中考数学复习第课时矩形菱形正方形测试0

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第五单元 四边形

第二十三课时 矩形、菱形、正方形

基础达标训练

1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是( ) A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等

D. 既是轴对称图形又是中心对称图形

2. (2017上海)已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( ) A. ∠BAC＝∠DCA B. ∠BAC＝∠DAC C. ∠BAC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠ADB

3. (2017河南)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有( )

第3题图 A. AC⊥BD B. AB＝BC C. AC＝BD D. ∠1＝∠2

4. (2017广安)下列说法： ①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

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③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5. (2017兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则

OC＝( )

A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3

第5题图 第6题图

6. 如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个判断中，不正确的是( ) A. 四边形AEDF是平行四边形

B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D. 如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

7. (2017淮安)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝ECA，则AC的长是( ) A. 33 B. 6 C. 4 D. 5

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第7题图 第8题图

8. (2017泸州)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是( )

2112

B. C. D. 4433

A.

9. 关注教学文化(2017丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示，在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．

第9题图

10. (2017徐州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝________．

第10题图 第11题图

11. (2017十堰)如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝________．

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第12题图

12. (2017怀化)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为________cm.

第13题图

13. (6分)(2017岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，___________．求证：________________________________________________________________.

14. (8分)(2017邵阳)如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.

(1)求证：平行四边形ABCD是矩形； (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

第14题图

15. (8分)(2017盐城)如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、

BC于点E、F.

(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；

(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．

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第15题图

16. (8分)(2017南雅中学第七次阶段检测)如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F. (1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长．

第16题图

17. (8分)(2017鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.

(1)求证：△AFE≌△CDE；

(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．

第17题图 能力提升训练

1. (2017芙蓉区二十九中模拟)如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x＋y＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是( )

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2

2

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A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

第1题图

1

2. (2017安徽)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P3到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( ) A. 29 B. 34 C. 52 D. 41

第2题图 第3题图

3. (2017青竹湖湘一二模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A3恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；

2④AG＋DF＝FG.其中正确的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. (2017江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为________．

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5. (2017绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为

B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为________m.

第5题图

6. (9分)(2017广州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.

(1)求证：四边形OCED是菱形； (2)连接AE，若AB＝6 cm，BC＝5 cm. ①求sin∠EAD的值；

②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP.一动点Q从点O出发，以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5 cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动．当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

第6题图 拓展培优训练

1. (2016长郡教育集团第二届澄池杯)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC眼皮蹦跳跳专业文档

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的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝( ) 3434A. B. C. D. 4355

第1题图 第2题图

2. (2016长郡教育集团第二届澄池杯)如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°<θ<90°)，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的有( )

(1)EF＝2OE；(2) S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝2OA；(4)OG·BD＝AE＋CF. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

特殊四边形的相关证明与计算巩固集训

1. (8分)(2017广东省卷)如图所示，已知四边形ABCD、ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角． (1)求证：AD⊥BF；

(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．

22

第1题图

2. (8分)(2017麓山国际实验学校二模)如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为

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点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC. (1)求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)若DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．

第2题图

3. (8分)(2017南雅中学二模)在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边

CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.

第3题图

4. (8分)(2017襄阳)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交

AE于点D，连接CD.

(1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．

第4题图

5. (8分)(2017青竹湖湘一三模)已知，正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于点H.

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(1)求证：△ADF≌△ABE；

(2)若BC＝3BE，BE＝1，求tan∠AED的值．

第5题图

6. (8分)(2017长沙中考模拟卷三)如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B、C、E三点在同一直线上，连接BF，交CD于点G. (1)求证：CG＝CE；

(2)若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．

第6题图

7. (9分)(2017长沙中考模拟卷六)如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，BD与AE、AF分别相交于点G、H. (1)求证：△ABE∽△ADF；

(2)若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形；

(3)在(2)的条件下，将△ADF绕A点顺时针旋转，若△ADF恰好与△ACE重合，求旋转角n(0°＜n＜360°)．

第7题图

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8. (9分)(2017兰州)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F. (1)求证：△BDF是等腰三角形；

(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．

第8题图

答案 1. C 2. C 3. C 4. C

5. B 【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝8，∵矩11

形对角线相等且互相平分，∴OC＝AC＝BD＝4.

