定积分练习参考答案

第五章 定积分

一．判断题 1.定积分的定义

b?af(x)dx?

lim?f(?)?x说明?a,b?可任意分法，?ii?xi?0i?1ni必须是?xi?1,xi?的端点．

b

（ ? ）

（ ? ） （ ? ） （ √ ）

2.定积分的几何意义是相应各曲边梯形的面积之和． 3.

????x2sin2xdx?2?x2sin2xdx

0?

b

4. 定积分的值是一个确定的常数.

5 若f(x),g(x)均可积，且f(x)?g(x)，则6. 若f(x)在?a,b?上连续，且7.若?c,d???a,b?，则

?af(x)dx??g(x)dx （ ? ）

a?baf2(x)dx?0，则在?a,b?上f(x)?0 （ √ ）

ba?dcf(x)dx??f(x)dx （ ? ）

8. 若f(x)在?a,b?上可积，则f(x)在?a,b?上有界 （ √ ）

11dx??9. ??1x2x11??2 ( × )

?110. 11.

?2?0?11?cos2xdx?2?2?0cosxdx?0 ( × )

1?1dx?lnx?ln??2??ln??1? ( × ) ??2x?212. 若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分值必为零。( √ )

二．选择题

1.下列等式中正确的是(B )

ddb????fxdx?fxf?x?dx?f?x? (A) (B) ??adxdxdxf?x?dx?f?x??f(a) (D) ?f??x?dx?f?x? (C)?adx2.已知f?x???2x2?t2dt,则f??1??( A )

(A)?3 (B)6?3 (C)3 (D)3?6 3.设函数y???t?1?dt,则y有( B )

0x 1

(A) 极小值

1111 (B) 极小值? (C) 极大值 (D)极大值? 2222x1t24.设a,b为常数,若limdt?1,则( B )

22x?0bx?sinx?0a?t(A)a?4,b?1 (B) a?2,b?1 (C)a?4,b?0 (D)a?2,b?1 5．

?12?sinx4?x2?1； dx?（ B ）

A．6．

?2?4?5? B． C． D．

3333?50； 2x?4dx?（ C ）

A．11 B．12 C．13 D．14 7．设f?(x)连续，则变上限积分?f(t)dt是（ C ）；

ax A．f?(x)的一个原函数 B．f?(x)的全体原函数 C．f(x)的一个原函数 D．f(x)的全体原函数

8．设函数f(x)在[a,b]上连续，则由曲线y?f(x)与直线x?a,x?b,y?0所围平面图形的面积为（ C ）；

A．C．

9．定积分

??babf(x)dx B．

?baf(x)dx

af(x)dx D．f(?)(b?a),a???b

?ba； f(x)dx是（ A ）

A、一个常数 B、f(x)的的一个原函数 C、一个函数族 D、一个非负常数

10．下列命题中正确的是（ D ）（其中f(x)，g(x)均为连续函数）。

A、 在[a,b]上若f(x)?g(x)，则B、

?baf(x)dx?

?bag(x)dx

?baf(x)dx??baf(t)dt

C、 d?baf(x)dx?f(x)dx

D、 f(x)?g(x),则

?f(x)dx??g(x)dx

2

11．已知F'(x)?f(x),则

?xaf(t?a)dt?(C);

A, F(x)?F(a) B, F(t)?F(a) C, F(x?a)?F(2a) D, F(t?a)?F(2a)

12． limx?0?x0sint2dtx3?(D);

A, 1 B, 0 C, 1/2 D, 1/3

三．填空题

1． 比较下列定积分的大小(填写不等号) (1)

?21lnxdx ?

??lnx?dx (2) ?21210xdx ?

?ln?1?x?dx

012．利用定积分的几何意义,填写下列积分的结果. (1)

?20xdx?2 (2)

?a?aa2?x2dx?12?a2

dbatesinbtdt?3.

dx?a0

4．由曲线y?x2?1与直线x?1,x?2及x轴所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为

?21(x2?1)dx

5．自由落体的速度V=gt其中g表示重力加速度，当物体从第１秒开始，经过２秒后经过的路程用定积分表示为

?21gtd_t．

6．定积分的值只与___被积函数____及___积分区间____有关，而与积分变量的符号无关．

7.设f(x)是连续函数，且f(x)?x?28．设f(x)为连续函数，则9．若

?10f(t)dt，则f(x)=x?1

?a?ax2[f(x)?f(?x)]dx?＿＿0＿＿＿；

?babf(x)g(x)dx?1，则?dx?＿＿b?a?1＿＿＿；

af(x)?g(x)f(x)?g(x)10．函数f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的＿＿必要＿＿＿条件，而f(x)在且是[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的＿＿充分＿＿＿条件。

3

四．计算题

?1．?2sinxcos3xdx

0?解：原式???a0202114cosxdx??cosx?

4403?2．?x2a2?x2dx

解：令x?asint，则dx?acostdt 当x?0时t?0，当x?a时t???2

原式??2a2sin2t?acost?acostdt

0a4 ?44a422sin2tdt??08?4?st?dt ??1?co420?2a?a1? ??sin4t?a4

82841603．?3dxx211?x2

解：令x?tg?，则dx?sec2?d? 当x?1，3时?分别为

2sec? 原式???32d?

tg?sec?4??， 43? ???3?sin??dsin?

?24? ?2?4．?1?123 3xdx5?4x

1512?u，dx??udu 442解：令5?4x?u，则x? 当x??1，1时，u?3,1

4

原式??5．?4115?u2du? 3861??dxx?11

解：令x?t，dx?2tdt

当x?1时，t?1；当x?4时，t?2 原式??212dt?2tdt?2 ?2??dt???111?t1?t??222 ?2t1?ln?1?t?1?2?2ln

3??6．?341dx1?x?1

解：令1?x?u，则x?1?u2，dx??2udu 当x?31,1时u?,0 4201?2uu?1?1 原式??1du?2?2du?1?2ln2

0u?12u?17．?e2dxx1?lnxe211

11?lnxe21e21解：原式??dlnx??11?lnxd?1?lnx?

?21?lnx8．?dx

?2x2?2x?20?23?2

解：原式??0?2dx1??x?1?2?arctg?x?1??2

0?arct??g1?? ?arct1g?4??4??2

9．??01?cos2xdx

?0解：原式??2cos2xdx?2?cosxdx

0? 5

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