2017南京盐城高三一模数学试卷

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试

数学

1、已知集合A???1,0,1?，B?(??,0)，则A?B? ．

2、已知复数z满足z(1?i)?2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 ． 3、已知样本数据x1,x2,x3,x4,x5的方差s?3，则样本数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方 差为 ．

4、如图是一个算法流程图，则输出的x的值是 ．

5、在数字1,2,3,4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．

2?x?0y?6、已知实数x,y满足?x?y?7，则的最小值是 ．

x?x?2?2y?x22?7、设双曲线2?y?1(a?0)的一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为

a ．

8、设数列?an?是等差数列，若a4?a5?a6?21，则S9? ． 9、将函数y?3sin(2x??3)的图象向右平移?(0????2)个单位后，所得函数为偶函数，

高三数学试题第1页（共4页）

则?? ．

10、将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB?3,BC?2，圆柱上底面圆心 为O，?EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O?EFG体积的最大值是 ．

11、在?ABC中，已知AB?3,C??3，则CA?CB的最大值为 ．

12、如图，在平面直角坐标系xOy中，分别在x轴与直线y?3(x?1)上从左向右依次 3取点Ak,Bk,k?1,2,?，其中A1是坐标原点，使?AkBkAk?1都是等边三角形，则

?A10B10A11的边长是 ．

22213、在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y?2lnx的图象与圆M:(x?3)?y?r的公共点，且

它们在点P处有公切线，若二次函数y?f(x)的图象经过点O,P,M，则函数y?f(x)的最大值为 ．

14、在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a?b?2c?8，则?ABC的面积的最大值为 ．

15、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?AC，D,E分别是AB,AC的中点． （1）求证：B1C1//平面A1DE； （2）求证：平面A1DE?平面ACC1A1．

16、在?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且bsin2C?csinB． （1）求角C的值； （2）若sin(B?222?3)?3，求sinA的值． 5高三数学试题第2页（共4页）

x2y2??1 17、在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x?y?b经过椭圆E:4b2222(0?b?2)的焦点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）记直线l:y?kx?m交椭圆E于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(?1,0),N(1,0)， 记直线TM,TN的斜率分别为k1,k2，当2m?2k?1时，求k1?k2的值．

18、如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活 动中心，其中AE?30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截 面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的 采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5 米，其中该太阳光线与水平线的夹角?满足tan??223． 4（1）若设计AB?18米，AD?6米，问能否保证上述采光要求?

（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截 面面积最大？（注：计算中?取3）

19、设函数f(x)?lnx，g(x)?ax?a?1?3(a?R)． xx（1）当a?2时，解关于x的方程g(e)?0（其中e为自然对数的底数）；

（2）求函数?(x)?f(x)?g(x)的单调增区间；

（3）当a?1时，记函数h(x)?f(x)?g(x)，是否存在整数?，使得关于x的不等式

2??h(x)有解？若存在，请求出?的最小值；若不存在，请说明理由．

（参考数据：ln2?0.6931，ln3?1.0986）

20、若存在常数k(k?N,k?2),q,d，使得无穷数列?an?满足an?1?n??a?d,?Nn?k， ??n?qan,?N?k?则称数列?an?为“段比差数列”，其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差．设数列?bn? 为“段比差数列”．

高三数学试题第3页（共4页）

（1）若数列?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1,3,q,3．

①当q?0时，求b2016；

②当q?1时，设数列?bn?的前3n项和为S3n，若不等式S3n???3n?1对n?N恒

?成立，求实数?的取值范围；

（2）设数列?bn?为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的?bn?，并说明理由．

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域

内）

A.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA,PB分别交半圆O于点D,C.若AD?2，

PD?4，PC?3，求BD的长.

B.（选修4-2：矩阵与变换） 设矩阵M??P

C D · O 第21(A)图 A B ?m 2??1??的一个特征值对应的特征向量为???2? ，求m与?的值. 2 ?3????

