PE公司 人力资源安排

人力资源安排问题

摘要

本问题是针对PE这家电力工程技术公司人力资源分配的问题。

PE是一家中美合资的电力工程技术公司，现有41名技术人员。该公司承揽了来自四个客户的四个不同项目，作为其收入的主要来源。因为人力资源有限，同时又要满足不同客户、不同场地、不同项目的需求。所以在专业人员结构符合客户的要求下，合理的分配现有的技术力量，使得公司直接收益最大已成为每个公司亟待解决的问题。本文就是针对某一公司在承接四个项目工程时的人力资源如何安排使得直接收益最大这一问题进行建模。

本文建立模型主要依据公司的人员结构及工资情况、各项目对专业技术人员结构要求、以及不同项目和各种人员的收费标准三个限制要素。将决策变量（公司收益）、目标函数、约束条件运用数学符号以及数学式子表示出来。由于问题中的限制条件较多，这在一定程度上增加了决策变量的波动性。公司利润说到底还是个极值问题，然而这个极值往往是在可行域边界上取得，所以单纯利用微分方法不利于我们求解。综合考量后，我们决定运用常见的数学规划方法建立数学规划模型，而这一方法是最简单有效的。最后利用数学建模常用软件Lingo进行求解，得出结论。

但是，由于建立模型之初我们的模型假设排除了一系列的干扰因素，而这些在实际问题中都极有可能出现，所以，一开始我们的模型是建立在相对理想化的基础上，这样计算结果会和实际有偏差。于是我们进行灵敏度分析，进一步优化模型，将误差缩小在可控制范围内。借鉴经济学中影子价格理论，我们把问题中所有的约束条件看做“资源”，当客户的要求已经达到，场地条件也已经满足，而公司的技术人员劳动价值有余，剩余为零的资源约束就成了紧约束（有效约束）。公司效益是我们的目标函数，紧约束资源一旦增加，效益必然随之提升。效益增量是资源的潜在价值，这即是影子价格。

最后，我们在改进的规划模型基础上得出了问题解决方案。

关键词

数学规划模型 Lingo软件 紧约束 影子价格 灵敏度分析

1.问题重述

“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。

表1

目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。

表2

为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示。

表3

由于项目D技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。

各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；各项目客户对总人数都有限制。 由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。 由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41人。

由此我们知道，人员分配是在客户所给的要求上公司根据自身人力资源特点，给出合理的人员安排。在PE公司中，共有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员共41个专业人员。而且他们的日工资是不一样的。公司承接了A、B、C、D四个工程项目。由于对技术要求不一样，所以四个项目分别支付不同专业人员的价格，以及所要求的专业人员的数量都是不一样的。为了保证项目的质量，各项目对专业技术人员结构也具有要求。公司应根据给定的条件，合理分配人员，以获得收益的最大。

2.问题分析

在本问题中优化问题目标就是使得公司收益最大。一般来说，对公司收益影响最大的因素是收入和支出两个部分。PE公司的支出主要是员工的工资和部分项目中管理费开支，而公司收入则集中在不同来源的项目客户支付的酬金。公司需要做的决策就是如何将现有的41位工程技术人员合情合理的分配到客户项目中去，从而赚取最大利益。然而，由于公司项目来自不同客户，工作场地、客户要求、人员水平各有不同，决策收到来自不同方面的限制，例如，针对项目的技术难易程度人员配备有一定限制、客户除了对不同级别技术人员数量有限制对参与项目的人员总数也要控制在一定范围内。 由于问题中的限制条件较多，这在一定程度上增加了决策变量的波动性。公司利润说到底还是个极值问题，然而这个极值往往是在可行域边界上取得，我们决定运用常见的数学规划方法建立数学规划模型，而这一方法是最简单有效的。

3.模型假设

(1) 公司现有的技术人员结构和数量固定，不会再进行新的人员招聘。 (2) 假设公司每天都会给41个员工发工资，不管他们是否都被调派工作。 (3) 一但完成人员的项目分配，就不会随便变动。

(4) 项目收费标准和员工的工资和费用是固定的，没有奖金等其他额外支出。 (5) 不会出现一个技术人员同时有两个项目的情况。 (6) 排除员工请假因素，排除因天气问题影响项目的因素。 (7) 每个项目的进度都属正常的工作进度。 (8) 四个项目每天都会进行，不存在停工现象。 (9) 公司在项目完成前不承接其他项目。