22

6. D 【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确；∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故B选项正确；∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAF，又∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠DAF＝∠EAD，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故C选项正确；如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．

7. B 【解析】由折叠可知，∠BAE＝∠EAC，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝2∠BCA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴3∠ACB＝90°，∴∠ACB＝30°，∵AB＝3，∴AC＝2AB＝6.

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8. A 【解析】∵AD∥BC，BE＝CE，又∵四边形ABCD是矩形，∴△BEF∽△DAF，∴BE∶AD＝BF∶FD＝EF∶AF＝1∶2，设EF＝x，则AF＝2x，∵△BEF∽△AEB，∴BE∶AE＝EF∶BE，∴BE＝EF·AE＝3x，∴BE＝3x，∴AB＝AE－BE＝6x，∴AB＝6x，∵AB·BE＝AE·BF，∴BF＝2x，在Rt△BDC中，BD＝DC＋BC＝32x，∴DF＝22x，在Rt△DFE中，tan∠BDE22222222＝＝EFx2

＝. DF22x4

9. 10 【解析】如题图②，由赵爽弦图可知，△GHI≌△HEJ≌△EFK≌△FGL，∴GL＝HI＝EJ＝FK，FL＝GI＝HJ＝EK，设HI＝m，∵IJ∥AB，∴ HJ＋FK＝AB，即m＋2＋m＝14，解得m＝6，在Rt△GHI中，HI＝6，GI＝6＋2＝8，GH＝6＋8＝10，即正方形EFGH的边长为10.

10. 17 【解析】∵AC＝4＋3＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2，又∵AD＝AQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∵∠CQP＝∠AQD，∴∠ADQ＝∠CQP，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CP＝CQ＝2，∴BP＝3－2＝1，∴AP＝AB＋BP＝4＋1＝17.

1

11. 20° 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∵∠ABC＝

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

140°，∴∠CBD ＝∠ABC ＝70°，∵DE⊥BC，∴∠BDE＝20°，OE＝BD＝OD，∴∠OED22＝∠BDE＝20°.

12. 103－10 【解析】∵△PBC是等腰三角形，∴有以下三种情况：(1)当以点P为顶点时，则点P在线段BC的垂直平分线上，如解图①所示，此时最小值是10；(2)以点B为顶点时，则点P的轨迹是在以点B为圆心，BC长为半径的圆周上，由解图②易知，P，A两点间最短距离是与点A重合，又∵点P不与点A重合，故舍去；(3)以点C为顶点时，则点P的轨迹是在以点C为圆心，BC长为半径的圆周上，由解图③易知，线段AF的长即为最短距离，在Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝180°－120°＝60°，AE＝AB·sin60°＝53，在Rt△AEC中，AE＝53，∠ACE＝30°，∴AC＝2AE＝103，∴AF＝AC－CF＝103－10，

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即P，A两点间的最短距离为(103－10) cm.

第12题解图 13. 已知：AC⊥BD； 求证：?ABCD是菱形． 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD＝90°，

又∵在?ABCD中，AO＝AO，BO＝DO， ∴△AOB≌△AOD， ∴AB＝AD， 同理BC＝CD，

∵在?ABCD中，AD＝BC， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形．

14. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠OCB， ∠ADO＝∠OBC， 又∵∠OBC＝∠OCB， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴OB＝OC，OA＝OD，

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∴OB＋OD＝OA＋OC，即AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形；

(2)解：使矩形ABCD为正方形的条件为：AB＝AD.(答案不唯一) 15. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB，

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， 11

∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB，

22∴∠EBD＝∠FDB， ∴DF∥EB， 又∵AD∥BC， ∴ED∥BF，

∴四边形BEDF是平形四边形；

(2)解：当∠ABE＝30° 时，四边形BEDF是菱形．理由如下： ∵BE平分∠ABD，

∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，

∴∠EDB＝∠EBD＝30°， ∴EB＝ED，

又∵四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形．

16. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAF＋∠BAE＝90°，AB＝AD，

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∵∠AFD＝90°， ∴∠DAF＋∠ADF＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， 在△ABE和△DAF中 ∠AEB＝∠AFD＝90°??

