2016届高考数学二轮复习能力测试训练：专题三 3.2 三角恒等变换与解三角形（新人教A版含解析）（浙江专用）

专题能力训练7 三角恒等变换与解三角形

(时间:60分钟 满分:100分)

一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 1.已知=-,则cos α+sin α等于( ) A.- B. C. D.-

2.(2015浙江嘉兴二测,文5)若sin θ+cos θ=,θ∈[0,π],则tan θ=( ) A.- B. C.-2 D.2

3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cos A=,则b等于( ) A. B. C. D. 4.(2015浙江诸暨质检,文4)已知cos,则sin 2α=( ) A. B. C.± D.±

5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,则角B的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.120°

6.在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差数列,若b=,则a+c的最大值为( ) A. B.3 C.2 D.9 7.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( ) A.5 B. C.2 D.1

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

8.(2015浙江杭州二中仿真,文10)已知0<α<,-<β<0,cos(α-β)=,且tan α=,则cos α= ,sin β= .

9.(2015浙江重点中学协作体二适,文14)在△ABC中,若sin A=2cos Bcos C,则tan B+tan C= .

10.若α∈,则的最大值为 .

11.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 .

三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 12.(本小题满分14分)(2015广东,文16)已知tan α=2. (1)求tan的值; (2)求的值.

1

13.(本小题满分15分)(2015浙江嘉兴教学测试(二),文16)三角形ABC中,已知222

sinA+sinB+sin Asin B=sinC,其中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)求角C的大小; (2)求的取值范围.

14.(本小题满分16分)(2015湖南,文17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A.

(1)证明:sin B=cos A;

(2)若sin C-sin Acos B=,且B为钝角,求A,B,C.

参考答案

专题能力训练7 三角恒等变换与解三角形

1.D 解析:由=-可得-(sin α+cos α).故cos α+sin α=-.

2.C 解析:∵sin θ+cos θ=,∴(sin θ+cos θ)=sinθ+cosθ+2sin θcos θ=,因此得2sin θcos θ=-<0.

又θ∈[0,π],∴sin θ>0,cos θ<0,因此θ∈.

2

2

2

∵(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=,由于sin θ>0,cos θ<0,∴sin

θ-cos θ=.

2

又sin θ+cos θ=,∴sin θ=,cos θ=-,得tan θ==-2.故选C. 3.C 解析:因为cos A=,所以sin A=.

所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=cos 45°+sin 45°=. 由正弦定理,得b=3sin 45°=.

4.B 解析:sin 2α=cos=2cos-1=23-1=.故选B.

5.A 解析:由正弦定理及(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即

2

b2-c2=a2-ac,所以a2+c2-b2=ac.又因为cos B=,所以cos B=.所以B=30°.

6.C 解析:∵acos C,bcos B,ccos A成等差数列,

∴2bcos B=acos C+ccos A.

∴2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A. ∴2sin Bcos B=sin(A+C).∴2sin Bcos B=sin B. ∵sin B≠0,∴cos B=.又∵0

又ac≤,当且仅当a=c时取等号,

∴,即(a+c)2≤12. ∴a+c≤2.

7.B 解析:由题意知S△ABC=AB2BC2sin B,

即313sin B,解得sin B=. 于是得B=45°或B=135°.

当B=45°时,AC=AB+BC-2AB2BC2cos B=1+()-2313=1. 此时AC+AB=BC,△ABC为直角三角形,不符合题意;

当B=135°时,AC=AB+BC-2AB2BC2cos B=1+()-2313=5,解得AC=.符合题意.故选B.

8. - 解析:因为tan α=,

所以sin α=cos α.① 因为sinα+cosα=1,② 0<α<,由①②联立解得cos α=, 所以sin α=.

又-<β<0,所以0<α-β<π,sin(α-β)=.

所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)==-.

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9.2 解析:因为在△ABC中,sin A=2cos Bcos C,所以sin(B+C)=2cos Bcos C,tan B+tan C==2. 10. 解析:∵α∈,∴tan α∈(0,+∞).

∴,

当且仅当tan α=时等号成立.

11. 解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)2c.

∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,

即b+c-a=bc. 由余弦定理,得cos A=.

2

2

2

∴sin A=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc. ∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4. ∴S△ABC=bc2sin A≤,即(S△ABC)max=.

12.解:(1)tan

==-3.

(2)

= = ==1.

13.解:(1)由题意结合正弦定理得a+b-c=-ab,于是由余弦定理可得cos C==-,故C=.

(2)由正弦定理得(sin A+sin B).∵A+B=,∴B=-A.

2

2

2

∴sin A+sin B=sin A+sin=sin. ∵0

14.解:(1)由a=btan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A.

(2)因为sin C-sin Acos B=sin[180°-(A+B)]-sin Acos B=sin(A+B)-sin Acos B=sin

Acos B+cos Asin B-sin Acos B=cos Asin B,

所以cos Asin B=.

由(1)sin B=cos A,因此sinB=. 又B为钝角,所以sin B=,故B=120°. 由cos A=sin B=知A=30°. 从而C=180°-(A+B)=30°.

4

2

综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/85ow.html