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）

3?x?t??5(t为参数). 现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:??y?4t?5?极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为??2cos?，直线l与圆C交于A,B两点，求弦AB的长.

D．(选修4-5：不等式选讲）

若实数x,y,z满足x?2y?z?1，求x?y?z的最小值.

222高三数学试题第4页（共4页）

[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）

某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.

（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E(X). 23．（本小题满分10分）

设n?N*，n?3，k?N*. （1）求值：

kk?1 ①kCn?nCn?1；

②kCn?n?n?1?Cn?2?nCn?1（k?2）；

2kk?2k?122202122kn（2）化简：1Cn?2Cn?3Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn.

高三数学试题第5页（共4页）

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

5323 6. 7. 6435?39258. 63 9. 10. 4 11. 12.512 13. 14. 128251. ??1? 2. 1 3. 12 4. 9 5.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写

在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为D,E分别是AB,AC的中点，所以DE//BC， ...............2分

又因为在三棱柱ABC?A1B1C1中，B1C1//BC，所以B1C1//DE. ...............4分

DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE. ...............6分 又B1C1?平面A1DE，

（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1?底面ABC，

又DE?底面ABC，所以CC1?DE. ...............8分 又BC?AC，DE//BC，所以DE?AC， ...............10分 又CC1,AC?平面ACC1A且CC1?AC?C，所以DE?平面ACC1A1. ...............12分 1，又DE?平面A1DE，所以平面A1DE?平面ACC1A1． ...............14分 （注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE?平面ACC1A1，类似给分）

16．解：（1）由bsin2C?csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC?sinCsinB， …………2分

因为sinB?0,sinC?0，所以cosC?又C?(0,?)，所以C?（2）因为C?1， …………4分 2?3. …………6分

2????)，所以B??(?,)，

33333?3??42 又sin(B?)?，所以cos(B?)?1?sin(B?)?. …………8分

353352?2??B， 又A?B?，即A?332????????B)?sin(?(B?))?sincos(B?)?cossin(B?) ………12分 所以sinA?sin(3333333341343?3?????. …………14分 25251017．解：（1）因0?b?2，所以椭圆E的焦点在x轴上，

222又圆O:x?y?b经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c?b， ……………3分

?，所以B?(0,x2y2??1. ……………6分 所以2b?4，即b?2，所以椭圆E的方程为42（2）方法一：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(x0,y0)，

22?x2y2?1??222联立?4，消去y，得(1?2k)x?4kmx?2m?4?0， 2?y?kx?m?高三数学答案 第 6 页 共 12 页

4km2k22??，又，所以， 2m?2k?1x?x121?2k2mkk1所以x0??，y0?m?k??， ……………10分

mm2m11111则k1?k2?2m?2m?. ……………14分 ???2222kk?2(2m?2k)2??1??14k?4mmm?x12y12??1??42方法二：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(x0,y0)， 则?， 22?x2?y2?1??42?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0，

两式作差，得

42x0?x1?x2?xy?y?y??y0?y1?y2??0，∴0?012?0， 又x1?x2?2x0，y1?y2?2y0，∴

22x1?x2y?y2又P(x1,y1)，Q(x2,y2)在直线y?kx?m上，∴1?k，∴x0?2ky0?0，①

x1?x2又T(x0,y0)在直线y?kx?m上，∴y0?kx0?m，②

2kmmy?由①②可得x0??，. ……………10分 01?2k21?2k2所以x1?x2??以下同方法一.

18．解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

y （1）因为AB?18，AD?6，所以半圆的圆心为H(9,6)， 半径r?9．设太阳光线所在直线方程为y??即3x?4y?4b?0， ...............2分 则由3x?b， 4D ←南 |27?24?4b|32?42?9，

· H C 3解得b?24或b?（舍）.

2? A B 第17题 G E x 3故太阳光线所在直线方程为y??x?24， ...............5分

4令x?30，得EG?1.5米?2.5米.

