2017年中考数学二次函数压轴题汇编(2)

1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）． （1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）填空：b= ，c= ；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．

3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=

．

（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；

（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值； （3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F． （1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式； （2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；

（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2

ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中

C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

（3）证明：当直线l绕点D旋转时，

+

均为定值，并求出该定值．

6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．

（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；

（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；

（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．

①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．

7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；

（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴

经过A，B两点．

上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积； （3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．

12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；

（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．

13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．

（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S

OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN

四边形

成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存

在，请说明理由．

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0． （1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根； （2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；

（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相

交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=S△ADE，求此时抛物线的表达式．

17．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，

①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？

③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足二次函数的表达式．

=，求

18．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．

（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？

②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；

（2）当点C运动到使AC2=AE?AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=

x+

m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个

时，m的取值．

19．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=

S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 20．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．

（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为 和 ；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值

时，求m的值．

21．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：

（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式； （2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；

（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．

22．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正

半轴交于点C，其顶点为D．

（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

23．如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点． （1）求a、b的值；

（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；

（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

25．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积； （4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．

（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

27．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线l是⊙M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．

28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．

（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；

（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE?EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式； （3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．

29．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

30．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E． ①当PE=2ED时，求P点坐标；

②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一．解答题（共30小题）

1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）． （1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；

（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；

（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得

的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由

=

=

的值，可求得PH和OH，可求得

条件可证得△MOG∽△POH，由

P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标． 【解答】解：

（1）∵B（2，t）在直线y=x上， ∴t=2，

∴B（2，2），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；

（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，

，解得

，

∵点C是抛物线上第四象限的点，

∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t）， ∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，

∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD?OE+CD?BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t， ∵△OBC的面积为2， ∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1， ∴C（1，﹣1）；

（3）存在．连接AB、OM． 设MB交y轴于点N，如图2，

∵B（2，2），

∴∠AOB=∠NOB=45°，

在△AOB和△NOB中

∴△AOB≌△NOB（ASA）， ∴ON=OA=， ∴N（0，），

∴可设直线BN解析式为y=kx+， 把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=， ∴直线BN的解析式为y=x+，

联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，

∴M（﹣，），

∵C（1，﹣1），

∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2）， ∴OB=2

，OC=

，

∵△POC∽△MOB， ∴

=

=2，∠POC=∠BOM，

当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，

∵∠COA=∠BOG=45°，

∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO， ∴△MOG∽△POH，

∴===2， ）， ， ，OH=OG=）；

，

∵M（﹣，∴MG=，OG=∴PH=MG=∴P（

，

当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，

同理可求得PH=MG=∴P（﹣

，﹣

）；

，OH=OG=，

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，﹣）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止

运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）填空：b=

，c= 4 ；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；

（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；

（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；

（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入得：y=﹣x2+x+4， ∴b=，c=4．

（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形． 理由如下：连结QC．

∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角， ∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°． 将x=0代入抛物线的解析式得：y=4， ∴C（0，4）． ∵AP=OQ=t， ∴PC=5﹣t，

∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，

∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5． ∵由题意可知：0≤t≤4，

∴t=4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形． （3）如图所示：

过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°． ∵PG∥y轴， ∴△PAG∽△ACO， ∴

=

=

，即

=

=，

∴PG=t，AG=t，

∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t，DF=GP=t． ∵∠MPQ=90°，∠D=90°，

∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°， ∴∠DMP=∠EPQ． 又∵∠D=∠E，PM=PQ， ∴△MDP≌PEQ，

∴PD=EQ=t，MD=PE=3+t，

∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t， ∴M（﹣3﹣t，﹣3+t）． ∵点M在x轴下方的抛物线上，

∴﹣3+t=﹣×（﹣3﹣t）2+×（﹣3﹣t）+4，解得：t=∵0≤t≤4， ∴t=

．

．

（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．

∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点， ∴RH=QO=t，RH∥OQ． ∵A（﹣3，0），N（﹣，0）， ∴点N为OA的中点． 又∵R为OP的中点， ∴NR=AP=t， ∴RH=NR， ∴∠RNH=∠RHN． ∵RH∥OQ， ∴∠RHN=∠HNO，

∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．

设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：解得：m=，n=4，

∴直线AC的表示为y=x+4．

同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．

设直线NR的函数表达式为y=x+s，将点N的坐标代入得：×（﹣）+s=0，解得：s=2，

∴直线NR的表述表达式为y=x+2． 将直线NR和直线BC的表达式联立得：∴Q′（，

）．

，解得：x=，y=

，

，

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定

系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理列出关于t的方程是解答问题（2）的关键；求得点M的坐标（用含t的式子表示）是解答问题（3）的关键；证得NH为∠QHQ′的平分线是解答问题（4）的关键．

3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=

．

（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；

（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值； （3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．

【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；

（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=

，①分为m

，将然后将点A（﹣

＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；

（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．

【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1． （2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=