4.符号说明

xij ——

表示分配到第j个项目的i种专业人员数量 表示第j个项目i种专业人员的收费标准

yij ——

zij ——

表示i种专业人员做第j个所获得的收益

w

—— 表示公司的净收益 —— 表示公司每天总支出

—— 表示每天各专业人员的工资支出

表示每天管理费支出

c

c1

c2 ——

5.模型准备

5.1工资支出：

一方面，所有专业技术人员无论调派到那个项目，他们的收费标准都大于该公司给他们所发的日工资，另一方面，四个项目所需要的总人数为55，大于该公司的现有专业人员人数41，所以，为了使该公司每天的直接收益最大，我们得出的结论是：要求该公司出动所有的专业人员，即调派41个专业人员去这四个项目。因此公司的工资支出固定

c1= 9*250+17*200+10*170+5*110=7900（元/天）

即公司每天的工资支出为7900元。

5.2对限制条件的分析：

由于这四个项目对该公司的人员结构有要求，我们分析得到：B项目高级工程师工资最高，所以高级工程应尽量调派到B项目；同理，工程师应尽量调派到C项目；助理工程师应尽量少调派到A项目；而技术人员只有5个，除了满足A,C项目最低要求，其余调派到工资较高的B项目。下面绘制成表4。

6.模型建立

6.1目标函数：

w = zij- c= xijyij- 7900 - 50xij

i 1j 14

4

4444

i 1j 1i 1j 1

6.2约束条件：

6.2.1该公司的人员结构要求

（1）该公司供分配的高级工程师不超过9人

x1j 9

j 14

（2）该公司供分配的工程师不超过17人

x2j 17

j 14

（3）该公司供分配的助理工程师不超过10人

x3j 10

j 14

（4）该公司供分配的技术人员不超过5人 x4j 5

j 14

6.2.2A项目对专业人员结构的要求 （1）A项目对高级工程师的要求 1 x11 3 （2）A项目对工程师的要求 x21 2

（3）A项目对助理工程师的要求 x31 2

（4）A项目对技术员的要求

x41 1

6.2.3B项目对专业人员结构的要求 （1）B项目对高级工程师的要求 2 x12 5 （2）B项目对工程师的要求 x22 2

（3）B项目对助理工程师的要求 x32 2

（4）B项目对技术员的要求 x42 3

6.2.4C项目对专业人员结构的要求 （1）第3个项目对高级工程师的要求 x13 2

（2）C项目对工程师的要求 x23 2

（3）C项目对助理工程师的要求 x33 2

（4）C项目对技术员的要求 x43 1

6.2.5D项目对专业人员结构的要求 （1）D项目对高级工程师的要求 1 x14 2 （2）D项目对工程师的要求

2 x24 8

（3）D项目对助理工程师的要求 x34 1

（4）D项目对技术员的要求 x44 0

6.2.6四个项目所需专业人员总数的要求 （1）A项目对总人数的限制 xi1 10

i 14

（2）B项目对总人数的限制 xi2 16

i 14

（3）C项目对总人数的限制 xi3 11

i 14

（4）D项目对总人数的限制 xi4 18

i 14

6.2.7该公司分配给各个项目的专业人员要必须是正整数 xij 0 (i 1,2,3,4;j 1,2,3,4)

7.模型求解与结果分析

7.1模型求解

将以上式子写入Lingo程序： model

max=1000*x11+800*x21+600*x31+500*x41+1500*x12+800*x22+700*x32+600*x42+1300*

x13+900*x23+700*x33+400*x43+1000*x14+800*x24+700*x34+500*x44-7900-50*(x13+x23+x33+x43+x14+x24+x34+x44); x11<=3; x11>=1; x12>=2; x12<=5; x13=2; x14>=1; x14<=2; x21>=2; x22>=2; x23>=2; x24>=2; x24<=8; x31>=2; x32>=2; x33>=2; x34>=1; x41>=1; x42>=3; x43>=1; x44=0;

x11+x12+x13+x14<=9; x21+x22+x23+x24<=17; x31+x32+x33+x34<=10; x41+x42+x43+x44<=5; x11+x21+x31+x41<=10; x12+x22+x32+x42<=16; x13+x23+x33+x43<=11; x14+x24+x34+x44<=18; end

（Lingo运算结果见附录一）

用Lingo求解得目标函数最大值为27150，最优解为

x11=1 ，x12=5，x13=2，x14=1 x21=6，x22=3，x23=6，x24=2，x31=2，x32=5，x33=2，x34=1，x41=1，x42=3，x43=1，x44=0

