2016届河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）解析版

2016年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．（5分）“m=±1”是“复数（1﹣m）+（1+m）i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（?UA）∩B的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（5分）若点（sinA．

B．

，cos C．

）在角α的终边上，则sinα的值为（ ） D．

2

4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（ ）

A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10

5．（5分）函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（ ）

A．g（x）=sin（2x﹣（2x﹣

）

） B．g（x）=sin（2x+） C．g（x）=cos（2x+） D．g（x）=cos

6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2） 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）

A．1

B．

C．

D．

*

n

n

8．（5分）已知数列{an}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N，都有an+1﹣an≤2，an+2﹣an≥3×2成立，则a2014=（ ）

2014201420152015A．2﹣1 B．2+1 C．2﹣1 D．2+1 9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）?（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（ ） A．随

增大而增大 B．随

增大而减小

C．是2 D．是4

10．（5分）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A．

π B．3π

C．

D．2π

，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三

11．（5分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆

心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（ ）

A．

B．

C．

D．

12．（5分）已知函数f（x）=能为（ ）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

，关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数不可

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知a＞0，

展开式的常数项为15，则

= ．

14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是 ． 15．（5分）设抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|= ．

16．（5分）已知数列{an}满足a1=2，an+an+1+n=0．则a31= ．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足（Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC．

?

=0．sin∠BAC=

，AB=3

，BD=

．

2

2

18．（12分）已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'﹣EC﹣B是直二面角． （1）证明：BE⊥CD’；

（2）求二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．

19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图：

（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；

（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？ 捐款超过500元 捐款不超过500元 合计 2P（K≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2

经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计 a=30 c b d=6 附：临界值表参考公式：K=，n=a+b+c+d．

20．（12分）已知椭圆E：+

=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，且椭圆过点（0，

=

．

），（，﹣），

且A是椭圆上位于第一象限的点，且△AF1F2的面积S

（1）求点A的坐标；

（2）过点B（3，0）的直线l与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与x轴相交于M，N两点，点C（，0），则

?

是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=（ax+bx+a﹣b）e﹣（x﹣1）（x+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．

（1）求实数a，b的值；

（2）若f（x）?（x+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．

[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD

（1）求证：∠ACB=∠ACD；

（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．

2

2

x

2

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，已知点P（1，﹣2），直线l：

2

（t为参数），以坐标原点为极点，x

轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B． （1）求直线l和曲线C的普通方程； （2）求|PA|+|PB|．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=2x﹣1﹣a，g（x）=﹣2x+m，a，m∈R，若关于x的不等式g（x）≥﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣2． （1）求整数m的值；

（2）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的上方，求实数a的取值范围．

2016年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．（5分）（2015?运城二模）“m=±1”是“复数（1﹣m）+（1+m）i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合纯虚数的概念进行判断即可． 【解答】解：若复数（1﹣m）+（1+m）i为纯虚数， 则满足解得m=1，

当m=﹣1时，复数（1﹣m）+（1+m）i=0为实数，不是纯虚数，

2

即“m=±1”是“复数（1﹣m）+（1+m）i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的必要不充分条件， 故选：C

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据纯虚数的概念是解决本题的关键．

2．（5分）（2016?衡水校级模拟）设全集U=R，函数（fx）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（?UA）∩B的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由对数式的真数大于0求得集合A，求解三角方程化简集合B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．

【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0． ∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则?UA={x|﹣2≤x≤0}； 由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z． 则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，

则（?UA）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}． ∴（?UA）∩B的元素个数为3． 故选：C．

【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数函数的定义域，考查了三角函数值的求法，是基础题．

3．（5分）（2016?朔州模拟）若点（sinA．

B．

C．

D．

，cos

）在角α的终边上，则sinα的值为（ ）

22

2

，即，

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值． 【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin

，cos

）即（，

），

则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，

故选：A．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．

4．（5分）（2015?蒙城县校级模拟）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（ ）

A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10

【分析】算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，

由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，

由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，

则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26 故选：B．

【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键

5．（5分）（2016?丽水一模）函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解

析式可以是（ ）A．g（x）=sin（2x﹣（2x﹣

）

） B．g（x）=sin（2x+

） C．g（x）=cos（2x+

）

D．g（x）=cos

【分析】由图象可得g（x）的图象经过点（【解答】解：代值计算可得f（

）=sin

，

≠=

，， ），

），逐个选项验证可得．

由图象可得g（x）的图象经过点（代入验证可得选项A，g（选项B，g（选项D，g（选项C，g（

）=sin）=cos）=cos

）=sin≠

，故错误；

，故错误；

=≠=

，故错误；

=﹣cos=cos

，故正确．

故选：C．

【点评】本题考查三角函数图象和解析式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题．

6．（5分）（2016?池州二模）若函数f（x）=

的图象如图所示，则m的范围为（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2） 【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断．