，将点A（﹣

①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣

．

当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+

或m=2﹣

． 或m=2+

或m=2﹣

．

综上所述：m=2﹣

②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，

∴此时y的最大值为

．

当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．

综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为最小值为﹣；

（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．

，

所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．

如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点

∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n=1，解得：n=﹣1．

∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n=1．

如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1）， ∴+2﹣n=1，解得：n=．

∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2

个公共点．

综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F． （1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式； （2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；

（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；

（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题； （3）开放性答案，代入法即可解题；

【解答】解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：

，解得：

，

∴抛物线L1解析式为y=

；

同理可得：，解得：，

∴抛物线L2解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

由题意得：，解得：，

∴抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m； ∴点D坐标为（∴DG=

=

，

，AG=

）， ；

同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m； ∴EH=

=

，BH=

，

∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴， ∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°， ∴∠ADG=∠EBH， ∵在△ADG和△EBH中，

，

∴△ADG～△EBH， ∴

=

，

∴=

，化简得：m2=12，

解得：m=±

；

（3）存在，例如：a=﹣，﹣； 当a=﹣时，代入A，C可以求得：

抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+m；

同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣m； ∴点D坐标为（∵A（﹣4，0）， ∴直线AF的解析式为y=∵B（4，0），

∴直线BF的解析式为y=联立①②解得，点F（﹣m，∴OF2=m2+（假设AF⊥BF，

∴△ABF是直角三角形， ∴OF=AB=4， ∴OF2=16， ∴m2+（

）2=16，

）2，

x﹣

），

②

x+

①

，

），点E坐标为（

，

）；

化简得，m4+4m2﹣320=0，

解得，m=4（直线BF平行于x轴，不符合题意）或m=﹣4（直线AF平行于x轴，不符合题意），

所以，AF不可能和BF垂直，

同理可求得a=﹣时，AF不可能和BF垂直．

【点评】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质；本题作出辅助线并证明△ADG～△EBH是解题的关键．

5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2

ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中

C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

（3）证明：当直线l绕点D旋转时，

+

均为定值，并求出该定值．

【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；

（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（

，a）．依据两点的距离公式可求得AD、

AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可； （3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可． 【解答】解：（1）∵C（0，3）． ∴﹣9a=3，解得：a=﹣． 令y=0得：ax2﹣2 ∵a≠0， ∴x2﹣2

x﹣9=0，解得：x=﹣

或x=3

．

ax﹣9a=0，

∴点A的坐标为（﹣∴抛物线的对称轴为x=（2）∵OA=∴tan∠CAO=∴∠CAO=60°．

，0），B（3．

，0）．

，OC=3， ，

∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAO=30°． ∴DO=

AO=1．

∴点D的坐标为（0，1） 设点P的坐标为（

，a）．

依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2． 当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．

当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去）， ∴点P的坐标为（

，0）．

当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4． ∴点P的坐标为（

，﹣4）．

，0）或（

，﹣4）．

m+3=0，

综上所述，点P的坐标为（

（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣解得：m=

，

x+3．

∴直线AC的解析式为y=

设直线MN的解析式为y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣， ∴点N的坐标为（﹣，0）． ∴AN=﹣+将y=

=

．

．

x+3与y=kx+1联立解得：x=

．

∴点M的横坐标为

过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=+．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°， ∴AM=2AG=∴

+

=

+2+

=

=

．

+

=

=

=

．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．

6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．

（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；

（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；

（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．

①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．

【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；

（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．

【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．

∵四边形CDHO是矩形， ∴OC=DH=6， ∵tan∠DAH=∴AH=3， ∵OA=4， ∴CD=OH=1， ∴D（1，6），

把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有解得

，

，

=2，

∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．

（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．

∵∠CPA=90°， ∴PC2+PA2=AC2，

∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62， 解得m=3±

，

∴P（2，3+

），P′（2，3﹣）．

（3）①如图2中，

易知直线AE的解析式为y=﹣x+4， x=1时，y=3， ∴D′（1，3），

平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m， 把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m， ∴m=3． ②由

，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，

当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0， ∴92﹣4×2×（4+m）＞0， ∴m＜

，

或2﹣

（舍弃），

③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+综上所述，当2+

≤m＜

时，抛物线M2与直线AE有两个交点．

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．

7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的

坐标；

（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；

（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；

（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解：

（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得解得

，

，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6， ∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8， ∴抛物线的顶点坐标为（2，8）；

（2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，

∵OA=OB=6， ∴∠OAB=45°，

∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°， ∴tan∠PAC=

，即

=m，

，

设AC=m，则PC=∴P（

m，6+m），

m）2+2

m+6，解得m=0

把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣（或m=

﹣，

经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去， ∴所求的P点坐标为（4﹣

，+）；

（3）当两个动点移动t秒时，则P（t，﹣t2+2t+6），M（0，6﹣t），

如图2，作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6﹣t， ∴F（t，6﹣t），

∴FP=﹣t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣t2+3t，

∵点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，

∴S△PAB=FP?OE+FP?BE=FP?（OE+BE）=FP?OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t，且S△AMB=AM?OB=×t×6=3t，

∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣t2+12t=﹣（t﹣4）2+24， ∴当t=4时，S有最大值，最大值为24．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造Rt△PAC是解题的关键，在（3）中用t表示出P、M的坐标，表示出PF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

8．如图，直线y=﹣

x+

分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴

经过A，B两点．

上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；

（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解： （1）∵直线y=﹣

x+

分别与x轴、y轴交于B、C两点，

∴B（3，0），C（0，∴OB=3，OC=∴tan∠BCO=∴∠BCO=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO=30°， ∴

=tan30°=

，即， =

，

），

=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+

经过A，B两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣

x2+

x+；

（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°， ∴DH=DM，MH=

DM，

DM=

DM，

∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+∴当DM有最大值时，其周长有最大值， ∵点M是直线BC上方抛物线上的一点， ∴可设M（t，﹣∴DM=﹣∴DM=﹣

t2+t2+

t2+t+t+

t+

），则D（t，﹣

t+

t+），

），

），则D（t，﹣﹣（﹣

t+

）=﹣

，

t2+

t=﹣

2

（t﹣）+

，

∴当t=时，DM有最大值，最大值为此时

DM=

×

=

． ，

即△DMH周长的最大值为

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、

二次函数的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；

（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）

，抛物线解析式为y=x2

在抛物线上，∴，解得：

﹣x﹣2；

（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：

，∴

y=x﹣2， 设D（m，0）， ∵DP∥y轴，

∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2）， ∵OD=4PE，

∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2）， ∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5，），E（5，），

∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=

；

（3）存在，设M（n，n﹣2）， ①以BD为对角线，如图1， ∵四边形BNDM是菱形， ∴MN垂直平分BD， ∴n=4+， ∴M（，），

∵M，N关于x轴对称， ∴N（，﹣）； ②以BD为边，如图2， ∵四边形BNDM是菱形， ∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+DH2=DM2，

即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12， ∴n1=4（不合题意），n2=5.6， ∴N（4.6，），

同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1， ∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，

∴N（5﹣

，﹣

），

③以BD为边，如图3， 过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+BH2=BM2，

即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12， ∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），

∴N（5+

，

），

综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣

），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

）或（5+

，

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．

10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴

于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标． 【解答】解：

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， ∴

，解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1， ∴OD=6，且CD=8， ∴C（﹣6，8），

设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8， 代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3， ∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8）， ∵C（﹣6，8），

∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位， ∴m的值为7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线对称轴为x=2， ∴可设P（2，t），

由（2）可知E点坐标为（1，8），

①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，

则∠BEF=∠BMP=∠QPN， 在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS）， ∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4， 设Q（x，y），则QN=|x﹣2|， ∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7， ∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②当BE为对角线时， ∵B（5，0），E（1，8），

∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4）， 设Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5， ∴Q（4，5）；

综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积； （3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．

【分析】（1）待定系数法求解可得；

（2）设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），分别表示出ME=|﹣m2+2m+3|、MN=2m﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；

（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3）、点D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3）， 解得：a=﹣1，

∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣如图，设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，

=1，

∴点N的横坐标为2﹣m， ∴MN=2m﹣2，

∵四边形MNFE为正方形， ∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2， 分两种情况：

①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=当m=

时，正方形的面积为（2

、m2=﹣

（不符合题意，舍去）， ；

（不符合题意，舍

﹣2）2=24﹣8

②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+去）， 当m=2+

时，正方形的面积为[2（2+

，m4=2﹣

）﹣2]2=24+8

．

；

综上所述，正方形的面积为24+8

或24﹣8

（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b， 把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：

，解得：

，

∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，

设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3），点D（a，﹣a+3），

①点M在对称轴右侧，即a＞1，

则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2， 若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2， 解得：a=

或a=

＜1（舍去）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a， 解得：a=﹣1（舍去）或a=2； ②点M在对称轴左侧，即a＜1，

则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a， 若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a， 解得：a=﹣1或a=2（舍）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2， 解得：a=

（舍去）或a=

；

综上，点M的横坐标为、2、﹣1、．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键．

12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；

（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．

【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题； （2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+

m，0），

由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；

（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可； 【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，

把（0，0）代入得到a=，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．

（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+

m，0），

∵E′在抛物线上，易知四边形EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，

∴E、B关于对称轴对称， ∴

=2，

解得m=1或6（舍弃）， ∴B（3，0），C（1，﹣2）， ∴直线l′的解析式为y=x﹣3．

（3）如图2中，

①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）． ②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3）， 则有（m﹣解得m=∴P2（

）2+（m﹣3﹣

或，

）2=（3， ），P3（

，

，

）．

）

）2，

综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（或（

，

）．

【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题．

13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；

（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角

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