表5：人员最优分配

7.2模型分析： 7.2.1影子价格：

通过结果我们可以看出，一些紧约束有影子价格，其右端增加一个单位时，目标函数有相应的增量。第22至25行中，影子价格分别为1000

、800、700、600，则右端增加1时，目标函数也分别增加增加1000、800、700、600。例如，我们先去掉26~29行，即去掉各项目人数的限制，得出最大收益为27400。我们再将第22行约束条件右端增加1，求出最大收益为28400，增加了1000元，与影子价格相同。据此我们可以得出，增加一名高级工程师，一名工程师，一名助理工程师和一名技术员所带来的收益增加分别为1000元，800元，700元和600百元。又因为增加员工所带来的收益远高于公司支付的工资，因此公司可以通过增加员工人数来获得更高的收益。 7.2.2灵敏度分析：

（1)在最优解不变的情况下（约束条件不变），变量的系数，即不同项目、不同专业人员的收费标准，有允许变动的范围。但是，一个变量系数变化时，其他变量的系数不可以变化。我们将变化范围整理成如表6：

例如将x11的系数由1000变为1500，其他条件不变时最优解不变。但可达到的最大利润变大为27650元，增加500元。这表明，若单个目标函数中的变量系数变化，只要其在变化范围内，则最优解不变，但最大收益可能增加或减少。

（2）同时，影子价格有意义条件下约束右端顶也有限制范围。（变化范围见表7）

*“ ”表示其变化对结果没有影响。可以理解为结果与其变化无关

通过这张表我们可以得出，虽然通过增加员工的方法可以增加公司的最大收益。但增加员工的数量有限制。

8.模型评价和改进

8.1模型的优点：

(1)模型运用了Lingo 进行求解，简化了计算，通过影子价格和敏感度进行分析。 (2)模型运用线性规划，目标函数是个多元函数，数学规划方法排除了多个干扰因素，使问题变得简单。 8.2模型的缺点：

(1)在模型假设中我们忽略掉如人员变动等多个实际中常见问题，故只有在极端情况下，该模型才真正成立。

(2)效益随着紧约束（有效约束）资源变化是可以提升的，根据影子价格的经济学原理，该公司收益还有上升的空间，所以我们的模型得出的收益数据只是一个参考并非绝对的。 8.3模型的改进：

由调派的人力资源表的数据可以看出，该公司调派了所有专业技术人员，使得公司在现有的人员结构基础上收益达到了最大，但四个项目所要求的总人数为55人，而该公司的实际专业人员只有41人。若公司招聘更多的人员，则是改变了影响影子价格的资源紧约束力，提升效益，也就是增加公司的收益。但招聘更多员工，公司付出相应的工资也就更多，成本的上升是否真的带来利润，这与招聘多少高级工程师、工程师、助理工程师还有技术员息息相关。假设其他条件不变，新招进来员工的收费和工资与现有员工的是也一样的。

而此时，因为员工数量不确定，所以工资支出是一个不确定的数。因此我们的目标函数要加以修改。将变量的系数有直接收入换为净收入。 我们引入新的符号：

wij 表示第i种专业人员做第j个项目的净收入 ci 表示第i种专业人员的工资

w y c(j 1,2)

iji

ij

wij yij ci 50(j 3,4)

据此，我们得出各种专业人员做不同项目的净收入（见表8）

表8：各专业人员净收入

则我们的目标函数变为：

max=750*x11+600*x21+430*x31+390*x41+1250*x12+600*x22+530*x32+490*x42+1000*x13+650*x23+480*x33+240*x43+700*x14+550*x24+480*x34+340*x44;

我们发现，前三个项目人员分配总数正好达到了客户的最高要求，而第四个项目还差14个专业技术人员。因此我们分两种情况考虑模型的改进，即：

(1)新增员工全部分配到第四个项目，前三个项目分配情况不变。假设其他条件不变，新招进来员工的收费和工资与现有员工的是也一样的。

根据新条件，我们改变式子。（得到Lingo程序及运算结果见附录二） 计算结果为x14 2，x24 8，x34 8，

当招聘员工为14人，其中高级工程师1人，工程师6人，助理工程师7人时，公司收益可达最大为34510元。各项目的人员数目表9：

表9

(2)新增员工分配到所有项目。假设其他条件不变，新招进来员工的收费和工资与现有员工的是也一样的。

根据新条件，我们改变式子。（得到Lingo程序及运算结果见附录三） 根据结果，我们将新的人员分配制成表10：

表10

因此，最优聘用方案是：聘用的人数为14人，其中高级工程师为3名，工程师为7名，助理工程师为4名。此时公司的最大收益为35020元。

9.模型应用与推广

本文的建模思想可以进一步的推广到资源分配问题。例如，将数量一定的一种或若干种资源恰当的分分配,从而使目标函数达到最优。具体如下:

设有m种类型的原料,总数量为a,用于生产n种产品，xij表示生产第i种产品需要第j种类型原料的数量,其收益记为gi(xij),假设没有其他约束条件，问如何分配使总的收益最大?