， ?∠BAE＝∠ADF

??AB＝DA

∴△ABE≌△DAF(AAS)；

(2)解：在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AGB＝30°，

在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝6， ∴AF＝33，DF＝3， 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝3，

∴EF＝AF－AE＝33－3.

17. (1)证明：∵△AFC是由△ABC折叠得到的， ∴AF＝AB，∠F＝∠B， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°， ∴AF＝CD，∠F＝∠D， ∵∠FEA＝∠DEC， ∴△AFE≌△CDE(AAS)； (2)解：由(1)知△AFE≌△CDE， ∴AE＝CE，

∴DE＝AD－AE＝8－CE，

在Rt△DCE中，由勾股定理得CE＝DE＋CD，

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222

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∴CE＝(8－CE)＋4，解得CE＝5，

11

∴S△ACE＝AE·CD＝×5×4＝10，即图中阴影部分面积为10.

22能力提升训练

1. B 【解析】由勾股定理得x＋y＝大正方形边长的平方，即大正方形的面积49，故①正确；小正方形的面积为4，∴边长为2，即x－y＝2，故②正确；四个直角三角形的面积1

再加上中间正方形的面积4等于大正方形的面积49，即xy×4＋4＝2xy＋4＝49，故③正

2确；(x＋y)＝x＋y＋2xy，由③可知2xy＝45，∴x＋y＋2xy＝49＋45＝94，∴x＋y≠9，故④错误．

111

2. D 【解析】如解图，设△PAB底边AB上的高为h，∵S△PAB＝S矩形ABCD，得AB·h＝AB·AD，

323∴h＝2为定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于点F，故点P在直线EF上 ，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，交直线EF于点P，此时PA＋PB最小，且PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝4＋5＝41.

222

2

2

2

2

2

222

2

第2题解图

3. C 【解析】∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1＝∠2，CE＝FE，

BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF＝102－62＝8，∴DF＝AD－AF＝10

－8＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD－CE＝6－x，在Rt△DEF中，∵DE＋DF＝EF，∴(6108222

－x)＋2＝x，解得x＝，∴ED＝，∵△ABG沿BG折叠，恰落在线段BF上的点H处，

33

222眼皮蹦跳跳专业文档

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1

∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠EBG＝∠2＋∠3＝∠ABC＝45°，∴①正确；HF＝

2

BF－BH＝10－6＝4，设AG＝y，则GH＝y，GF＝8－y，在Rt△HGF中，∵GH2＋HF2＝GF2，∴y2AB9AG3ABAG22

＋4＝(8－y)，解得y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5，∵∠A＝∠D，＝，＝，∴≠，DE4DF2DEDF111

∴△ABG与△DEF不相似，∴②错误；∵S△ABG＝×6×3＝9，S△FGH＝·GH·HF＝×3×4＝

222

3

6，∴S△ABG＝S△FGH，∴③正确；∵AG＋DF＝3＋2＝5，而GF＝5，∴AG＋DF＝GF，∴④正确，

2∴①③④正确．

第3题解图

4. (7，3)或(15，1)或(23，－2) 【解析】由折叠性质可知，OA＝OA′＝4，假设点A′坐标为(x，y)则有x2＋y2＝42＝16，点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，可分

为两种情况：①A′至AC的距离为A′至OB距离的3倍，可得y1＝1，y2＝－2，代入x＋

2

y2＝16得，x1＝±15，x2＝±23，又∵A′处于y轴右侧，∴A′为(15，1)或(23，

－2)；②A′至OB的距离为A′至AC的距离的3倍，可得y3＝3，代入x＋y＝16得x3＝±7，又∵A′处于y轴右侧，∴A′为(7，3)，综上所述，A′为(7，3)或(15，1)或(23，－2)．

2

2

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第5题解图

5. 4600 【解析】由题意得，BA＋AG＋GE＝3100 m，∵AB＝1500 m，∴AG＋GE＝3100－1500＝1600 m，∵BD为对角线，∠DBC＝45°，而GE⊥DC，∴∠DGE＝45°，△DEG为等腰直角三角形，∴DE＝GE，如解图，过点G作GH⊥AB，易证△AGH≌△EFC，∴AG＝EF，∴AB＋AD＋DE＋EF＝AB＋AD＋(GE＋AG)＝3000＋1600＝4600 m. 6. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，且AC、BD互相平分， ∴DO＝CO，

