2019年高三人教A版数学一轮复习练习：第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第6节(1)

2019

第十章（理） 第6节

[基础训练组]

1．(导学号14577992)(2018·茂名市二模)若离散型随机变量X 的分布列为( )

则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或1

2

C.12

D ．1

解析：C [由题意，a 2＋a 22＝1，a >0，∴a ＝1，∴E (X )＝0×12＋1×12＝1

2.故选C.]

2．(导学号14577993)(2018·南宁市二模)设随机变量X 的概率分布表如图，则P (|X －2|＝1)等于( )

A.7

12 B.12 C.512

D.16

解析：C [m ＝14，P (|x －2|＝1)＝14＋16＝5

12

.故选C.]

3．(导学号14577994)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝2)的值为( )

A.1

220 B.2755 C.27220

D.2125

解析：C [由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝2)＝C 23·C 19

C 312＝27220.故选

C.]

4．(导学号14577995)设随机变量ξ的分布列为P ????ξ＝k

5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则P ????110

＜ξ＜7

10等于( )

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A.35

B.45

C.25

D.15

解析：C [由已知，分布列为

由分布列的性质可得a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝1

15.

∴P ????110＜ξ＜710＝P ????ξ＝15＋P ????ξ＝25＋ P ????ξ＝35＝115＋215＋315＝2

5

.故选C.] 5．(导学号14577996)有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则E (ξ)等于( )

A.35

B.815

C.1415

D ．1

解析：A [ξ服从超几何分布P (ξ＝x )＝C x 3·C 2－

x

7C 2

10(ξ＝0,1,2)，∴P (ξ＝0)＝C 29·C 03

C 210＝2145＝715

， P (ξ＝1)＝C 17·C 13C 210＝2145＝715，P (ξ＝2)＝C 23

C 210＝345＝115.

∴E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝3

5

.故选A.]

6．(导学号14577997)设随机变量ξ等可能取1,2,3，…，n ，若P (ξ＜4)＝0.3，则n ＝ ________ .

解析：因为1,2,3，…，n 每个值被取到的概率为1

n

，

所以P (ξ＜4)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1n ＋1n ＋1

n ＝0.3，所以n ＝10.

答案：10

7．(导学号14577998)(2018·临汾市联考)口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为 ________ .

解析：X 的取值为3,4,5. 又P (X ＝3)＝1C 35＝110，

P (X ＝4)＝C 23

C 35＝310，

P (X ＝5)＝C 24C 35＝3

5

.

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∴随机变量X 的分布列为

答案：

8.(导学号14577999)12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

解析：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．

答案：4 760

9．(导学号14578001)(2018·黔东南州一模)从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；

(2)若用分层抽样的方法从分数在[30,50)和[130,150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130,150]的有几人？

(3)在(2)抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130,150]内的人数为ξ，求期望E (ξ)． 解：(1)由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为

0．005 0×20×40＋0.007 5×20×60＋0.007 5×20×80＋0.015 0×20×100＋0.012 5×20×120＋0.002 5×20×140＝92.

(2)样本中分数在[30,50)和[130,150]的人数分别为6人和3人，所以抽取的6人中分数在[130,150]的人有3×6

9

＝2(人)．

(3)由(2)知：抽取的6人中分数在[130,150]的人有2人，依题意ξ的所有取值为0、1、2， 当ξ＝0时，P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15

；

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当ξ＝1时，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35

； 当ξ＝2时，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15

； ∴E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15

＝1. 10．(导学号14578002)(2018·烟台市一模)2018年由央视举办的一档文化益智节目《中

国诗词大会》深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在[10,70]的观众，得到如下频率分布直方图．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．

(1)请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数x －；

(2)现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别

为x ，y ，若|x －y |≥10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概率p ；

(3)以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁

的人数ξ的分布列及期望．

解：(1)设第四、五组的频率分别为x ，y ，则2y ＝x ＋0.005×10，x ＋y ＝1－(0.005＋0.015

＋0.02＋0.035)×10，联立解得x ＝0.15，y ＝0.10.

从而得出直方图，x －＝15×0.2＋25×0.15＋35×0.35＋45×0.15＋55×0.1＋65×0.05＝

34.5.

(2)由题意第四组人数为4×0.0150.005＝12，∴p ＝C 112·C 14C 216＝25

. (3)由题意可得：样本总人数＝40.05

＝80，年龄不低于40岁的人数为80×(0.05＋0.10＋0.15)＝24.

故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为2480＝310

. X 的可能取值为0,1,2,3.

由P (ξ＝k )＝C k 3????1－3103－k ????310k ，可得P (ξ＝0)＝3431 000，P (ξ＝1)＝4411 000，P (ξ＝2)＝1891 000

，P (ξ＝3)＝271 000

，

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所以ξ的分布列：

ξ～B ????3，310，则E (ξ)＝3×310＝910

. [能力提升组]

11．(导学号14578003)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机

摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( )

A.85

B.65

C.45

D.25

解析：B [由题意知，X ～B ????5，3m ＋3，所以E (X )＝5×3m ＋3

＝3，解得m ＝2，所以X ～B ????5，35，所以D (X )＝5×35×?

???1－35＝65.故选B.] 12．(导学号14578004)(2018·合肥市二模)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直

至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( )

A ．3

B.72

C.185

D ．4

解析：C [由题意知ξ的可能取值为2,3,4，

P (ξ＝2)＝25×14＝110

， P (ξ＝3)＝????25×34＋34×24×13＝210，

P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ

＝3)＝1－110－210＝710

， ∴Eξ＝2×110＋3×210＋4×710＝185

.故选C.] 13．(导学号14578005)(2018·信阳市模拟)如图所示，A ，B 两点由5条连线并联，它们

在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝ ________ .

解析：法一 (直接法)由已知得，X 的取值为7,8,9,10，

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∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 12C 22C 35＝310

， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110

， ∴X 的概率分布列为

∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝310＋25＋110＝45

. 法二 (间接法)由已知得，X 的取值为7,8,9,10，故P (X ≥

8)与P (X ＝7)是对立事件，

所以P (X ≥8)＝1－P (X ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45

. 答案：45

14．(导学号14578006)(2018·菏泽市一模)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时

间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长(单位：时间)，分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过22小时，则称为“过度熬夜”．

(1)请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；

(2)从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概

率；

(3)从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X ，

写出X 的分布列和数学期望E (X )．

解：(1)甲班样本数据的平均值为16

×(9＋11＋13＋20＋24＋37)＝19， 由此估计甲班学生每周平均熬夜时间19小时．

乙班样本数据的平均值为16

×(11＋12＋21＋25＋27＋36)＝22， 由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为22小时．

(2)∵从甲班的6个样本数据中随机抽取1个数据为“过度熬夜“的概率是13

， ∴从甲班的样本数据中，有放回地抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度熬夜“的概

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率为P ＝C 12×13×23＝49

. (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4，

P (X ＝0)＝C 24C 23C 26C 26＝225

， P (X ＝1)＝C 14C 12C 23＋C 24C 13C 13C 26C 26＝2675

， P (X ＝2)＝C 24C 23＋C 22C 23＋C 14C 12C 13C 13C 26C 26＝3175

， P (X ＝3)＝C 22C 13C 13＋C 14C 12C 23C 26C 26＝1175

， P (X ＝4)＝C 22C 23C 26C 26＝175

， ∴X 的分布列为：

E (X )＝0×225＋1×2675＋2×3175＋3×1175＋4×175＝53

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/868i.html