全等三角形培优（含答案解析）

三角形培优练习题

1已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A B

D

C

2已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 2 1 B E C F D

3已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

A 1 2 F C D E B

4已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A

C

B

D

5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

6 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

7已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

A D

B C

8.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

B C A

P D

9已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

10．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于

A D C B F E D．求证：AD+BC=AB．

PEDC

AB

11如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

A

CDB

12如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。

A

F

BEMC

13已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F。 求证：BE=CD．

C

14在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，

B E A D F

BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证： ①?ADC≌?CEB；②DE?AD?BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

B

E

A

F

M C

16．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD

相等吗？请说明理由

17．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作

AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

A

图9

E B

C

D

F

全等三角形证明经典（答案）

1. 延长AD到E,使DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE

2证明：连接BF和EF。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。 所以 ∠EBF=∠BEF。 又因为 ∠ABC=∠AED。 所以 ∠ABE=∠AEB。 所以 AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 所以 三角形ABF和三角形AEF全等。 所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3 证明：

过E点，作EG//AC，交AD延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2 又∵CD=DE

∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 4证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD（SAS） ∴∠AED=∠B，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C

5证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF 因为CE⊥AB

所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB＝EF，CE＝CE， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B＝∠CFE

因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC＝AC

所以△ADC≌△AFC（SAS） 所以AD＝AF

所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

6证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.

7证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。 则：

△AED是等腰三角形。 所以：AE=DE 而AB=CD

所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：△BEC是等腰三角形 所以：角B=角C.

8作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）

C 因为PCA

P B D

9作AG∥BD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5 AGF∽CDF AF=AG=5 所以DC=CF=2

10证明：

做BE的延长线，与AP相交于F点， ∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中， ∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

11证明：在AB上找点E，使AE=AC ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD ∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

12证明： ∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

13证明：因为 AB=AC， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC，CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边)

则有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BE＝CD

14

（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE．

在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CE-CD=AD-BE；

15

（1）证明;因为AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因为AF垂直AC

所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC

所以三角形EAC和三角形FAB全等 所以EC=BF 角ECA=角F

（2）延长FB与EC的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证） 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC垂直BF

16在AB上取点N ,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边,

所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD

17证明：作CG平分∠ACB交AD于G ∵∠ACB=90° ∴∠ACG= ∠DCG=45° ∵∠ACB=90° AC=BC ∴∠B=∠BAC=45° ∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD

∴∠ACF+∠DCF=90°

∵∠ACF+∠CAF=90° ∴∠CAF=∠DCF

∵ AC=CB ∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE ∴CG=BE

∵∠DCG=∠B ∴△CDG ≌△BDE ∴∠ADC=∠BDE

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CD=BD 进步。

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