此问题就可以写成静态规划问题:

nm

maxz w

i 1j 1

nm

xij a i 1j 1 x 0 ij

它可用本模型所用的Lingo软件求解，得到最优解使收益最大。

结论

在公司现有的41名技术人员条件下，A项目工程需高级工程师1名，工程师6名，

助理工程师2名，技术员1名；B项目工程需高级工程师5名，工程师3名，助理5名，技术员3名；C项目工程需高级工程师2名，工程师6名，助理2名，技术员1名；D项目工程需高级工程师1名，工程师2名，助理1名，技术员无。公司每天的直接收益最大为，27150元。

若是公司可以多招聘员工，聘用人员只针对项目D，则需要多增高级工程师1人，工程师6人，助理工程师7人时，A项目工程需高级工程师1名，工程师6名，助理工程师2名，技术员1名；B项目工程需高级工程师5名，工程师3名，助理5名，技术员3名；C项目工程需高级工程师2名，工程师6名，助理2名，技术员1名；D项目工程需高级工程师2名，工程师8名，助理8名，技术员无。公司收益可达最大为34510

元。

若聘用人员可分配到四个项目，则聘用的人数为14人，其中高级工程师为3名，工程师为7名，助理工程师为4名。A项目工程需高级工程师3名，工程师4名，助理工程师2名，技术员1名；B项目工程需高级工程师5名，工程师6名，助理2名，技术员3名；C项目工程需高级工程师2名，工程师6名，助理2名，技术员1名；D项目工程需高级工程师2名，工程师8名，助理8名，技术员无。公司每天的直接收益最大为35020元。

参考文献

[1] 姜启源．谢金星，叶俊，数学模型（第三版）．北京：高等教育出版社，2003 [2] 韩中庚．数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005 [3] 运筹学编写组．运筹学（修订版）．北京：清华大学出版社，1990 [4] 胡运权．运筹学习题集（修订版）．北京：清华大学出版社，1995

[5] 谢金星，薛毅等．优化建模与LINDO/LINGO软件．北京：清华大学出版社，2005 [6]胡君 陈秋平 陈富华．人力资源安排模

型． /view/75bea6360b4c2e3f572763a4.html 2013-5-26

附录一

Global optimal solution found.

Objective value: 27150.00 Total solver iterations: 5

Variable Value Reduced Cost X11 1.000000 0.000000 X21 6.000000 0.000000 X31 2.000000 0.000000 X41 1.000000 0.000000 X12 5.000000 0.000000 X22 3.000000 0.000000 X32 5.000000 0.000000 X42 3.000000 0.000000 X13 2.000000 0.000000 X23 6.000000 0.000000 X33 2.000000 0.000000 X43 1.000000 0.000000 X14 1.000000 0.000000 X24 2.000000 0.000000 X34 1.000000 0.000000 X44 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 27150.00 1.000000 2 2.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 3.000000 0.000000 5 0.000000 500.0000 6 0.000000 200.0000 7 0.000000 -50.00000 8 1.000000 0.000000 9 4.000000 0.000000 10 1.000000 0.000000 11 4.000000 0.000000 12 0.000000 -50.00000 13 6.000000 0.000000 14 0.000000 -100.0000 15 3.000000 0.000000 16 0.000000 -100.0000

17 0.000000 -50.00000 18 0.000000 -100.0000 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 -300.0000 21 0.000000 -150.0000 22 0.000000 1000.000 23 0.000000 800.0000 24 0.000000 700.0000 25 0.000000 600.0000 26 0.000000 0.000000 27 0.000000 0.000000 28 0.000000 50.00000 29 14.00000 0.000000

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X11 1000.000 500.0000 50.00000 X21 800.0000 50.00000 0.0 X31 600.0000 100.0000 INFINITY X41 500.0000 100.0000 INFINITY X12 1500.000 INFINITY 500.0000 X22 800.0000 0.0 50.00000 X32 700.0000 INFINITY 50.00000 X42 600.0000 INFINITY 100.0000 X23 850.0000 INFINITY 50.00000 X33 650.0000 100.0000 INFINITY X43 350.0000 300.0000 INFINITY X14 950.0000 50.00000 INFINITY X24 750.0000 50.00000 INFINITY X34 650.0000 50.00000 INFINITY