【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2． f′（x）=

．

∵f（x）由两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x=0由两个绝对值大于1的解， ∴m＞1． 故选：D．

【点评】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，奇偶性，特殊点，极限等方面进行判断．

7．（5分）（2016?朔州模拟）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）

2

A．1

B．

C．

D．

【分析】作出几何体的直观图，根据几何体的结构特征计算各个面的面积．

【解答】解：由三视图可知该几何体为底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD，P在底面的投影E在DA的延长线上，且PE=AE=AD=CD=1， ∴S△PAD=PF=∴S△PCD=

=

=，S底面ABCD=1×1=1，PA=， =

，S△PAB=

=

．S△PBC=

=

．

=

，PD=

=

，

∴在四棱锥的五个面中，△PCD的面积最大． 故选C．

【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，作出棱锥的直观图是解题关键．

8．（5分）（2016?衡水校级四模）已知数列{an}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N，都有an+1﹣an≤nn

2，an+2﹣an≥3×2成立，则a2014=（ ）

2014201420152015A．2﹣1 B．2+1 C．2﹣1 D．2+1

*

【分析】由an+2﹣an≥3×2，得an+2﹣an+1+an+1﹣an≥3×2，结合an+1﹣an≤2得则

得到an+1﹣an≥2，进一步得到【解答】解：由an+2﹣an≥3×2，得

n

an+2﹣an+1+an+1﹣an≥3×2①， 且即

①+②得：an+1﹣an≥2， 又an+1﹣an≤2， ∴

．

n

n

n

n

nnn

，

．然后利用累加法求出数列{an}的通项公式，则答案可求．

， ②，

∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

n﹣1n﹣221=2+2+…+2+2+1 =∴故选：A．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了数列与不等式的综合，训练了累加法求数列的通项公式，由两不等式联立得到

9．（5分）（2016?衡水校级四模）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）?（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（ ） A．随

增大而增大 B．随

增大而减小

是解答该提的关键，是中高档题．

． ．

C．是2 D．是4

【分析】通过假设=（4，0）、=（2，2量的终点在以（3，

）、=（x，y），利用（﹣）?（﹣）=0，计算可得向

）为圆心、半径等于2的圆上，进而可得结论．

）、=（x，y），

【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2∵（﹣）?（﹣）=0， ∴（4﹣x，﹣y）?（2﹣x，2即（x﹣3）+（y﹣

2

﹣y）=x+y﹣6x﹣2

22

y+8=0，

）=4，

2

∴满足条件的向量的终点在以（3，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2∴m﹣n=4，

）为圆心、半径等于2的圆上， ，n=2

﹣2，

故选：D．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，利用特殊值代入法，是一种简单有效的方法，注意解题方法的积累，属于中档题．

10．（5分）（2016?大庆一模）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A．

π B．3π

C．

D．2π

，AC为截面圆的直径，AC=

，由勾股定理可得R=（

2

，AB⊥BC，平面PAB

【分析】求出P到平面ABC的距离为

2

）

+d=（）+（

22

﹣d），求出R，即可求出球的表面积．

，

2

【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R， ∵PA=PB=1，AB=∴PA⊥PB，

，

∵平面PAB⊥平面ABC， ∴P到平面ABC的距离为由勾股定理可得R=（∴d=0，R=，

∴球的表面积为4πR=3π． 故选：B．

【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．

11．（5分）（2016?日照二模）如图，已知双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐

2

2

2

2

．

）+d=（）+（

2

2

﹣d），

2

标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且的离心率为（ ）

=3，则双曲线C

A．

B．

C．

D．

【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．

【解答】解：因为∠PAQ=60°且所以△QAP为等边三角形， 设AQ=2R，则OP=R，

渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=

=3

，

由勾股定理可得（2R）﹣R=（所以（ab）=3R（a+b）① 在△OQA中，

①②结合c=a+b，可得

2

2

2

2

2

2

2

22

），

2

=，所以7R=a② =

．

22

故选：B．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．（5分）（2015?安徽模拟）已知函数f（x）==a的实根个数不可能为（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

