金融数学（利息理论）复习题练习题

1. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适？ 2. 已知：1） 1?i2） 1?

由于(1?im)?(1?in)?1?i 由于(1?dm)?(1?dn)?1?d

3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款。银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。试分析两种还款方式有何区别？哪一种方案对借款人有利？

4. 设m?1，按从小到大的顺序排列i,i(m)(m)(m)(m)m?(1?i5)(1?i6)?1 求m?? ?(1?d(5)d(6)?1)(1?6) 求m?? 5(5)(6)d(m)mm(n)nm(n)n,d,d(m),?

解：由

i?d?i?d ? i?d

d(m?1)?d(m) ? d?d(m) i(m)?d(n) ? d(m)?i(m) i(m?1)?i(m) ? i(m)?i

i(m)?limd(m)?? 1?i?e??1?? ， limm??m??? d?d(m)???i(m)?i

5. 两项基金X,Y以相同的金额开始，且有：（1）基金X以利息强度5%计息；

（2）基金Y以每半年计息一次的名义利率j计算；（3）第8年末，基金X中的金额是基金Y中的金额的1.5倍。求j.

6. 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款10,000元,期限为5年，计算下列三种

还款方式中利息所占的额度：

1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清； 2）每年末支付贷款利息，第五年末归还本金； 3）贷款每年年末均衡偿还（即次用年金方式偿还）。 三种还款方式乙方支付的利息相同吗? 请你说明原因？

7.某人在前两年中，每半年初在银行存款1000元，后3年中，每季初在银行存款2000元，每月计息一次的年名义利率为12% 计算5年末代储户的存款积累值。

8. 期末付款先由1到n递增付款，然后再由n?1到1的递减付款形成的变额年

金称为虹式年金，试求付款期利率为i的虹式年金的现值和终值。 解：现值为：

A???2?2?3?3?,...,?(n?1)?n?1?n?n?(n?1)?n?1?,...,??2n?1 ?A??2?2?3?3?4?,..?.(,n?1)?n?n?n?1?(n?1)?n?2?,..?.?,2n

n? A??A????2??3?,...,??n??n?1??n?2?,...,??2n???1??(1??)1??)A??((1 ??)2n2n?1同理可证终值公式。

9. 固定养老保险计划：

责任：未退休时，每月初存入一定金额（养老保险金），具体方式：

25岁—29岁，月付200元， 30岁---39岁，月付300元， 40岁—49岁，月付500元， 50岁—59岁，月付1000元，

权益：从退休时（60岁），每月初领取P元退休金，一直领取20年。 问题：在给定年利率i?10%，分别计算从25，30，40，50岁参加养老保险，

60岁以后月退休金为多少？ 查表可得：

a20|0.1?8.5136，s35|0.1?271.0244，s30|0.1?164.4940，

s20|0.1?57.2750，s10|0.1?15.9374。

10．某人继承一笔遗产：从现在起每年初可得10000元。该继承人以10%年利率

将以产收入存入银行，到第五年底，在领取第六年年金之前将遗产的权益转卖给他人，然后将前五年的存款收入取出并和转卖收入一并做一项年收益率为12%的投资项目。若每年底的投资回报是相同的，项目有效期为30年。求投资人每年的回报金额。

11． 考虑下列两种等价的期末年金：

A：首付6000元，然后每年减少100元，直到某年（k），然后保持一定付款的水平直到永远；

B：每年底固定付款5000元； 如果年利率为6%，试求k（近似整数）。 解：

方法一：价值等式：5000a?|?(6000?100(k?1))?a?|?6000ak|?100?kak|?k?k0.6

5000?(6000?100(k?1))?k?6000(1??k)?100(ak|?k?k)

解得ak|?10，查表得k?15

方法二：价值等式：5000a?|?(6000?100(k?1))a?|?100(Da)k?1| 注意到 (Da)n|?答：k?15。

12． 某人退休一次性获得退休金Y元，它将其中的一部分X用于投资回报率为

n?an|i 解得ak|?10查表得k?15

iX的永久基金，另一部分用于投资回报率为j的十年期的国债。已知他前十年的收入是后十年的两倍，试确定他投资于永久基金占总退休金的比例。 13． 某汽车销售商计划采取以下两种零售策略：