所以此时能保证上述采光要求. ...............7分 （2）设AD?h米，AB?2r米，则半圆的圆心为H(r,h)，半径为r． 方法一：设太阳光线所在直线方程为y??3x?b， 4|3r?4h?4b|即3x?4y?4b?0，由?r，

223?4解得b?h?2r或b?h?2r（舍）. ...............9分

3故太阳光线所在直线方程为y??x?h?2r，

4高三数学答案 第 7 页 共 12 页

455，由EG?，得h?25?2r. ...............11分 22123232所以S?2rh??r?2rh??r?2r(25?2r)??r

22255??r2?50r??(r?10)2?250?250.

22当且仅当r?10时取等号.

所以当AB?20米且AD?5米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分 方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，

令x?30，得EG?2r?h?53

设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－＝－(x－30)，

24

即3x?4y?100?0． ...............10分 由直线l1与半圆H相切，得r?|3r?4h?100|．

5而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，

3r?4h?100，从而h?25?2r． ...............13分

512325252又S?2rh??r?2r(25?2r)??r??r?50r??(r?10)?250?250.

2222当且仅当r?10时取等号.

所以当AB?20米且AD?5米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分

1x19．解：（1）当a?2时，方程g(ex)?0即为2e?x?3?0，去分母，得

e12(ex)2?3ex?1?0，解得ex?1或ex?， ……………2分

2故所求方程的根为x?0或x??ln2. ……………4分

a?1?3(x?0)， （2）因为?(x)?f(x)?g(x)?lnx?ax?x1a?1ax2?x?(a?1)(ax?(a?1))(x?1)?所以??(x)??a?2?（x?0）， ……………6分

xxx2x2①当a?0时，由??(x)?0，解得x?0；

a?1②当a?1时，由??(x)?0，解得x?；

a③当0?a?1时，由??(x)?0，解得x?0； ④当a?1时，由??(x)?0，解得x?0；

a?1⑤当a?0时，由??(x)?0，解得0?x?.

aa?1)； 综上所述，当a?0时，?(x)的增区间为(0,a当0?a?1时，?(x)的增区间为(0,??)；

a?1a?1时，?(x)的增区间为(,??). .……………10分

a（3）方法一：当a?1时，g(x)?x?3，h(x)?(x?3)lnx，

3333所以h?(x)?lnx?1?单调递增，h?()?ln?1?2?0，h?(2)?ln2?1??0，

x222即r??高三数学答案 第 8 页 共 12 页

33?0， .……………12分

2x0当x?(0,x0)时，h?(x)?0，当x?(x0,??)时，h?(x)?0，

所以存在唯一x0?(,2)，使得h?(x0)?0，即lnx0?1?(x0?3)239所以hmin(x)?h(x0)?(x0?3)lnx0?(x0?3)(?1)???6?(x0?)，

x0x0x093记函数r(x)?6?(x?)，则r(x)在(,2)上单调递增， .……………14分

x2331所以r()?h(x0)?r(2)，即h(x0)?(?,?)，

2223由2???，且?为整数，得??0，

2所以不等式2??h(x)有解时的?的最小整数为0. .……………16分 方法二：当a?1时，g(x)?x?3，所以h(x)?(x?3)lnx，

由h(1)?0得，当??0时，不等式2??h(x)有解， .……………12分 下证：当???1时，h(x)?2?恒成立，即证(x?3)lnx??2恒成立. 显然当x?(0,1]?[3,??)时，不等式恒成立， 只需证明当x?(1,3)时，(x?3)lnx??2恒成立.

22?0.令m(x)?lnx?即证明lnx?， x?3x?312x2?8x?9所以m?(x)??，由m?(x)?0，得x?4?7， .……………14分 ?22x(x?3)x(x?3)当x?(1,4?7)，m?(x)?0；当x?(4?7,3)，m?(x)?0；

所以mmax(x)?m(4?7)?ln(4?7)?所以当???1时，h(x)?2?恒成立.