【分析】由基本不等式可得x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，再作出函数f（x）=

，关于x的方程f（x+﹣2）

的图象，从而由图象分类讨论，从而由此分析关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数． 【解答】解：由基本不等式可得， x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4；

作函数f（x）=的图象如下，

①当a＞2时，x+﹣2＜﹣24或0＜x+﹣2＜1， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为4；

②当a=2时，x+﹣2=﹣24或0＜x+﹣2＜1或x+﹣2=2， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为6；

③当1＜a＜2时，﹣24＜x+﹣2＜﹣4或0＜x+﹣2＜1或1＜x+﹣2＜2或2＜x+﹣2＜3， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为8；

④当a=1时，x+﹣2=﹣4或0＜x+﹣2＜1或1=x+﹣2或x+﹣2=3， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为7；

⑤当0＜a＜1时，﹣4＜x+﹣2＜0或3＜x+﹣2＜4， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为6； ⑥当a=0时，x+﹣2=0或3＜x+﹣2＜4， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为3； ⑦当a＜0时，x+﹣2＞3，

故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为2．

故选A．

【点评】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）（2016?长春二模）已知a＞0，

=

．

展开式的常数项为15，则

【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值． 【解答】解：由令

的展开式的通项公式为Tr+1=

?（﹣1）?a

r

6﹣r

?，

=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，

，

因此原式为=

故答案为：

．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题

14．（5分）（2016?衡水校级四模）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是 [﹣16，16] ．

【分析】画出不等式表示的可行域，通过对a，b的符号讨论，然后求解ab的取值范围

【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），

关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧， 当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，

当a＞0，b＜0时满足题意，可得当a＜0，b＞0时满足题意，可得当a＜0，b＜0时满足题意，可得

﹣1，，，

，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0， ，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0， ，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab≤16，

当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解； 故ab的取值范围是：[﹣16，16]； 故答案为：[﹣16，16]．

【点评】本题考查线性规划的应用，考查分类讨论的应用，可以利用特殊值方法判断求解．

15．（5分）（2016?湖南二模）设抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|= 2P ．

【分析】先假设方程与抛物线方程联立，借助于求出点的坐标，从而求出线段长，进而求出|AF|﹣|BF|． 【解答】解：设AB方程为：y=k（x﹣）（假设k存在），与抛物线y=2px（p＞0）联立得k（x﹣px+=2px，

即kx﹣（k+2）px+

22

2

2

2

2

2

）

=0

2

设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∠CBF=90°即（x1﹣）（x1+）+y1=0， ∴x1+y1=∴B（∵x1x2=∴x2=∴A（

，x1= ，﹣

），|AF|=

，

2

2

，∴x1+2px1﹣，

，

2

=0，即（x1+p）=p，解得x1=），|BC|=

，|BF|=

，

22

，

∴|AF|﹣|BF|=2P， 故答案为2P．

【点评】直线与曲线相交问题，通常是联立方程组成方程组，从而可求相关问题．

16．（5分）（2016?衡水校级四模）已知数列{an}满足a1=2，an+an+1+n=0．则a31= ﹣463 ． 【分析】由已知数列递推式可得

（n≥2），两式作差可得an+1﹣an﹣1=﹣2n+1（n

2

≥2）．然后分别取n=2，4，…，30，得到15个等式，累加即可求得a31． 【解答】解：在数列{an}中，由an+an+1+n=0， 得∴

，

（n≥2），

2

两式作差得：an+1﹣an﹣1=﹣2n+1（n≥2）．

∴a3﹣a1=﹣3，a5﹣a3=﹣7，a7﹣a5=﹣11，…，a31﹣a29=﹣59． 累加得：

，

∴a31=﹣463．

故答案为：﹣463．

【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了等差数列前n项和得求法，是中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）（2014?郑州一模）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足AB=3，BD=． （Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC．

?