∵已知△COD与△CED关于CD对称， ∴△COD≌△CED， ∴CO＝CE，DO＝DE， ∴CE ＝CO＝DO＝DE， ∴四边形OCED是菱形；

(2)解：①如解图①，连接EO交CD于点F，延长EO交AB于点H， ∵四边形OCED是菱形， ∴EO⊥CD，且EO、CD互相平分， ∴EF＝FO，DF＝FC＝3，

15∴FO∥BC，即EH∥BC，且EF＝FO＝BC＝，

22又∵FO∥BC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°， ∴四边形FHBC是矩形，

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∴FH＝BC＝5，HB＝FC＝3，

35

∴AH＝AB－HB＝3，EH＝EF＋FH＝，

2∵AB∥CD，EH⊥CD， ∴EH⊥AB，

3528192222

∴AE＝AH＋EH＝3＋()＝，解得AE＝，

242

AH32

∴sin∠AEH＝＝＝，

AE93

2

2

∴sin∠DAE＝sin∠AEH＝；

3

第6题解图①

第6题解图②

②如解图②，在AE上取点P，过点P作PM⊥AD于点M，

∴t＝＋

OPAP2

＝OP＋AP，

11.53

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MP2

∵sin∠DAE＝＝，

AP3

2

∴MP＝AP，

3

2

∴t＝OP＋AP＝OP＋PM，

3

当点O、P、M共线时，t＝OP＋PM＝OM取得最小值， ∴OM⊥AD，

∵在矩形ABCD中，AB⊥AD，BO＝DO， ∴OM∥AB，且点O为BD的中点， ∴OM为△ABD的中位线， 1

∴t＝OM＝AB＝3，

2∵OM∥AB，

∴Rt△EHA∽Rt△EOP，

PEEO2∴＝＝， AEEH3

2

∴PE＝AE＝3，

3

3

∴AP＝AE－EP＝，

2

3

故AP的长为 cm，点Q走完全程需要3 s.

2拓展培优训练

1. D 【解析】过E作EH⊥CF于点H，由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，∵点E眼皮蹦跳跳专业文档

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是BC的中点，∴CE＝BE，∴EF＝CE，∴∠FEH＝∠CEH，∴∠AEB＋∠CEH＝90°，∵在矩形

ABABCD中，∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，∴△ABE∽△EHC，∴＝

EHAE24EH422，∵AE＝AB＋BE＝10，∴EH＝，∴sin∠ECF＝＝. CE5CE5

第1题解图

2. D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＋∠BOE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE∠BOE＝∠COF??

和△COF中，?OB＝OC，∴△BOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴EF??∠OBE＝∠OCF1

＝2OE，故(1)正确；∵S四边形OEBF＝S△BOF＋S△BOE＝S△BOF＋S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，∴S四边形OEBF∶S4

＝1∶4，故(2)正确；∵BE＝CF，∴BE＋BF＝BF＋CF＝BC＝2OA，故(3)正确；∵∠EOG2正方形ABCD

＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE∶OB＝OG∶OE，∴OG·OB＝OE，122222222∵OB＝BD，OE＝EF，∴OG·BD＝EF，∵在△BEF中，EF＝BE＋BF，∴EF＝AE＋CF，

22∴OG·BD＝AE＋CF，故(4)正确．

特殊四边形的相关证明与计算巩固集训

1. (1)证明：∵四边形ABCD、四边形ADEF都是菱形， ∴AB＝AD＝AF，

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∴△ABF是等腰三角形， 又∵∠BAD＝∠FAD， ∴AD⊥BF；

(2)解：由(1)知AB＝AD＝AF， 又∵AB＝BC，BF＝BC， ∴AB＝AF＝BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠BAF＝60°， 又∵∠BAD＝∠FAD， ∴∠BAD＝30°， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC＋∠BAD＝180°， ∴∠ADC＝180°－∠BAD＝150°. 2. (1)证明：∵∠ADE＝∠BAD， ∴AB∥DE， ∵AE⊥AC，BD⊥AC， ∴AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形； (2)解：∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠BDA， ∵∠ADE＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴BD＝AB＝5，

设BF＝x，则DF＝5－x， ∴AD－DF＝AB－BF，

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2222眼皮蹦跳跳专业文档

∴6－(5－x)＝5－x， 7

解得x＝，

5

2222

2422∴AF＝AB－BF＝，

5∵BD平分AC， 48

∴AC＝2AF＝.

