4

7.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的周长为（ ） A.15cm B.18cm C.15cm或18cm D.不能确定

8.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ ） A.3，4，5 B.3a，4a，5a C.3+a，4+a，5+a D.三条线段之比为3∶5∶8

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

9.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm，那么三边分别是________cm.

10.已知等腰三角形的周长是25cm，其中一边长为10cm，求另两边长__________. 11.某木材市场上木棒规格和价格如下表： 规格 价格（元/根） 1m 10 2m 15 3m 20 4m 25 5m 30 6m 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度为3m和5m的木棒，还需要到某木材市场上购买一

根.问：（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）选择哪一种规格的木棒最省钱？

12. 如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明PA+PB+PC>

1(AB+BC+AC). 2PBA

C13、（1）如图1，从A经B到C是一条柏油马路，AC是一条小路，人们从A到C，为什么不走柏油路，而喜欢走小路？请你用学过的知识解释一下原因。 （2）如图2，从A经B到C是一条柏油马路，由A经D到C是一条小路，人们从A步行到C，为什么不走柏油路，而喜欢走小路？请你用学过的知识解释一下原因。 BBDAC AC

14、已知a、b、c是△ABC的三边长，化简a?b?c?b?c?a?c?a?b

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

知识点2：三角形的高、中线与角平分线

1.三角形的高(如图

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。 表示法：（1）AD是△ABC的BC上的高。（2）AD⊥BC于D。（3）∠ADB＝∠ADC＝90°。

注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点。

AAA12B图1 DCBDC图2BDC如图3 2.三角形的中线（如图2） 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。 表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中线；（2）BD＝DC＝1BC 2注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。 3、三角形的角平分线（如图3） 三角形一个内角的平分线与它的对边相交这个角顶点与交点之间的线段。 表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线。 （2）∠1＝∠2＝1∠BAC 2注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④可以用量角器画三角形的角平分线。

考点1：三角形的高

1.如图7.1.2-1，在△ABC中，BC边上的高是________；在△AFC中，CF边上的高是________；在△ABE中，AB边上的高是_________.

图7.1.2-1 图7.1.2-2 图7.1.2-3

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

2.如图7.1.2-2，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则△ABH的三条高是_______，这三条高交于________.BD是△________、△________、△________的高.

3.如图7.1.2-3，在△ABC中EF∥AC，BD⊥AC于D，交EF于G，则下面说话中错误的是（ ） A.BD是△ABC的高 B.CD是△BCD的高 C.EG是△ABD的高 D.BG是△BEF的高

4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 5.三角形的三条高的交点一定在（ ） A.三角形内部 B.三角形的外部

C.三角形的内部或外部 D.以上答案都不对

6.如图7.1.2-4所示，△ABC中，边BC上的高画得对吗？为什么？ 图7.1.2-4

7、如图，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，AH⊥BC于H。图中以AH为高的三角形个数为（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 ABDHC 考点2：三角形的中线与角平分线 8如图7.1.2-5所示：（1）AD⊥BC，垂足为D，则AD是________的高，∠________= ∠________=90°. （2）AE平分∠BAC，交BC于E点，则AE叫做△ABC的________，∠________=∠________=（3）若AF=FC，则△ABC的中线是________，S△ABF=________. （4）若BG=GH=HF，则AG是________的中线，AH是________的中线.

1∠________. 2

图7.1.2-5 图7.1.2-6

9.如图7.1.2-6，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=60°，那么∠EDC=______度. 10.如图7.1.2-7，BD=DC，∠ABN=BNC的________线.

1∠ABC，则AD是△ABC的________线，BN是△ABC的________，ND是△2

A

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

图7.1.2-7 图7.1.2-8

11.如图7.1.2-8，若上∠1=∠2、∠3=∠4，下列结论中错误的是（ ） A.AD是△ABC的角平分线 B.CE是△ACD的角平分线 C.∠3=

1∠ACB 2 D.CE是△ABC的角平分线

12.下列判断中，正确的个数为（ ）

（1）D是△ABC中BC边上的一个点，且BD=CD，则AD是△ABC的中线 （2）D是△ABC中BC边上的一个点，且∠ADC=90°，则AD是△ABC的高 （3）D是△ABC中BC边上的一个点，且∠BAD=

1∠BAC，则AD是△ABC的角平分线 2（4）三角形的中线、高、角平分线都是线段 A.1 B.2 C.3 D.4 12．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空： ⑴BE= =11 ； ⑵∠BAD= = 22⑶∠AFB= =900； 14.如图图7.1.2-9所示，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE.

