最优捕鱼计划

最优捕鱼策略

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种鱼的最优捕捞策略：

假设这种鱼分4 个年龄组，称1龄鱼，…,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量(单位:g)分别为5.07,11.55,17.86,22.99,各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109?10个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2 龄鱼和1龄鱼不产卵, 产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量比n 之比）为1.22?1011/1.22?1011?n渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼，其两 个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.

(1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).

(2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量（单位：条）分别为：

5??122?109，29.7?109，10.1?109，3.29?109 如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取

怎样的策略才能使总收获量最高。

摘要

本文讨论了渔业资源开发项目中在实现可持续收获的前提下对某种鱼的最优捕捞策略。 一、

问题简要分析

对于问题一，要实现可持续捕捞，即每年开始捕捞时渔场的各年龄鱼群条数不变。因此我们算出了各个龄鱼的随时间变化的趋势，得出各龄鱼组的数量。因为捕鱼在1到8月期间，所以把一年的时间分为了捕鱼期和产卵期。目标函数对捕鱼期进行积分，捕鱼对象是3龄鱼和4龄鱼，而1,2龄鱼不会被捕，加上对捕鱼强度。根据这些关系就可列出目标函数。再用Ｌｏｎｇｏ进行求解，得出结论。

对于问题二：合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，又要使总收益最高，这就有可能发生满足了前者满足不了后者之类的情况。我们处理方法就是利用问题一的结论，先求出5年的总捕捞量最大，然后再看鱼群是否遭受严重破坏。因为2,3,4龄鱼在之后会有很大变动，所以对比1龄鱼的效果最佳。

二、问题假设::

1、虽然鱼群本身是离散的，但是突然增加或减少的只是少数个体，与整体相比很微小。因此我们可以近似假设大规模鱼随时间是连续变化的。

2、持续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期变化，周期为1年，因此可以只考虑鱼群数量在1 年内的变化情况。

3、不考虑环境的影响，各年龄组的平均死亡率均为0.8(1/年). 4、捕捞和自然死亡是一个连续的过程，不会在某一时刻突然发生。 三、 参数说明

t : 时间，t?[0,1] i : 年数，i?[0,5] d : 平均自然死亡率

j : j龄鱼，j = 1,2,3,4

xj(t) : t时刻j龄鱼的数量

? ： 3龄鱼和4龄鱼产卵的存活率

c : 3龄鱼和4龄鱼的年平均产卵量 k : 年平均捕捞率

sj(t) : t时刻捕捞j类鱼的重量，j = 3或4

cj(t) : t时刻3鱼龄或4龄鱼的产卵量 ，j = 3,4 ,t?[0,2/3]

?t : 时间的一小段变化

n : 年产卵总量

nj(t) : t时刻3鱼龄或4龄鱼的年产卵总量

四、

问题分析 １、对于时间的理解：

先假设是一年的捕捞，１到８月是捕捞期，８月到１

２月是产卵期。因为目标函数是对１到８月的积分，所以把１２个月分为两段。如下图：

２／３ ０

就把1到8月的积分简化为0到2/3 2、对死亡率d的理解：：

我们定义平均死亡率d是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的正比例系数。由假设可知，它是一个与环境等其它因素无关的常数。由于鱼群的数量是连续变化的，而1、2龄鱼全年以上及3、4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关，与其它因素无关。设鱼群量

１

为x，则在时间[t,t+?t]内，鱼群数量的减少=鱼群的死亡数量，即

x(t+?t)-x（t） = -dx(t) ?t

x(t??t)??dx(t) ?t即

dx(t)??dx(t) dt对于各龄鱼的都适用 即：

dxj(t)dt??dxj(t),j?1,2,3,4,

解出：

x1??*nx2??*n*e?d

3、对于捕捞强度系数k的理解

题目告诉我们，捕捞强度系数k一定，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3、4 龄鱼，因此 只会影响3、4龄鱼群数量，而不会影响其它的鱼群的数量。我们可以看到3、4龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k有关，而且还与死亡率d有关，类似第1点的分析，可以得到

dx3(t)??(d?0.42k)x3(t) t?[0,2/3] dtdx4(t)??(d?k)x4(t) t?[0,2/3] dt解出：

x3??*n*e?2dx4??*n*e2?(*0.42k?3d)32?(k?d)3

1?e4、成活率?的应用

已知3龄鱼和4龄鱼的年平均产卵量，因此可以把某一年的总产卵量表示出来，如下：

nj?cx3?c*x4 j = 3, 4 2又已知成活率：

1.22*1011??

1.22*1011?n产卵量*成活率=1龄鱼每年年初的数量，即：

x1(0)??*n j = 3 ,4;

由此解出：n?0.5cx3e2?(0.42k?d)3?cx4e2?(k?d)3

5、对最高收获量的描述

在t时刻捕捞的重量=t时刻捕捞3龄鱼的重量+t时刻捕捞4龄鱼的重量、 即：s(t)?17.86*x3(t)*0.42k?22.99*x4*k

由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞收获量即年收获量可以用t时刻的捕捞重量s(t)关于t在捕捞期内的积分来表示：

s??s(t)dt

问题已即是要求s的最大值。 五、

模型建立

230230 问题一：假设4龄鱼年底退出系统，求其捕捞量的最大值 max s?即：maxs?17.86

?s(t)dt

?2300.24k*x3(t)dt?22.99?k*x4(t)dt

230dx1(t)??dx1(t),t?[0,1]dtdx2(t)??dx2(t),t?[0,1]dtdx3(t)2??dx3(t),t?[,1]dt3

dx4(t)2??dx4(t),t?[,1]dt3dx3(t)2??(d?0.42k)x3(t),t?[0,]dt3dx4(t)2??(d?k)x4(t),t?[0,]dt3转化为目标函数：

max?17.86*0.42k*?*n*e?1.6(1?e0.42k?d2(d?0.42k)322.99*)?k*?*n*e(?0.28?2.4)d?k 22(?k?d)?(d?k)(1?e3)(1?e3)用longo 求出当k = 17.36 时 ，s最大为 ：3.887X10?(吨)。（详见附录一）

问题二：

根据渔业公司的５年捕捞计划，我们利用已经得到的方程组，可以求出各龄鱼的第ｉ年的鱼群分布情况，满足以下方程：

22?(0.42k?d)?(k?d)cn(t?1)?*x3(t)*e3?c*x4(t)*e32?*n(t?1)x1(t?1)???n(t?1)x2(t?1)?e?d*x1(t)x3(t?1)?e?dx2(t)x4(t?1)?x3(t)*e52?(0.42k?d)32?(k?d)3

?x4(t)*e同时写出目标函数：

22?(0.42k?d)?(k?d)??0.42kk3s2???x3(t)*17.86*(1?e)?x4(t)*22.99*(1?e3)?

0.42k?dk?dt?1??用matlab解出：当k=17.36时，1,2,3,4,龄鱼分别有：

x1(6)?1.1960*1011|

x2(6)?5.3740*1010x3(6)?2.4147*1010

x4(6)?8.3967*107（详见附录二）

对比第一年的时候的鱼群分布：

x1(1)?122*109x2(1)?29.7*109x3(1)?10.1*109

x4(1)?3.29*109对1龄鱼的变化对比：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/864v.html