说题范例一：数列-1

题目：等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列?

?1??的前项和. ?bn?说题：

各位评委老师，大家好！我是——号选手，我抽到的题目是——。

本题剖析：本题是2011年全国高考新课标卷理科数学17题，以知识和方法立意，涵盖的主要知识点有(1)等比数列的通项公式（2）等比中项（3）对数的运算法则（4）等差数列的前n项和公式（5）数列的裂项相消求和法。主要考查学生基础知识基本技能和简单的运算能力，属于基础题，多数学生可较轻松解答。

本题解法：

（Ⅰ）结合所求，分析题中条件，多数同学都可以想到利用等比数列的通项公式，通过待定系数法解出基本量a1,q求得数列?an?的通项式为an=

13n。

还有部分学生对数列知识掌握比较灵活，则可上述方法进行优化：利用等比中项先求出公比q，然后再求出首项，进而获得通项公式.

（Ⅱ）借助对数运算的性质和等差数列的求和公式，不难获得

bn??n(n?1)2，于是有

1bn??2n(n?1)??2(1n?1n?1)，因通项的分子为常数，而

分母是等差数列的相邻两项，因此引导学生用拆分裂项相消求和的方法破题，得数列{}的前n项和为?bn12nn?1.

本题同时揭示了正项等比数列各项对应的对数值依次构成等差数列这一数学实质，同时裂项相消是对等差数列相邻两项积的倒数数列进行求和的一种行之有效的方法，说明了裂项相消求和法所适用的问题类型。

（Ⅱ）的变式-1：设cn?nan（或cn?nan），求数列{cn}的前n项和（错位

相减法求和，基本方法，难度不大，适合于全体学生）.

（Ⅱ）的变式-2：设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列{bn}的前n项和（分组求和或利用组合数性质求和，难度较大，更适合于数学的学优生）.

将等比这一特殊数列类比改变为等差数列，于是 拓展：等差数列?an?中，2a1?3a2?11,2a3?a2?a6?4. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式（此问比较常规）； （Ⅱ）①设cn?较小适合全体学生)

②设数列?an?的前n项和为Sn，bn?1321Sn1anan?1，求数列{cn}的前n项和为Cn.(裂项相消求和，难度

，数列{bn}的前n项和为Bn，

求证:?Bn?2.(裂项相消求和，放缩法证明不等式，放缩尺度不易把握，难度

较大，适合于数学的尖子生)

本题背景：可在人教A版教材必修5第二章章末P68复习参考题B组第1题(1)题找到原型题.题目是：等比数列?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7?18，则log3a1?log3a2???log3a10?( )

A.12 B.10 C.8 D. 2?log35 两题目条件类似,考查知识相近，只是较原题更深入复杂一些,考查面更广，体现了近年来高考试题 “追根溯源，回归课本”,“源于课本，高于课本”的理念,因此我们在高考复习中应当充分重视教材,研究教材,汲取教材的营养价值,发挥课本的示范功能.

高考链接：本人查阅了2009—2011年高考试卷，现仅举几例. 2010山东文、理科数学第18题 已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=

1an?12(n?N*)，求数列?bn?的前n项和Tn．

(本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键.)

2010安徽理科数学第20题 设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0.证明：?an?为等差数列的充分必

要条件是：对任何n?N，都有

1a1a2?1a2a3???1anan?1?na1an?1.

2009年广东卷文科第20题 已知点（1，）是函数f(x)?ax(a?0,且a?1）的图象上一点，等比数列{an}31的前n项和为f(n)?c,数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－

Sn?1=

Sn+Sn?1（n?2）.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{

1bnbn?1}前n项和为Tn，问Tn>

10002009的最小正整数n是多少?

2011全国Ⅱ理科数学20题 设数列{an}满足a1?0且

11?an?1?11?an?1.

（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?1?an?1nn，记Sn??b，证明：Skk?1n?1.

这些题目主要考查数列的通项公式、数列的概念、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力。在解题过程中也渗透了化归与转化思想方法.难度较小，学生易得分。

说题小结：特殊数列（如等差、等比数列）的通项公式、求和公式要熟记,同时要掌握裂项相消法、错位相减法等求和公式方法及适用类型.由于不同学校学生的层次和程度不尽相同，对此题侧重点、关注点也不同；再者本人能力有限，分析和见解粗陋肤浅，不妥之处请评委老师点评、指导.

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