图7.1.2-9

15.△ABC中，高AD与CE的长分别为2㎝，4㎝ 求AB与BC的比是多少？

A

E

BCD

16、在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长。

16.根据你画图的实践，用序号字母填写下表（有几种可能情况填写几个字母）： A.在三角形的内部 B.在三角形的边上 C.在三角形的外部 角平分线 中线 高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形

17．填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 要点诠释：

(1)外角的特征有三条：

①顶点在三角形的一个顶点上．如下图：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点． ②一条边是三角形的一边．如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；

③另一条边是三角形某条边的延长线．如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 (2)三角形有六个外角，每个顶点处有两个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外 角和是指三个外角的和，三角形的外角和为360°；和外角有共同顶点的内角叫做和这个外角相邻的内角，它们是互补的，互为邻补角，另外两个内角叫做和这个外角不相邻的内角．

知识点三：三角形内角和外角的性质

1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （1）推理过程：如图所示，

因为∠ACD+∠ACB=180°（邻补角定义）， ∠ACB+∠A+∠B=180°（内角和定理）， 所以∠ACD=∠A+∠B（等式性质）．

（2）作用：①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”； ②可证一个角等于另两个角的和； ③经常利用它作为中间关系式证明两个角相等。

2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如上图所示，∠ACD>∠A或∠ACD>∠B． 作用：利用它证明两个角不相等的关系． 要点诠释：

这两个结论称为三角形内角和定理的推论．它可以当作定理直接使用．利用它证明角不等时，应设法把求证中的大角放在三角形的外角位置上，把小角放在内角位置上，也可以把它们的一部分放在外角或内角的位置上。 注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思．即 “和它不相邻”的意义

三、规律方法指导

1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.

2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.

3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.

基础过关作业

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．

2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度． 4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ）

（1）最小内角是20°； （2）最大内角是100°； （3）最大内角是89°； （4）三个内角都是60°； （5）有两个内角都是80°．

A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5） C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5） 5．如图1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．

(1) (2) (3) 6．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度． 7．△ABC中，∠A是最小的角，∠B是最大的角，且∠B=4∠A，求∠B的取值范围． 8．如图2，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数． 综合创新作业

9．（综合题）如图3，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________．

10．（应用题）如图7-2-1-4是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检验模板是否合格？

11．（创新题）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．

12．（2005年，福建厦门）如图，已知，在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D． （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

13．（易错题）在△ABC中，已知∠A=11∠B=∠C，求∠A、∠B、∠C的度数． 35培优作业

14．（探究题）（1）如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB?的平分线相交于点D，求∠BDC的度数． （2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC和∠A之间的数量关系．

15．（开放题）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，作BC边上的高AD，?图中出现多少个直角三角形？又作△ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作出D1D2，D2D3，?，当作出Dn-1Dn时，图中共出现多少个直角三角形？

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

答案:

1．70° 2．B 3．90 4．C 5．280 6．60；60 7．解：设∠B=x，则∠A=

1x． 45x． 415而∠A≤∠C≤∠B．所以x≤180°-x≤x．?即80°≤x≤120°．

44由三角形内角和定理，知∠C=180°-8．解：设∠ABC=∠C=x°，则∠BAC=4x°．

由三角形内角和定理得4x+x+x=180． 解得x=30．

∴∠BAC=4×30°=120°．

∠BAD=180°-∠BAC=180°-120°=60°． ∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．

点拨：∠ABD是Rt△BDA的一个锐角，若能求出另一个锐角∠DAB．

就可运用直角三角形两锐角互余求得．

9．132° 点拨：因为∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°，

且AD?是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠DAC=30°． 在△ABD中，∠ADB=180°-66°-30°=84°． 在△ADC中，∠ADC=180°-54°-30°=96°． 又DE平分∠ADC，所以∠ADE=48°．

故∠BDE=∠ADB+∠ADE=84°+48°=132°． 10．

解：设计方案1：测量∠ABC，∠C，∠CDA，

若180°-（∠ABC+∠C）=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°

同时成立，

则模板合格；否则不合格．

设计方案2：测量∠ABC，∠C，∠DAB，

若180°（∠-ABC+∠C）=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°

同时成立，

则模板合格；否则不合格．

设计方案3：测量∠DAB，∠ABC，∠CDA，

若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°

=20°同时成立，

则模板合格；否则不合格．

设计方案4：测量∠DAB，∠C，∠CDA，

若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立， 则模板合格；否则不合格．

点拨：这是一道几何应用题，借助于三角形知识分析解决问题，?对形成用数学的意识解决实际问题是大有益处的．

11．解法1：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，

∴∠BAC=60°．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=

11∠BAC=×60°=30°． 22

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°．?

在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°． 解法2：同解法1，得出∠BAC=60°． ∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=

11∠BAC=×60°=30°． 22∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，

∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-?∠CAE=45°-30°=15°． ∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，

∴∠AEC+30°+45°=180°，?∴∠AEC=105°． 答：∠DAE=15°，∠AEC=105°． 点拨：本节知识多与角平分线的定义，余角的性质，平行线的性质，三角形高的定义综合应用，有时也结合方程组、不等式等代数知识综合应用．求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系求解，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解． 12．（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°， ∴∠ABC=60°． 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°． ∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD． （2）解法1：∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°． ∴

1（∠BAC+∠ABC）=45°． 211∠BAC，∠ABP=∠ABC； 22 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∴∠BAP=

即∠BAP+∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°=135°． 解法2：∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°． ∴