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 3.000000 INFINITY 2.000000 3 1.000000 0.0 INFINITY 4 2.000000 3.000000 INFINITY 5 5.000000 0.0 2.000000 7 1.000000 0.0 0.0

8 2.000000 INFINITY 1.000000 9 2.000000 4.000000 INFINITY 10 2.000000 1.000000 INFINITY 11 2.000000 4.000000 INFINITY 12 2.000000 1.000000 0.0 13 8.000000 INFINITY 6.000000 14 2.000000 3.000000 1.000000 15 2.000000 3.000000 INFINITY 16 2.000000 3.000000 1.000000 17 1.000000 3.000000 0.0 18 1.000000 0.0 1.000000 19 3.000000 0.0 INFINITY 20 1.000000 0.0 1.000000 22 7.000000 0.0 0.0 23 17.00000 0.0 1.000000 24 10.00000 0.0 3.000000 25 5.000000 0.0 0.0 26 10.00000 1.000000 0.0 27 16.00000 INFINITY 0.0 28 9.000000 1.000000 0.0 29 18.00000 INFINITY 14.00000

附录二

model

max=750*x11+600*x21+430*x31+390*x41+1250*x12+600*x22+530*x32+490*x42+1000*x13+650*x23+480*x33+240*x43+700*x14+550*x24+480*x34+340*x44; x11+x21+x31+x41<=10; x12+x22+x32+x42<=16; x13+x23+x33+x43<=11; x14+x24+x34+x44<=18; x11=1; x12=5; x13=2; x14>=1; x14<=2; x21=6; x22=3; x23=6; x24>=2; x24<=8; x31=2;

x32=5; x33=2; x34>=1; x41=1; x42=3; x43=1; x44=0; end

Global optimal solution found.

Objective value: 34510.00 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X11 1.000000 0.000000 X21 6.000000 0.000000 X31 2.000000 0.000000 X41 1.000000 0.000000 X12 5.000000 0.000000 X22 3.000000 0.000000 X32 5.000000 0.000000 X42 3.000000 0.000000 X13 2.000000 0.000000 X23 6.000000 0.000000 X33 2.000000 0.000000 X43 1.000000 0.000000 X14 2.000000 0.000000 X24 8.000000 0.000000 X34 8.000000 0.000000 X44 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 34510.00 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 480.0000 6 0.000000 750.0000 7 0.000000 1250.000 8 0.000000 1000.000 9 1.000000 0.000000

10 0.000000 220.0000 11 0.000000 600.0000 12 0.000000 600.0000 13 0.000000 650.0000 14 6.000000 0.000000 15 0.000000 70.00000 16 0.000000 430.0000 17 0.000000 530.0000 18 0.000000 480.0000 19 7.000000 0.000000 20 0.000000 390.0000 21 0.000000 490.0000 22 0.000000 240.0000 23 0.000000 -140.0000

附录三

model

max=750*x11+600*x21+430*x31+390*x41+1250*x12+600*x22+530*x32+490*x42+1000*x13+650*x23+480*x33+240*x43+700*x14+550*x24+480*x34+340*x44; x11+x21+x31+x41<=10; x12+x22+x32+x42<=16; x13+x23+x33+x43<=11; x14+x24+x34+x44<=18; x11>=1; x11<=3; x12>=2; x12<=5; x13=2; x14>=1; x14<=2; x21>=1; x22>=2; x23>=2; x24>=2; x24<=8; x31>=2; x32>=2; x33>=2; x34>=1; x41>=1; x42>=3;

x43>=1; x44=0; end

Global optimal solution found.

Objective value: 35020.00 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X11 3.000000 0.000000 X21 4.000000 0.000000 X31 2.000000 0.000000 X41 1.000000 0.000000 X12 5.000000 0.000000 X22 6.000000 0.000000 X32 2.000000 0.000000 X42 3.000000 0.000000 X13 2.000000 0.000000 X23 6.000000 0.000000 X33 2.000000 0.000000 X43 1.000000 0.000000 X14 2.000000 0.000000 X24 8.000000 0.000000 X34 8.000000 0.000000 X44 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 35020.00 1.000000 2 0.000000 600.0000 3 0.000000 600.0000 4 0.000000 650.0000 5 0.000000 480.0000 6 2.000000 0.000000 7 0.000000 150.0000 8 3.000000 0.000000 9 0.000000 650.0000 10 0.000000 350.0000 11 1.000000 0.000000 12 0.000000 220.0000 13 3.000000 0.000000 14 4.000000 0.000000 15 4.000000 0.000000

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