5

3. 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB，即DF∥BE， 又∵DF＝BE，

∴四边形BFDE为平行四边形， 又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE为矩形；

(2)由(1)知平行四边形BFDE为矩形， ∴∠BFC＝90°，

∵在△BFC中，CF＝3，BF＝4，根据勾股定理得，

BC＝CF2＋BF2＝32＋42＝5，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5， ∴AD＝DF＝5， ∴∠DAF＝∠DFA， ∵DC∥AB， ∴∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠FAB，

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即AF平分∠DAB. 4. (1)证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， 同理可证AB＝BC， ∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6， 1

∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，

2

∴在Rt△AOD中，cos∠ADB＝cos30°＝＝ODAD3， 2

∴AD＝3×

23

＝23.

5. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF＝∠ABE＝90°，AD＝AB， 在△ADF和△ABE中， AD＝AB??

?∠ADF＝∠ABE， ??DF＝BE

∴△ADF≌△ABE(SAS)；

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(2)解：如解图，过点E作EG⊥AD，交DA的延长线于点G，

第5题解图

∵∠AGE＝∠GAB＝∠ABE＝90°， ∴四边形ABEG是矩形，GE＝AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝GE＝BC＝CD＝AD＝3BE， 又∵BE＝1， ∴CE＝BC＋BE＝4，

在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝BE＋AB＝10， 在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝CE＋CD＝5，

2222119

∴S△ADE＝AD·GE＝×3×3＝，

222

1

又∵S△ADE＝AH·DE，

2

2S△ADE9∴AH＝＝，

DE5

1322在Rt△AEH中，由勾股定理得EH＝AE－AH＝，

5

∴tan∠AED＝＝AH9

. EH13

6. (1)证明：连接DE交BF于点O，则DE⊥BF，

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第6题解图

∵∠ODG＋∠OGD＝90°，

∠CBG＋∠CGB＝90°，∠CGB＝∠OGD ∴∠CDE＝∠CBG，

又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCE， ∴△BCG≌△DCE(ASA)， ∴CG＝CE；

(2)解：∵正方形边长BC＝4， ∴BD＝2BC＝42，DC＝BC＝4， 菱形BDFE的面积为S＝42×4＝162， ∴菱形BDFE的面积为162.

7. (1)证明：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE＝∠ADF， ∴△ABE∽△ADF； (2)证明：∵AG＝AH， ∴∠AGH＝∠AHG， ∴∠AGB＝∠AHD， ∵△ABE∽△ADF， ∴∠BAG＝∠DAH，

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∴△BAG≌△DAH(ASA)， ∴AB＝AD，

∵四边形ABCD是平行四边形且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； (3)解：∵△ADF恰好与△ACE重合， ∴AD＝AC，∠FAE即为所求角， 又∵由(2)可得，AD＝DC＝BC＝AB＝AC， ∴△ADC和△ACB均为等边三角形，

∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°， 又∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°，

∴∠FAE＝120°－30°－30°＝60°，即n＝60°. 8. (1)证明：由折叠的性质可得，∠DBC＝∠DBF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠DBF＝∠ADB， ∴BF＝DF，

∴△BDF是等腰三角形； (2)解：①四边形BFDG是菱形． 理由如下：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，即DF∥BG， ∵DG∥BF，

∴四边形BFDG是平行四边形， 由(1)得BF＝DF

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∴平行四边形BFDG是菱形；

②∵矩形ABCD中AB＝6，AD＝8，∠A＝90°， ∴BD＝AB＋AD＝10， ∵四边形BFDG是菱形， ∴BD⊥GF，GF＝2OF，BD＝2OD， ∴OD＝5，

22∴tan∠ADB＝＝OFAB3

＝，

ODAD4

15∴OF＝，

4

15∴FG＝.

2

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