1（∠BAC+∠ABC）=45°． 211∠ABC，∠PAC=∠BAC， 22 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∴∠DBC=

∴∠DBC+∠PAD=45°．

∴∠APB=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°． 13．解：由∠A=

11∠B=∠C知，∠B=3∠A，∠C=5∠A． 35 设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°．

由三角形内角和定理得x+3x+5x=180． 解得x=20．

∴3x=60，5x=100．

∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．

点拨：解此类题，一般设较小的角为未知数．

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

14．解：（1）∵∠A=42°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°．

∵BD、CD平分∠ABC、∠ACB的平分线．

11∠ABC，∠DCB=∠ACB． 2211 ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=×138°=69°．

22 ∴∠DBC=

∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-69°=111°． （2）∠BDC=90°+

1∠A． 2 理由：∵BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的平分线， 11∠ABC，∠DCB=∠ACB． 22111 ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A． 222 ∴∠DBC=

∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB） =180°-（90°- =90°+

1∠A） 21∠A． 2 点拨：欲求∠BDC，只要求出∠DBC+∠DCB即可． 15．解：作出BC边上的高AD时，图中出现3个直角三角形； 作出△ABD中AB边上的高DD1时，图中出现5个直角三角形； 作出Dn-1Dn时，图中共出现（2n+3）个直角三角形．

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

多边形及其内角和

目标认知 学习目标：

1．了解多边形，多边形的对角线，正多边形等有关的概念； 2．掌握多边形内角和与外角和公式；

3．灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法， 进一步培养说理和进行简单推理的能力.

重点：

多边形内角和及外角和公式的灵活应用.

难点：

1．多边形内角和公式的推导.

2．多边形内角和及外角和公式的应用

知识要点梳理

知识点一：多边形及有关概念

1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意：

①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可;

③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形.

2、多边形的分类:

(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形.

凸多边形 凹多边形 图1

(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

知识点二：正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形 要点诠释：

各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.

知识点三：多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：

(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。 证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n－3)条对角线，但过两

个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有

条对角线。

知识点四：多边形的内角和公式

1.公式：边形的内角和为

.

2.公式的证明：

证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为

，再减去一个周角，即得到边形的内角和为

.

个三角形，这

证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于

条对角线，并且边形被分成.

证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数， 即

.

要点诠释：

(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。

知识点五：多边形的外角和公式

1.公式：多边形的外角和等于360°.

2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为

，外角和等于

.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无

关。

要点诠释：

(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加 1条边，内角和增加180°。

②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。

知识点六：镶嵌的概念和特征

1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。

2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：

(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面

对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。

事实上，正n边形的每一个内角为，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，

这样360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。因而，用

相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。

注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面

用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：

又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。

规律方法指导

1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边，内角的和 就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍. 2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. 3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少 没有钝角.

4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节 问题的常用方法.

5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是 研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用. 经典例题透析

类型一：多边形内角和及外角和定理应用

1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.

举一反三：

【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？

【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。

类型二：多边形对角线公式的运用

2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？

总结升华：对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决.

举一反三：

【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）. A．6 B．7 C．8 D．9

【变式2】一个十二边形有几条对角线。

总结升华：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只

要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

类型三：可转化为多边形内角和问题

3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

总结升华：本题通过作辅助线，把∠A与∠G的和转化为∠1与∠2的和，从而把问题变为求五边形的内角和运算，“转化思想”是解决本题的关键.

举一反三：

【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.

【变式2】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。

类型四：实际应用题

4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

举一反三：

【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，?，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了__________m.

【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。

【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.

类型五：镶嵌问题

5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。 (1)正方形和正八边形； (2)正三角形和正十二边形； (3)正三角形、正方形和正六边形。

思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。

举一反三：

【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )

A、① B、② C、③ D、④

【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是( )

A、4 B、5 C、6 D、8

【变式3】（2010内蒙古赤峰）下面平面图形中，不能镶嵌平面的图形是 （ ） A．任意一个三角形 B．任意一个四边形 C．任意一个正五边形 D．任意一个正六边形

学习成果测评 基础达标： 选择题

1.多边形的内角和不可能是（ ）.

A.1800° B.540° C.800° D.360° 2.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( ). A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

3.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( ). A.都是钝角; B.都是锐角

C.是一个锐角、一个钝角 D.是一个锐角、一个直角

4.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ). A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形

5.如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是（ ）.

A.30° B.35° C.36° D.42°

－学思苑教育

学习无捷径，考试有方法

6.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=( ).

A.180° B.360° C.540° D.720°

7.如图，至少去掉( )个点，才能使留下的任何三个点都不能组成一个正三角形( ). A．2 B．3 C．4 D．5

8.从一个边形中除去一个角后，其余

个内角和是2580°，则原多边形的边数是（ ）.

A.15 B.17 C.19 D.13 9.（2010广东肇庆）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 （ ） A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形

10.（2010福建泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC

重合，若∠A=70°，则∠1+∠2= （ ）

上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与

A.140° B.130° C.110° D.70°

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8713.html