1）若一次性付清车款，零售价格为2万元；或 2）以年利率10%， 提供4年分期付款（按月付款）。

如果目前市场上，商业零售贷款月换算的年名义利率为12%，试分析两种零售策略那种对消费者更优惠？

14． 十万元的投资每年底收回一万元，当不足一万元时将不足一万元的部分与

最后一次的一万元一次收回。如果每半年接转一次利息的年名义利率为7%，试求收款次数和最后一次的收款金额。

15．考虑一个十年期的投资项目：第一年初投入者投入10000元，第二年初投入5000元，然后每年初只需投入维修费1000元。该项目期望从第六年底开始有收益：最初为8000元，以后每年递增1000元。用DCF法计算该投资项目的价值。特别如果贷款利率为10%，该项目是否有投资价值？

16．某项10年期贷款，年利率为8%，如果还款额同时以年利率为7%在投资，求下列情况下的实际收益率： 1）到期一次还清；

2）每年还利息，到期还本金； 3）每年等额分期偿还。

17．某基金投资者：每年初投入一定本金，共投资10年。基金本身的年回报率为7%，年底支付。分别对再投资利率为5% 和8% 两种情况下，讨论投资者的实际收益率。

18．讨论下列模型假设下得再投资的实际收益率：

1）每年末（一个计息期）投资1单位资金，每年（一个计息期）的直接投资

收益率为i；

2）投资的回报方式为：逐年（一个计息期）收回利息，结束时收回本金； 3）同时将每年的利息收入以再投资利率为j进行再投资。 资金流程图如下：

19． 投资者购买以下五年期的金融产品：1）每年底得到1000元；2）每年的收入可按年利率4%再投资且当年收回利息。如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%。求该金融产品的购买价。

20．某投资者连续五年每年向基金存款1000元，年利率5%，同时利息收入可以

年利率为4%投资。给出第十年底的累积余额表达式。

21．1万元的贷款计划20年分年度还清，每年底还款1000元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率为5%投资，计算贷款方的实际收益率。

22．某活期存款账户年初余额为1000元，4月底存入500元，六月底和八月底分别提取200元和100元，年底余额为1236元，求该储户的年资本加权收益率。 23．某投资账户年初余额为10万元，5月1日的余额为11.2万元，同时投资3万元，11月1日余额将为12.5万元，同时提取4.2万元，在下一年的1月1日又变为10万元。分别用资金加权和时间加权求投资收益率。

24．某基金由两个投资人，甲年初在基金中有资金1万元，年中又投入1万元，乙年初有2万元，上半年收益率为10%，下半年收益率为20%，利用投资组合法计算甲乙应分得的收益。

25．债券A，面值为PA，收益率为iA，无违约风险；

债券B，面值为PB，收益率为iB，违约概率为p（0?p?1），如果违约发生则到期债券的价值为0，即债券B在到期时的价值为随机变量XB??PB......不违约0............违约。

问题：在什么条件（PA，PB，p，iA，iB满足什么关系）下，债券A和债券B对投资者来说有相同的期望收益？

分析：要使两债券在到期时有相同的期望收益，两债券期末的期望本利和应相同，所以应有关系：PA(1?iA)?E[XB](1?iB) 即：PA(1?iA)?PB(1?p)(1?iB)

26．某按月摊还的债务，年实际利率为11%，如果第三次还款中的本金量为1000元，计算第33次还款中本金部分的金额。

27．某借款人借款2000元，年利率为10%，要求两年内还清。借款人以偿债基金方式还款：每半年向基金存款一次，而且存款利率为季度挂牌利率8%，求每半年应偿债基金的存款额。并构造偿还表。

28．假设一笔贷款期限为5年，贷款利率为10%，如果贷款人计划每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。

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