=0．sin∠BAC=

，

【分析】（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC． 【解答】解：（Ⅰ）∵∴AD⊥AC， ∴

∵sin∠BAC=∴

，

…．（2分）

2

2

2

?=0，

，

在△ABD中，由余弦定理可知BD=AB+AD﹣2AB?ADcos∠BAD，

2

即AD﹣8AD+15=0， 解之得AD=5或AD=3 …．（6分） 由于AB＞AD， ∴AD=3…..（7分）

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知又由可知∴

，

=

，

，

，

∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=∴

．…（12分）

，

【点评】本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．

18．（12分）（2016?衡水校级四模）已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'﹣EC﹣B是直二面角． （1）证明：BE⊥CD’；

（2）求二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．

【分析】（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．

（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点， ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，

又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC ∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．

（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系． 则

设平面BEC的法向量为

；平面D'BC的法向量为

，

代入整理可得：

不妨取x2=l 得

，

∴

∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．

【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于正确利用线面垂直与线面平行关系，并且利于建立坐标系利用向量法解决空间角与空间建立问题．

19．（12分）（2016?衡水校级模拟）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图：

（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；

（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？ 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计 捐款超过500元 捐款不超过500元 合计 2P（K≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2

a=30 c b d=6 附：临界值表参考公式：K=，n=a+b+c+d．

【分析】（1）求得各组区间的中点值，计算各个矩形的面积之和即可每户居民的平均损失；

（2）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有15户；损失超过8000元的居民共有3户，因此，ξ可能取值为0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，由期望公式计算即可得到； （3）由（2）可得a，b，c，d，运用临界值参考公式，求出K，与临界值比较，即可有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．

【解答】解：（1）记每户居民的平均损失为元，

则=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（4分）

（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有 （0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，

损失超过8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户， 因此，ξ的可能值为0，1，2． P（ξ=0）=

=

，

2

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P …（8分）

数学期望E（ξ），

（3）解得b=9，c=5，a+b=39，c+d=11，a+c=35，b+d=15，a+b+c+d=50，

，

所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关…12元

【点评】本题考查根据频率分布直方图求均值，以及随机分布的概率和期望的计算，考查独立性检验的概率情况，考查运算能力，属于中档题．

20．（12分）（2016?衡水校级模拟）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，且椭圆过

点（0，），（，﹣

），且A是椭圆上位于第一象限的点，且△AF1F2的面积S

=．

（1）求点A的坐标；

（2）过点B（3，0）的直线l与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与x轴相交于M，N两点，点C（，0），则

?

是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由．

【分析】（1）由题意可得：

，解出椭圆E的方程．由△AF1F2的面积

，可

得

，解得yA，代入椭圆方程可得xA．

（2）法一：设直线l的方程为x=my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线AP的方程为

，

可得．同理可得．联立，可得（2+m）

2

y+6my+3=0．把根与系数的关系代入|CM|?|CN|，即

2

?，即可得出定值．

法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，0），N（x4，0），直线l，AP，AQ的斜率分别为k，k1，k2，由

，得（1+2k）x﹣12kx+18k﹣6=0，可得k1+k2=﹣2．由y﹣1=k1（x﹣2），令y=0，得，即

定值．

【解答】解：（1）∵椭圆

．

，同理可得：

，代入|CM|?|CN|，即

?

，即可得出

2

2

2

2

∴，解得．

∴椭圆E的方程为∵△AF1F2的面积∴

，

． ，

∴yA=1，代入椭圆方程

．

∵xA＞0，∴xA=2，∴A（2，1）．

（2）法一：设直线l的方程为x=my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2）． 直线AP的方程为

，

可得，即．

直线AQ的方程为，

可得，即．

联立

2

2

，消去x，整理，

得（2+m）y+6my+3=0．

222

由△=36m﹣12（2+m）＞0，可得m＞1． ∴

，

∴|CM|?|CN|为定值，且．

即?=．

法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，0），N（x4，0），直线l，AP，AQ的斜率分别为k，k1，k2， 由

，得（1+2k）x﹣12kx+18k﹣6=0，△=144k﹣4（1+2k）（18k﹣6）＞0，可得k＜1，

2

2

2

2

4

2

2

2

，

由y﹣1=k1（x﹣2），令y=0，得即同理得即

， ， ，则

，

∴|CM|?|CN|为定值，该定值为． 即

?

=．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线斜率计算公式、数量积运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．（12分）（2016?邯郸二模）已知函数f（x）=（ax+bx+a﹣b）e﹣（x﹣1）（x+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O． （1）求实数a，b的值；

（2）若f（x）?（x+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即可得到a，b的值； （2）由题意可得（x﹣1）[e﹣（x+2x+2）]?（x+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=e﹣（x+2x+2），求出导数和单调区间，可得（x﹣1）（x+mx﹣n）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x+mx﹣n=0的两根，即可得到m，n的值，进而得到m+n的值．