7?12?1?ln(4?2)??ln2?1?0. 33综上所述，不等式2??h(x)有解时的?的最小整数为0. .……………16分20．（1）①方法一：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3， 方法二：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

∴当n?4时，?bn?是周期为3的周期数列.

?b2014?0?b2013?0，?b2015?b2014?3?3，?b2016?b2015?3?6. ……………3分

∴b1?1，b2?4，b3?7，b4?0?b3?0，b5?b4?3?3，b6?b5?3?6，b7?0?b6?0，… ∴b2016?b6?6. ……………3分 ∴b3n?2?b3n?1??b3n?1?d??b3n?1??qb3n?d??b3n?1???q?b3n?1?d??d???b3n?1?2d?6， ∴?b3n?1?是以b2?4为首项、6为公差的等差数列，

又?b3n?2?b3n?1?b3n??b3n?1?d??b3n?1??b3n?1?d??3b3n?1，

②方法一：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

?S3n??b1?b2?b3???b4?b5?b6?????b3n?2?b3n?1?b3n?

n?n?1????3?b2?b5??b3n?1??3?4n??6??9n2?3n， ……………6分

2??SS?S3n???3n?1，?n3?n1??，设cn?n3?n1，则???cn?max，

33高三数学答案 第 9 页 共 12 页

229?n?1??3?n?1?9n2?3n?2?3n?2n?2?又cn?1?cn?， ??3n3n?13n?122当n?1时，3n?2n?2?0，c1?c2；当n?2时，3n?2n?2?0，cn?1?cn，

∴c1?c2?c3????，∴?cn?max?c2?14， ……………9分 ∴??14，得???14,???. ……………10分 方法二：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴b3n?1?b3n，∴b3n?3?b3n?b3n?3?b3n?1?2d?6，∴?b3n?是首项为b3?7、公差为6的等差数列， ∴b3?b6???b3n?7n?易知?bn?中删掉?b3n?的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，

n?n?1??6?3n2?4n， 2?b1?b2?b4?b5???b3n?2?b3n?1?2n?1??S3n??3n2?4n???6n2?n??9n2?3n， ………………6分

以下同方法一.

（2）方法一：设?bn?的段长、段比、段差分别为k、q、d，

则等比数列?bn?的公比为

?2n?2n?1??3?6n2?n， 2bk?1?q，由等比数列的通项公式有bn?bqn?1， bk当m?N时，bkm?2?bkm?1?d，即bqkm?1?bqkm?bqkm?q?1??d恒成立， ……………12分 ①若q?1，则d?0，bn?b； ②若q?1，则qkm?dn?1km，则q为常数，则q??1，k为偶数，d??2b，bn???1?b；

?q?1?bn?1经检验，满足条件的?bn?的通项公式为bn?b或bn???1?方法二：设?bn?的段长、段比、段差分别为k、q、d，

b. ……………16分

①若k?2，则b1?b，b2?b?d，b3??b?d?q，b4??b?d?q?d，

222由bb13?b2，得b?d?bq；由b2b4?b3，得?b?d?q??b?d?q?d，

?d?0?d??2bn?1或?，则bn?b或bn???1?b，经检验均合题意. …………13分

?q?1?q??1②若k?3，则b1?b，b2?b?d，b3?b?2d，

联立两式，得?2b?d??b?b?2d?，得d?0，则bn?b，经检验适合题意. 由bb13?b2，得?2综上①②，满足条件的?bn?的通项公式为bn?b或bn???1?