【解答】解：（1）函数f（x）=（ax+bx+a﹣b）e﹣（x﹣1）（x+2x+2）的导数为 f′（x）=e（2ax+ax+bx+a）﹣（3x+2x），

由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0， 即有a=0，b=1；

（2）f（x）?（x+mx﹣n）≥0恒成立，即为

[（x﹣1）e﹣（x﹣1）（x+2x+2）]?（x+mx﹣n）≥0， 即有（x﹣1）[e﹣（x+2x+2）]?（x+mx﹣n）≥0，（*） 由g（x）=e﹣（x+2x+2）的导数为g′（x）=e﹣x﹣1， 设h（x）=e﹣x﹣1，h′（x）=e﹣1，

当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0， 即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，

可得g（x）≥g（0）=0，即e﹣（x+2x+2）≥0；

当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0， 即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，

可得g（x）≤g（0）=0，即e﹣（x+2x+2）≤0．

由（*）恒成立，可得x≥0时，（x﹣1）（x+mx﹣n）≥0恒成立，

2

且x≤0时，（x﹣1）（x+mx﹣n）≤0恒成立，

即有0，1为二次方程x+mx﹣n=0的两根， 可得n=0，m=﹣1， 则m+n=﹣1．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）（2016?合肥二模）如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD

2

2

x

2

x

2

x

x

x

2

x

x

2

2

x

2

2

2

x

2

22

x

2

2

2

x

2

2

x

2

2

2

x

2

（1）求证：∠ACB=∠ACD；

（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．

【分析】（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明：∠ACB=∠ACD； （2）由切割线定理及△AMB～△ABC，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵PA为切线，∴∠PAB=∠ACB． ∵PA∥BD，∴∠PAB=∠ABD=∠ACD， ∴∠ACB=∠ACD…（5分）

（2）解：已知PA=3，PC=6，AM=1，由切割线定理PA=PB?PC 得：

∵PA∥BD，得

又知△AMB～△ABC，所以

2

2

，

所以AB=AM?AC=4，所以AB=2…（10分）

【点评】本题考查弦切角定理及平行线的性质，考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2016?衡水校级四模）在直角坐标系xOy中，已知点P（1，﹣2），直线l：

2

（t为参数），

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．

（1）求直线l和曲线C的普通方程； （2）求|PA|+|PB|．

【分析】（1）由代入消元法，可得直线的普通方程；运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的普通方程； （2）求得直线l的标准参数方程，代入曲线C的普通方程，可得二次方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求和． 【解答】解：（1）直线l：

（t为参数），

消去t，可得直线l的普通方程为x﹣y﹣3=0； 曲线C的极坐标方程为ρsinθ=2cosθ， 即为ρsinθ=2ρcosθ，

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得 曲线C的普通方程为y=2x；

2

2

2

2

（2）直线l的标准参数方程为

2

（m为参数），

代入曲线C：y=2x，

2

可得m﹣6m+4=0，即有m1+m2=6

，m1m2=4，

则|PA|+|PB|=|m1|+|m2|=m1+m2=6．

【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意运用联立方程和韦达定理，以及参数的几何意义，考查运算能力，属于基础题．

[选修4-5：不等式选讲] 24．（2016?衡水校级模拟）已知函数f（x）=2x﹣1﹣a，g（x）=﹣2x+m，a，m∈R，若关于x的不等式g（x）≥﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣2． （1）求整数m的值；

（2）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的上方，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由g（x）≥﹣1，即﹣|2x+m|≥﹣1，|2x+m|≤1，得可得到所求整数m的值；

（2）由题意可得2|x﹣1|﹣a＞﹣|x+2|，即为a＜2|x﹣1|+|x+2|的最小值，由绝对值的含义和一次函数的单调性，即可得到最小值，进而得到a的范围．

【解答】解：（1）由g（x）≥﹣1，即﹣|2x+m|≥﹣1，|2x+m|≤1， 得

．

，解不等式即

因为不等式的整数解为﹣2， 所以

，解得3≤m≤5．

又不等式仅有一个整数解﹣2，所以m=4…（4分） （2）函数y=f（x）的图象恒在函数

所以a＜2|x﹣1|+|x+2|对任意x∈R恒成立． 设h（x）=2|x﹣1|+|x+2|，

的上方，故

．

则

则h（x）在区间（﹣∞，1）上是减函数， 在区间（1，+∞）上是增函数，

所以当x=1时，h（x）取得最小值3，

故a＜3，所以实数a的取值范围是（﹣∞，3）．

（或者因为h（x）=2|x﹣1|+|x+2|=|x﹣1|+|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1|+3≥3，故a＜3．）…（10分）

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和绝对值的含义，以及一次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．

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