n?1b. ……………16分

高三数学答案 第 10 页 共 12 页

附加题答案

21. A、解：由切割线定理得：PD?PA?PC?PB

则4?(2?4)?3?(3?BC)，解得BC?5， …………4分

又因为AB是半圆O的直径，故?ADB?则在三角形PDB中有BD??2, …………6分

PB2?PD2?64?16?43. …………10分

?m 2??1??1?B、解：由题意得????2?????2?， …………4分

2 ?3???????m?4??则?， …………8分 ?2?6??2?解得m?0，???4. …………10分

3?x?t??5(t为参数)化为普通方程为4x?3y?0， …………2分 C、解：直线l:?4?y?t?5?2圆C的极坐标方程??2cos?化为直角坐标方程为?x?1??y2?1， …………4分

44?， …………6分 则圆C的圆心到直线l的距离为d?2542???3?6. …………10分 5D、解：由柯西不等式，得(x?2y?z)2?(12?22?12)?(x2?y2?z2)，

所以AB?21?d?2222222即x?2y?z?1?2?1?x?y?z， …………5分

又因为x?2y?z?1，所以x?y?z?2221， 6xyz11??，即x?z?,y?时取等号. 121631222综上，x?y?zmin?. …………10分

632?. …………4分 22．解：（1）这两个班“在星期一综合实践课节次不同”的概率为P?1?3?33当且仅当

??1k?1??2?（2）由题意得X~B(5,)，P(X?k)?C5????3?3??3?所以X的概率分布表为： X 0 P 1 2 k5?k,k?0,1,2,3,4,5. …………6分

3 4 5 32 24380 24380 24340 24310 2431 243…………8分

15?. …………10分 33?n?1?! n!kk?123.解：（1）①kCn?nCn?k??n??1k!?n?k?!?k?1?!?n?k?!所以，X的数学期望为E(X)?5?高三数学答案 第 11 页 共 12 页

?n!n!??0. ……………2分

k?1!n?k!k?1!n?k!????????kk?2k?12②k2Cn?n?n?1?Cn?2?nCn?1?k??n?2?! n!?n?n?1??k!?n?k?!?k?2?!?n?k?!n?1?!n!n!n!? ?k????n?k?1!n?k!k?2!n?k!k?1!n?k!k?1!n?k!?????????????????n!1??k?1????0. ………………4分

k?1??k?2?!?n?k?!?k?12k2k2kkk（2）方法一：由（1）可知当k?2时?k?1?Cn?k?2k?1Cn?kCn?2kCn?Cn

k?2k?1k?1kk?2k?1k???nn?1C?nC?2nC?C?nn?1C?3nC?C. ……………6分 ????n?2n?1n?1nn?2n?1n??202122kn故1Cn?2Cn?3Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn

2201??12Cn?22Cn??n?n?1??Cn0?2?Cn1?2?L?Cnn??22??3n?Cn1?1?Cn2?1?L?Cnn??11? 23n??Cn?Cn?L?Cn???1?4n??n?n?1?2n?2?3n?2n?1?1???2n?1?n?

???2n?2?n2?5n?4?. ……………10分

122kknn方法二：当n?3时，由二项式定理，有?1?x??1?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx，

n1223kk?1nn?1两边同乘以x，得?1?x?x?x?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx，

n两边对x求导，得?1?x??n?1?x?nn?1122kknnx?1?2Cnx?3Cnx????k?1?Cnx????n?1?Cnx，

……………6分

两边再同乘以x，得

?1?x?nx?n?1?x?n?11223kk?1nn?1x2?x?2Cnx?3Cnx????k?1?Cnx????n?1?Cnx，

nn?1两边再对x求导，得?1?x??n?1?x?2x?n?n?1??1?x?2n?2x2?2n?1?x?2n?1x

2122kknn?1?22Cnx?32Cnx????k?1?Cnx????n?1?Cnx. ……………8分 2122kn令x?1，得2n?n2n?1?n?n?1?2n?2?2n2n?1?1?2Cn?3Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn， 202122knn?2n2?5n?4. …………10分 即1Cn?2Cn?3Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn?222??高三数学答案 第 12 页 共 12 页

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